Acasă/ Instrumente

Prezentarea schemelor de replicare a testului Bernoulli. Repetarea testelor. circuitul Bernoulli. I. Moment organizatoric

O serie de teste independente sunt efectuate în
fiecare dintre ele are 2 rezultate posibile,
pe care le vom numi condiționat Succes și Eșec.
De exemplu, un student susține 4 examene, fiecare
dintre care 2 rezultate sunt posibile Succes: student
a promovat examenul și Eșecul: nu a promovat.

Probabilitatea de succes la fiecare test este egală cu
p. Probabilitatea de eșec este q=1-p.
Trebuie să găsiți probabilitatea ca în serie
din n încercări succesul va avea loc de m ori
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
În fiecare caz, Succesul are loc de m ori și
Eșec (n-m) ori.
Număr
toata lumea
combinatii
egală
număr
moduri de la n teste pentru a alege acele m, in
dintre care a existat Succesul, i.e. Cm
n

Probabilitatea fiecărei astfel de combinații este
teorema
despre
multiplicare
probabilități
va fi Pmqn-m.
Din moment ce aceste combinații sunt incompatibile, atunci
probabilitatea dorită a evenimentului Bm va fi
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
vâñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Se știe că dacă moneda aterizează pe capete, studentul
merge la cinema dacă moneda aterizează pe capete

elevi. Care este probabilitatea ca
1) trei dintre ei vor fi la prelegere
2) vor fi cel puțin 3 studenți la curs
2) va participa cel puțin unul dintre studenți la curs?

1) În această problemă, se realizează o serie de n=5
teste independente. Să-i spunem succes
mergând la o prelegere (capete capete) și
Eșecul este o excursie la cinema (cade stema).
p=q=1/2.
Folosind formula lui Bernoulli găsim probabilitatea ca
ce se va întâmpla de trei ori în 5 aruncări ale unei monede?
succes:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Pentru a afla probabilitatea ca cu 5 aruncări
cel puțin odată ce moneda aterizează pe capete,
să trecem la posibilitatea inversului
evenimente - moneda va apărea ca stemă de toate 5 ori:
P5 (0).
Atunci probabilitatea dorită va fi: P = 1 - P5 (0).
Conform formulei lui Bernoulli:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Atunci probabilitatea evenimentului dorit va fi
P 1 0,03125 0,96875

Bernoulli
elevul merge
în cinema, dacă moneda aterizează capete, studentul merge după ea
lectura. 5 elevi au aruncat o monedă. Ce este cel mai mult
numărul probabil de studenți care participă la curs?
Probabilitate
câștigul pentru 1 bilet este de 0,2. Ce este cel mai mult
numărul probabil de bilete câștigătoare?

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli

np q k np p

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Formula pentru numărul cel mai probabil de succese
np q k np p
Dacă np-q este un număr întreg, atunci acest interval conține 2
numere întregi. Ambele sunt la fel de probabile.
Dacă np-q este un număr non-întreg, atunci acest interval conține 1
întreg

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu Se știe că dacă o monedă aterizează pe capete,

– un student merge la o prelegere. 5 au aruncat o monedă

studenții merg la o prelegere?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu Se știe că dacă o monedă aterizează pe capete,
studentul merge la cinema dacă moneda aterizează pe capete
– un student merge la o prelegere. 5 au aruncat o monedă
elevi. Care este numărul cel mai probabil
studenții merg la o prelegere?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu Se știe că dacă o monedă aterizează pe capete,
studentul merge la cinema dacă moneda aterizează pe capete
– un student merge la o prelegere. 5 au aruncat o monedă
elevi. Care este numărul cel mai probabil
studenții merg la o prelegere?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu Se știe că dacă o monedă aterizează pe capete,
studentul merge la cinema dacă moneda aterizează pe capete
– un student merge la o prelegere. 5 au aruncat o monedă
elevi. Care este numărul cel mai probabil
studenții merg la o prelegere?
probabilitate, Pn(k)
Probabilitățile numărului de studenți prezenți
lectura
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
numărul de elevi, k
4
5

