Зависимые события и условная вероятность. Условная вероятность. Независимость событий Вычисление условной вероятности

Лекция 4

Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Все зависит от конкретной задачи. Если вероятность нераскрытия парашюта 0,01, то такой парашют применять нельзя. Если электричка опоздает с вероятностью 0,01 то можно быть уверенным что она прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой в данной задаче событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости от 0,01 до 0,05.

Если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Условная вероятность

Произведением двух событий A и B называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совме­щении) этих событий. Например, если A - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событ ий. Например, если A , B , C - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности усло­вий S может произойти или не произойти.

Если при вы­числении вероятности события никаких других ограни­чений, кроме условий S, не налагается, то такую вероят­ность называют безусловной ; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность собы­тия B при дополнительном условии, что произошло со­бытие A . Безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р A (В) или называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило

Условная вероятность вычисляется по формуле

Эту формулу можно доказать исходя из классического определения вероятности.

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероят­ность появления белого шара при втором испытании (событие В ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А ).

Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р А (В ) = 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле

Р A (В ) =P (АВ )/P (А) (P (А ) > 0).

Действительно, вероятность появления белого шара при первом ис­пытании

P (A ) = 3/6 =1/2.

Найдем вероятность P (АВ ) того, что в первом испытании по­явится черный шар, а во втором - белый по формуле (3.1). Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений = 6 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 3=9 исходов. Следовательно, P (АВ ) =9/30 = 3/10.

Условная вероятность P А (В ) =P (АВ )/Р (А ) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Получен прежний результат.

Все теоремы и формулы теории вероятностей и математической статистики выводятся из аксиом теории вероятностей. В этой главе дается определение условной вероятности, доказываются наиболее часто используемые теоремы и формулы, основанные на условных вероятностях. Вводится понятие независимости событий, которое затем используется в схеме последовательных независимых испытаний, а также дается описание марковской схемы с зависимыми испытаниями.

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

В § 1.1 формула условной вероятности была выведена для классической схемы. В общем случае эта формула служит определением условной вероятности события А при условии, что произошло событие В , Р(В) > 0.

Определение 2.1. Условная вероятность события А при условии В

Определение 2.2. Событие А не зависит от события В, если

Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А. В самом деле, используя определения 2.1 и 2.2, при Р(А) > 0 имеем:

Из определения 2.1 вытекает следующая формула умножения вероятностей:

Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

Определение 2.3. События А, А 2 ,..., А„ образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е.

Имеет место следующая теорема полной вероятности.

Теорема 2.1. Если события А и ..., А„, Р(А) > 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В:

События полной группы А„ ..., А„ попарно несовместны, поэтому попарно несовместны и их произведения (пересечения) с событием В, т.е. события В П А/, В П Л, при i Ф j несовместны. Так как событие В можно представить в виде

то, применив к этому разложению события В аксиому сложения вероятностей, имеем:

Используя формулу умножения вероятностей (2.1.1) для каждого слагаемого, окончательно получаем:

Требование, состоящее в том, что события Л, образуют полную группу событий, может быть заменено более слабым: события попар-

но не пересекаются, Bcz^A r Кроме того, на основе аксиомы счет-

ной аддитивности теорему полной вероятности можно распространить и на счетное множество попарно непересекающихся событий А,-,

Р(А,)> 0, tfcQ/l, :

Из формулы полной вероятности (2.1.3) легко получить формулу Байеса: для события В с Р(В) > 0 и для системы попарно несовмест-

пых событий А„ Р(Л,) > 0,BczJ А,.,

В самом деле, применив формулы условной вероятности и умножения вероятностей, имеем:

теперь, заменив вероятность события В по формуле полной вероятности, получаем формулу (2.1.5).

Вероятности Р(А,) событий И, называют априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до выполнения опыта, а условные вероятности этих событий Р(А,!В) - апостериорными, т.е. уточненными в результате опыта, исходом которого послужило появление события В.

Пример 2.1. Расчет по формула и полной вероятности и Байеса

На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй - 30%, на третьей - 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95, 98 и 97%. Требуется определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано на первой, второй и третьей линиях.