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu 10 bilete de loterie au fost achiziționate.

bilete?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu 10 bilete de loterie au fost achiziționate.
Probabilitatea de a câștiga la 1 bilet este de 0,2.
Care este numărul cel mai probabil de câștigători
bilete?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu 10 bilete de loterie au fost achiziționate.
Probabilitatea de a câștiga la 1 bilet este de 0,2.
Care este numărul cel mai probabil de câștigători
bilete?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu 10 bilete de loterie au fost achiziționate.
Probabilitatea de a câștiga la 1 bilet este de 0,2.
Care este numărul cel mai probabil de câștigători
bilete?
Probabilitățile numărului de bilete câștigătoare
probabilitate, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
numărul de bilete, k
7
8
9
10

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli

10 contracte încheiate

plătiți suma asigurării

unul dintre acorduri

decât în cadrul a trei contracte
d) găsiți cel mai probabil număr de contracte, conform
care va trebui să plătească suma asigurată

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu În medie, 20% din contracte sunt asigurări
firma plătește suma asigurată.
10 contracte încheiate
a) Aflați probabilitatea ca în trei
plătiți suma asigurării
0,201327

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu În medie, 20% din contracte sunt asigurări
firma plătește suma asigurată.
10 contracte încheiate
b) Nici suma asigurată nu va trebui plătită
unul dintre acorduri
0,107374

Cel mai probabil numărul de succese într-o schemă
Bernoulli
Exemplu În medie, 20% din contracte sunt asigurări
firma plătește suma asigurată.
10 contracte încheiate
c) suma asigurată va trebui plătită nu mai mult de,
decât în cadrul a trei contracte
0,753297

Dacă n este mare, atunci folosind formula
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
dificil
Prin urmare, se folosesc formule aproximative

Teorema: Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A
în fiecare test este aproape de zero,
iar numărul de teste independente n este destul de mare,
atunci probabilitatea Pn(m) ca în n încercări independente
evenimentul A va avea loc de m ori, aproximativ egal cu:
Pn(m)
m
m!
e
unde λ=np
Această formulă se numește formula lui Poisson (legea evenimentelor rare)

Pn(m)
m
m!
e, np
De obicei se folosește formula aproximativă Poisson,
când p<0,1, а npq<10.

Exemplu Să se știe că în fabricarea unui anumit medicament
defecte (număr de pachete care nu respectă standardul)
este de 0,2%. Estimați aproximativ probabilitatea ca
din 1000 de pachete alese aleatoriu vor fi trei pachete,
nerespectarea standardului.
Pn(k)
k
k!
P1000 (3) ?
e,
n.p.

nu sunt conectate mai mult de 5 contracte.

Exemplu: În medie, 1% din contracte sunt acoperite de o companie de asigurări
plătește suma asigurată. Găsiți probabilitatea ca de la
100 de contracte cu producerea unui eveniment asigurat vor fi
nu sunt conectate mai mult de 5 contracte.

Instituția de învățământ municipală „Școala secundară Rudnogorsk”

Dezvoltarea unei lecții despre teoria probabilităților

in clasa a X-a

pe această temă

« Retestări independente.

teorema lui Bernoulli »

Profesor de matematică

Instituția de învățământ municipal „Rudnogorskaya Sosh”

Chibysheva I.A.

„...Șansa în principal

depinde de cunoștințele noastre..."

Jacob Bernoulli

Subiect "»

Clasa: 10

Obiectivele lecției:

Educational:

Sarcini:

Tip de lecție: combinate.

Metode de predare: conversație, exerciții scrise.

Echipament: calculator, proiector multimedia. prezentare, fișe

Planul lecției:

Etapa organizatorica -2 min

Actualizarea cunoștințelor de bază – 3 min

Etapa de învățare a noului material – 10 min

Etapa generalizării și sistematizării cunoștințelor -20 min

Tema pentru acasă -3 min

Rezumatul lecției - 2 min

Reflecție -5 min.