Решение. Обозначим через А„ Л 2 , А } события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях. Согласно условиям задачи Р(А ,) = 0,2; Р(А 2) = 0,3; Р(А }) = 0,5, и эти события образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместны, т.е. Р(А ,) + Р(Л 2) + Р(Л 3) = 1.

Обозначим через В событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным. Согласно условиям задачи P(B/A t) = = 0,05; Р(В/А 2) = 0,02; Р(В/А 3) = 0,03.

т.е. вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 3,1%.

Априорные вероятности того, что наугад взятое изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5.

Допустим, что в результате опыта наугад взятое изделие оказалось бракованным; определим теперь апостериорные вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. По формуле Байеса имеем:

Таким образом, вероятности того, что наугад взятое и оказавшееся бракованным изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соответственно 0,322; 0,194; 0,484.

Формула умножения вероятностей (2.1.1) может быть распространена на случай произвольного конечного числа событий:

Определение 2.4. События А ь А 2 , ..., А„ независимы в совокупности, если для любого их подмножества

Если это условие выполнено только для к = 2, то события попарно независимы.

Из независимости событий в совокупности вытекает попарная независимость, а из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Рассмотрим события A и B , связанные с одним и тем же опытом. Пусть из каких-то источников стало известно, что событие B наступило, но неизвестно, какой конкретно из элементарных исходов, составляющих событие B , произошел. Что можно сказать в этом случае о вероятности события A ?

Вероятность события A , вычисленную в предположении, что событие B произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать P(A|B) .

Условную вероятность P(A|B) события A при условии события B в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение N AB исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий A и B , к числу N B исходов, благоприятствующих событию B , то есть

Если поделить числитель и знаменатель этого выражения на общее число N элементарных исходов, то получим

Определение . Условной вероятностью события A при условии наступления события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B :

При этом предполагают, что P(B) ≠ 0 .

Теорема . Условная вероятность P(A|B) обладает всеми свойствами безусловной вероятности P(A) .

Смысл этой теоремы заключается в том, что условная вероятность представляет собой безусловную вероятность, заданную на новом пространстве Ω 1 элементарных исходов, совпадающем с событием B .

Пример . Из урны, в которой a=7 белых и b=3 черных шаров, наугад без возвращения извлекают два шара. Пусть событие A 1 состоит в том, что первый извлеченный шар является белым, а A 2 - белым является второй шар. Требуется найти P(A 2 |A 1) .

Способ 1. . По определению условной вероятности

Способ 2. . Перейдем к новому пространству элементарных исходов Ω 1 . Так как событие A 1 произошло, то это означает, что в новом пространстве элементарных исходов всего равновозможных исходов N Ω 1 =a+b-1=9 , а событию A 2 благоприятствует при этом N A 2 =a-1=6 исходов. Следовательно,

Теорема [умножения вероятностей] . Пусть событие A=A 1 A 2 …A n и P(A)>0 . Тогда справедливо равенство:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1) .

Замечание . Из свойства коммутативности пересечения можно писать

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2) .

Пример . На 7 карточках написаны буквы, образующие слово «СОЛОВЕЙ». Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо три карточки. Найти вероятность того, что получится слово «ВОЛ» (событие A ).

Пусть событие A 1 - на первой карточке написана буква «В», A 2 - на второй карточке написана буква «О», A 2 - на третьей карточке - буква «Л». Тогда событие A - пересечение событий A 1 , A 2 , A 3 . Следовательно,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) .

P(A 1)=1/7 ; если событие A 1 произошло, то на оставшихся 6 карточках «О» встречается два раза, значит P(A 2 |A 1)=2/6=1/3 . Аналогично, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3 . Следовательно,

Определение . События A и B , имеющие ненулевую вероятность, называют независимыми, если условная вероятность A при условии B совпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятность B при условии A совпадает с безусловной вероятностью B , то есть

P(A|B) = P(A) или P(B|A) = P(B) ,

в противном случае события A и B называют зависимыми.

Теорема . События A и B , имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда

P(AB) = P(A) P(B) .

Таким образом, можно дать эквивалентное определение:

Определение . События A и B называют независимыми, если P(AB) = P(A) P(B) .