ÎN CURILE CURĂRILOR

I. Moment organizatoric.

II. Actualizarea cunoștințelor

Să ne amintim conceptele și formulele de bază ale combinatoriei.

1. Care este factorialul lui n? (Acesta este produsul primelor n numere naturale de la 1 la n.)
2. În câte moduri pot fi aranjate 4 cărți diferite pe un raft? (3! = 3 2 1. Acesta este numărul de permutări a 3 elemente.)
3. În câte moduri pot fi repartizate locurile I, II, III între 7 participanți la concurs? (7 6 5 = 210. Acesta este numărul de plasări a 7 elemente din 3.)
4. În câte moduri puteți crea un program de serviciu pentru 3 din 5 studenți? ( acesta este numărul de combinații de 5 elemente din 3 și este egal cu 10).

5. Cum numim probabilitatea unui eveniment aleatoriu?

6. Formulați definiția clasică a probabilității.

III. Învățarea de materiale noi

În aplicarea practică a teoriei probabilităților și a statisticii matematice, se întâlnesc adesea probleme în care același experiment se repetă de mai multe ori. Ca rezultat al fiecărui experiment, evenimentul A poate apărea sau nu și nu ne interesează rezultatul fiecărui experiment, ci numărul total de apariții ale evenimentului A într-o serie de experimente. De exemplu, recent s-au desfășurat Campionatele Mondiale de biatlon în Coreea. Sportivii au tras o serie de lovituri în ținte, iar pe noi, de regulă, nu ne-a interesat rezultatul fiecărei lovituri individuale, ci numărul total de lovituri. Mai mult, rezultatele experimentelor anterioare nu le-au afectat în niciun fel pe cele ulterioare. Această schemă standard se găsește adesea în teoria probabilității în sine. Se numeste schema de testare independentă sau Schema Bernoulli . Matematician elvețian al secolului al XVII-lea. Jacob Bernoulli a combinat exemple și întrebări de acest tip într-o singură schemă-problemă probabilistică (The Art of Conjecture, publicată în 1713).

Referință istorică (unul dintre elevi pregătește un mesaj despre viața unui om de știință pentru lecție):

„Jacob Bernoulli (27.12.1654, Basel, – 16.8.1705, ibid.) – profesor de matematică la Universitatea din Basel (1687) era originar din Olanda...”

Verificarea temelor:
Grupa 1: Acasă trebuia să calculezi probabilitatea de a arunca un 1 pe un zar.
Grupa 2: Acasă trebuia să calculezi probabilitatea de a obține capete când arunci o monedă. (Elevii numesc rezultatele, se trage o concluzie despre motivele diferitelor răspunsuri, iar concluzia este că cu cât mai multe teste, cu atât mai bine poți vedea spre ce urmărește rezultatul)
Când vorbim despre frecvența și probabilitatea unui eveniment aleatoriu A, ne referim la prezența anumitor condiții care pot fi reproduse în mod repetat. Numim acest set de condiții un experiment aleator sau un experiment aleatoriu. Rețineți că rezultatul unui experiment nu depinde în niciun fel de cel anterior. Se numesc mai multe experimente independent, dacă probabilitatea rezultatului fiecărui experiment nu depinde de ce rezultate au avut alte experimente. De exemplu, mai multe aruncări consecutive de monede sunt experimente independente. Mai multe extrageri succesive de bile dintr-o pungă sunt experimente independente, cu condiția ca bila îndepărtată să revină în pungă de fiecare dată. În caz contrar, acestea sunt experimente dependente. Jacob Bernoulli a combinat exemple și întrebări de acest tip într-un singur cadru probabilistic.

Schema Bernoulli.

Luați în considerare repetări independente ale aceluiași studiu cu două rezultate posibile, care sunt denumite în mod convențional „succes” și „eșec”. Trebuie să găsiți probabilitatea ca după n astfel de repetări să apară exact k „reușite”.

Profesorul ar trebui să sublinieze încă o dată trei condiții pe care trebuie să le îndeplinească schema lui Bernoulli:

1) fiecare test trebuie să aibă două rezultate, numite „succes” și „eșec”;

2) în fiecare experiment probabilitatea evenimentului A trebuie să rămână neschimbată;

3) rezultatele experimentelor trebuie să fie independente.

1 V . Consolidare.

1. Lucrări orale (este posibil sa se organizeze munca de grup). Răspunsurile sunt discutate în grupuri și un reprezentant le dă voce.

Explicați de ce următoarele întrebări se potrivesc cu schema lui Bernoulli. Indicați în ce constă „succesul” și ce este egal nȘi k.

a) Care este probabilitatea ca, în 123 de aruncări ale unei monede, moneda să cadă pe capete exact de 45 de ori?

b) Într-o cutie neagră sunt 10 bile albe, 3 roșii și 7 albastre. Bilele sunt îndepărtate, culoarea lor este înregistrată și returnate. Care este probabilitatea ca toate cele 20 de bile extrase să fie albastre?
c) Care este probabilitatea ca la aruncarea unei sute de monede să apară capete de 73 de ori?
d) O pereche de zaruri au fost aruncate de douăzeci de ori la rând. Care este probabilitatea ca suma punctelor să nu fie niciodată egală cu zece?
e) Au fost extrase trei cărți dintr-un pachet de 36 de cărți, rezultatul a fost înregistrat și returnat în pachet, apoi cărțile au fost amestecate. Acest lucru s-a repetat de 4 ori. Care este probabilitatea ca regina de pică să fie printre cărțile extrase de fiecare dată?

PROFESOR: Pentru a obține valori numerice în astfel de probleme, este necesar să se cunoască în prealabil probabilitatea de „succes” și „eșec”. Notând probabilitatea de „succes” ca p și probabilitatea de „eșec” ca q, unde q = 1-p, Bernoulli a demonstrat o teoremă remarcabilă

2. Munca independentă(se poate organiza munca de grup). Elevilor li se oferă 7 probleme de rezolvat. Numărul de puncte pentru sarcină este indicat între paranteze. Băieții discută soluția în grupuri. Instalare: scor „5” - 17-22 puncte, „4” - 12-16 puncte, „3” - 6-11 puncte.

1). Care este probabilitatea asta? că cu zece aruncări de zar vor apărea 3 puncte exact de 2 ori? (2 puncte)

2). Care este probabilitatea ca, la 9 aruncări ale unei monede, „capete” să apară exact de 4 ori? (2 puncte)

3). Ostap Bender joacă 8 jocuri împotriva membrilor clubului de șah. Ostap joacă prost, deci probabilitatea de a câștiga în fiecare joc este de 0,01. Găsiți probabilitatea ca Ostap să câștige cel puțin un joc. (3 puncte)

4). Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,125. Care este probabilitatea ca din 12 lovituri să nu fie lovituri? (3 puncte)

5). În partea A a examenului unificat de stat la matematică din 2005 au existat 10 întrebări cu răspunsuri multiple. Pentru fiecare dintre ele au fost oferite 4 variante de răspuns, dintre care doar una a fost corectă. Pentru a primi o notă pozitivă la examen, trebuie să răspundeți la cel puțin 6 întrebări. Care este probabilitatea ca un elev neglijent să treacă examenul? (4 puncte)

6). Aruncăm zarurile. Care este probabilitatea ca, dacă aruncăm un zar de 8 ori, să aruncăm un șase de cel puțin 4, dar nu mai mult de 6 ori? (4 puncte)

7). Într-o singură lovitură, trăgătorul lovește ținta cu o probabilitate de 0,1. Găsiți probabilitatea ca, cu cinci lovituri, să lovească ținta cel puțin o dată. (4 puncte)

RĂSPUNSURI: 1) 0,29; 2) 0,246; 3)0,077; 4)0,2 5) 0,016; 6) 0,034; 7) 0,4095;

Dacă este timp, atunci lucrul poate fi discutat, dacă nu, atunci strângeți caiete pentru verificare.