Пример . Из колоды карт, содержащей n=36 карт, наугад извлекают одну карту. Обозначим через A событие, соответствующее тому, что извлеченная карта будет пиковой, а B - событие, соответствующее появлению «дамы». Определим являются ли зависимыми события A и B .

P(A)=9/36=1/4 , P(B)=4/36=19 , P(AB)=1/36 , . Следовательно, события A и B независимы. Аналогично, .

Нередко в жизни мы сталкиваемся с тем, что нужно оценить шансы наступления какого-либо события. Стоит ли покупать лотерейный билет или нет, каков будет пол третьего ребенка в семье, будет ли завтра ясная погода или снова пойдет дождь - таких примеров можно привести бесчисленное множество. В самом простом случае следует разделить число благоприятных исходов на общее число событий. Если в лотерее 10 билетов выигрышных, а всего их 50, то шансы получить приз равны 10/50 = 0,2, то есть 20 против 100. А как поступать в том случае, если есть несколько событий, и они тесно связаны между собой? В этом случае нас будет интересовать уже не простая, а условная вероятность. Что это за величина и как ее можно посчитать - об этом как раз и будет рассказано в нашей статье.

Понятие

Условная вероятность - это шансы наступления определенного события при условии, что другое связанное с ним событие уже произошло. Рассмотрим простой пример с бросанием монетки. Если жеребьевки еще не было, то шансы выпадения орла или решки будут одинаковыми. Но если раз пять подряд монетка ложилась гербом вверх, то согласитесь ожидать 6-го, 7-го, а тем более 10-го повторения такого исхода будет нелогично. С каждым повторным разом выпадения орла, шансы появления решки растут и рано или поздно она-таки выпадет.

Формула условной вероятности

Давайте теперь разберемся с тем, как эта величина рассчитывается. Обозначим первое событие через В, а второе через А. Если шансы наступления В отличны от нуля, то тогда будет справедливым следующее равенство:

Р (А|В) = Р (АВ) / Р (В), где:

• Р (А|В) - условная вероятность итога А;
• Р (АВ) - вероятность совместного появления событий А и В;
• Р (В) - вероятность события В.

Слегка преобразовав данное соотношение получим Р (АВ) = Р(А|В) * Р (В). А если применить то можно вывести формулу произведения и использовать ее при произвольном числе событий:

Р (А 1 , А 2 , А 3 ,…А п) = Р (А 1 |А 2 …А п)*Р(А 2 |А 3 …А п) * Р (А 3 |А 4 …А п)… Р (А п-1 |А п) * Р (А п).

Практика

Чтобы было легче разобраться с тем, как рассчитывается условная рассмотрим парочку примеров. Предположим имеется ваза, в которой находятся 8 шоколадных конфет и 7 мятных. По размерам они одинаковы и наугад последовательно вытаскиваются две из них. Какие будут шансы того, что обе из них окажутся шоколадными? Введем обозначения. Пусть итог А означает, что первая конфета шоколадная, итог В - вторая конфета шоколадная. Тогда получится следующее:

Р (А) = Р (В) = 8 / 15,

Р (А|В) = Р (В|А) = 7 / 14 = 1/2,

Р (АВ) = 8 /15 х 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Рассмотрим еще один случай. Предположим, есть двухдетная семья и нам известно, что, по крайней мере, один ребенок является девочкой.

Какова условная вероятность того, что мальчиков у этих родителей пока нет? Как и в предыдущем случае, начнем с обозначений. Пусть Р (В) - вероятность того, что в семье есть хотя бы одна девочка, Р (А|В) - вероятность того, что второй ребенок тоже девочка, Р (АВ) - шансы того, что в семье две девочки. Теперь произведем расчёты. Всего может быть 4 разных комбинаций пола детей и при этом лишь в одном случае (когда в семье два мальчика), девочки среди детей не будет. Поэтому вероятность Р (В) = 3/4, а Р (АВ) = 1/4. Тогда следуя нашей формуле получим:

Р (А|В) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Интерпретировать результат можно так: если бы нам не было б известно о поле одного из детей, то шансы двух девочек были бы 25 против 100. Но поскольку мы знаем, что один ребенок девочка, вероятность того, что в семье мальчиков нет, возрастает до одной третьей.