V.Teme pentru acasă:

1). Probabilitatea evenimentului A este 0,3. Care este probabilitatea ca într-o serie de 6 încercări evenimentul A să apară cel puțin o dată? (4 puncte)

2). Sasha a primit 10 sarcini de dificultate egală. Probabilitatea ca el să rezolve problema este de 0,75. Aflați probabilitatea ca Sasha să rezolve: a) toate problemele;

b) minim 8 sarcini; c) minim 6 sarcini.

3. Se efectuează de două ori o serie de teste Bernoulli. Prima dată probabilitatea de succes este ½, a doua oară probabilitatea de succes este 1/3. În ce caz este răspândirea așteptată a valorii lui S mai mare dacă S este numărul de succese care au avut loc?

RĂSPUNSURI: 1). 0,882; 2) a) 0,056; b) 0,526; c) 0,922.

Individual: prezentare de material pe tema „Legea numerelor mari”, raport pe tema „Familia Bernoulli”.

V1. Rezumând.

Ce cuvinte cheie ale lecției pot fi evidențiate Explicați semnificația lor.

Ce fapt cheie a fost învățat astăzi?

Care sunt asemănările și diferențele dintre statistică și probabilitate?

V11. Reflecţie. La etapa de reflecție, elevii sunt rugați să compună un syncwin și să-și exprime atitudinea față de materialul studiat în formă poetică.

Ajutor: SINQWAIN este o tehnică de dezvoltare a gândirii critice în stadiul de reflecție.

Aceasta este o operă literară scurtă care caracterizează un subiect (temă), constând din cinci rânduri, care este scrisă după un anumit plan. Cuvântul „cinquain” provine din cuvântul francez pentru „cinci”.

REGULI DE SCRIERE A SINQWAIN

1 rând – un cuvânt – titlul poeziei, tema, de obicei un substantiv.

Rândul 2 – două cuvinte (adjective sau participii). Descrierea subiectului, cuvintele pot fi conectate prin conjuncții și prepoziții.

Rândul 3 – trei cuvinte (verbe). Acțiuni legate de subiect.

Rândul 4 – patru cuvinte – o propoziție. O frază care arată atitudinea autorului față de subiectul din primul rând.

Rândul 5 – un cuvânt – asociere, sinonim care repetă esența subiectului din rândul 1, de obicei un substantiv.

Literatură

V.A. Buliciov, E.A. Bunimovici. Studierea teoriei probabilităților și a statisticii într-un curs de matematică școlar. „Matematica la școală.” Nr. 4. 2003 p. 59. Vilenkin N. Ya. Combinatorică. – M.: Nauka, 1969.

V.N. Studinetskaya și colab. „În lumea accidentelor naturale”. Volgograd: Profesor, 2007.

Gmurman V. E. Ghid pentru rezolvarea problemelor în teoria probabilităților și statistica matematică. – M.: Liceu, 1975.

Gmurman V. E. Teoria probabilității și statistica matematică. – M.: Liceu, 1977.

Gnedenko B.V. Curs de teoria probabilităților. – M.: Nauka, 1988.

E-mail manual Rezumate și eseuri

Autoanaliza lecției

Bine: Fundamentele teoriei probabilităților și statisticii matematice.

Clasă: 10, fizica si matematica.

Tema lecției:Retestări independente. teorema lui Bernoulli

Obiectivele lecției:

Educational:

Prezentarea studenților în schema lui Bernoulli și exersarea aplicării acesteia în rezolvarea problemelor.