Условной вероятностью события A при выполнении события B называется отношение Здесь предполагается, что .

В качестве разумного обоснования этого определения отметим, что при наступлении события B оно начинает играть роль достоверного события, поэтому надо потребовать, чтобы . Роль события A играет AB, поэтому должна быть пропорциональна . (Из определения следует, что коэффициент пропорциональности равен .)

Теперь введем понятие независимости событий.

Это означает: оттого что произошло событие B , вероятность события A не изменилась.

С учетом определения условной вероятности, это определение сведется к соотношению . Здесь уже нет необходимости требовать выполнения условия . Таким образом, приходим к окончательному определению.

События A и B называются независимыми, если P (AB ) = P (A )P (B ).

Последнее соотношение обычно и принимают за определение независимости двух событий.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если подобные соотношения выполняются для любого подмножества рассматриваемых событий. Так, например, три события A, B и C называются независимыми в совокупности, если выполняются следующие четыре соотношения:

Приведем ряд задач на условную вероятность и независимость событий и их решения.

Задача 21. Из полной колоды из 36 карт вытаскивают одну карту. Событие A – карта красная, B – карта туз. Будут ли они независимы?

Решение. Проведя вычисления согласно классическому определению вероятности, получим, что . Это означает, что события A и B независимы.

Задача 22 . Решить ту же задачу для колоды, из которой удалена пиковая дама.

Решение . . Независимости нет.

Задача 23. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого первым выпадет герб. Найти вероятности выигрыша для обоих игроков.

Решение. Можно считать, что элементарные события – это конечные последовательности вида (0, 0, 1,…, 0, 1). Для последовательности длины соответствующее элементарное событие имеет вероятность Игрок, начинающий бросать монету первым, выигрывает, если реализуется элементарное событие , состоящее из нечетного числа нулей и единиц. Поэтому вероятность его выигрыша равна

Выигрыш второго игрока соответствует четному числу нулей и единиц. Он равен

Из решения следует, что игра заканчивается за конечное время с вероятностью 1 (так как ).

Задача 24. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее 2 бомб. Сбросили 3 бомбы. Вероятности попадания бомб равны соответственно 0, 1; 0, 3; 0, 4. Найти вероятность разрушения моста.

Решение. Пусть события A, B, C состоят в попадании 1-й, 2-й, 3-й бомбы соответственно. Тогда разрушение моста происходит только при реализации события В силу того что слагаемые в этой формуле попарно несовместны, а сомножители в слагаемых независимы, искомая вероятность равна

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Задача 25. К одному и тому же причалу должны пришвартоваться два грузовых судна. Известно, что каждое из них может с равной вероятностью подойти в любой момент фиксированных суток и должно разгружаться 8 ч. Найти вероятность того, что судну, пришедшему вторым, не придется дожидаться, пока закончит разгрузку первое судно.

Решение. Будем время измерять в сутках и долях суток. Тогдаэлементарные события – это пары чисел , заполняющие единичный квадрат, где x – время прихода первого судна, y – время прихода второго судна. Все точки квадрата равновероятны. Это означает, что вероятность любого события (т. е. множества из единичного квадрата) равна площади области, соответствующей этому событию. Событие A состоит из точек единичного квадрата, для которых выполняется неравенство . Это неравенство соответствует тому, что судно, пришедшее первым, успеет разгрузиться к моменту прихода второго судна. Множество этих точек образует два прямоугольных равнобедренных треугольника со стороной 2/3. Суммарная площадь этих треугольников равна 4/9. Таким образом, .

Задача 26. На экзамене по теории вероятностей было 34билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных билетов (не возвращая их). Студент подготовился лишь по 30-ти билетам? Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, выбрав в первый раз «неудачный » билет?

Решение. Случайный выбор состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вытянутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие В состоит в том, что первым вынут «неудачный» билет, а событие А состоит в том, что вторым вынут «удачный » билет. Очевидно, что события А и В зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события АВ .

По формуле условной вероятности ; ; , поэтому .