Educational:

Formarea unei imagini științifice unificate a lumii și a elementelor unei viziuni științifice asupra lumii în rândul studenților prin studiul legăturilor interdisciplinare dintre teoria probabilității și diverse științe;

Formarea gândirii probabilistice și statistice a elevilor;

Educational:

Dezvoltarea abilităților de independență și autocontrol.

Motivarea studenților să studieze subiecte în teoria probabilităților.

Sarcini:

consolidarea cunoștințelor și abilităților în rezolvarea problemelor combinatorii;
dezvoltarea abilităților de utilizare a schemei lui Bernoulli la rezolvarea problemelor,
dezvoltarea abilităților de rezolvare a problemelor folosind formula lui Bernoulli,
dezvoltarea operațiunilor mentale de bază ale elevilor: capacitatea de a compara, de a analiza.

Tip de lecție: combinate.

Acest material are aplicație practică, deoarece permite rezolva probleme in care aceeasi experienta se repeta in mod repetat. Ca rezultat al fiecărui experiment, evenimentul A poate apărea sau nu și nu ne interesează rezultatul fiecărui experiment, ci numărul total de apariții ale evenimentului A într-o serie de experimente. În această lecție, copiii au învățat formula pentru rezolvarea unor astfel de probleme, au învățat să identifice problemele care se potrivesc cu schema lui Bernoulli și sunt rezolvate folosind teorema lui. Timpul este distribuit rațional în toate etapele lecției. Ritmul lecției a corespuns nivelului de dezvoltare și pregătire a elevilor.

Lecția a fost concepută de mine ca un dialog între profesor și elevi, întrucât clasa este destul de puternică. Lecția a contribuit la formarea ideilor ideologice de bază, a gândirii probabilistic-statistice și a capacității de a identifica conexiuni interdisciplinare. Copiii au lucrat în grupuri, ceea ce le-a permis să-și dezvolte competența cognitivă și comunicativă. Pentru ca fiecare să lucreze în echipe în funcție de capacitățile și abilitățile sale, astfel încât să nu-și piardă interesul pentru disciplina predată, sarcinile sunt propuse la diferite niveluri.Elevii din lecție au fost activi și au ajuns în mod independent la concluzii. Conținutul lecției a contribuit la dezvoltarea interesului pentru învățare, fapt dovedit de stadiul reflexiv al lecției. Prezentarea a ajutat să facă lecția mai interesantă, să economisească timp pentru luarea de notițe și sistematizarea materialului.

Exemplu de syncwine:

1. Teorema lui Bernoulli
Nou, interesant.
Ne-am cunoscut, ne-am înțeles, ne-am interesat.
Vă permite să găsiți probabilitatea

In realitate.

2. Oh, încercări,

Repetare independentă

Să analizăm, să înțelegem și să calculăm

Și ne va ajuta cu asta, desigur.

teorema lui Bernoulli

Obiectivele stabilite în timpul lecției au fost atinse.

Studiile independente repetate sunt numite studii Bernoulli dacă fiecare studiu are doar două rezultate posibile și probabilitățile rezultatelor rămân aceleași în toate studiile.

Să notăm aceste probabilități ca pȘi q. Rezultat cu probabilitate pîl vom numi „succes”, iar rezultatul cu probabilitate q- „eșec”.

Este evident că

Spațiul evenimentelor elementare pentru fiecare probă este format din două puncte. Spatiu de evenimente elementare pt n Un studiu Bernoulli conține puncte, fiecare dintre acestea reprezentând un rezultat posibil al experimentului compozit. Deoarece încercările sunt independente, probabilitatea unei secvențe de evenimente este egală cu produsul probabilităților rezultatelor corespunzătoare. De exemplu, probabilitatea unei succesiuni de evenimente

(U, U, N, U, N, N, N)

egal cu produsul

Exemple de teste Bernoulli.

1. Lansări consecutive ale unei monede „corecte”. În acest caz p = q = 1/2 .

Când aruncați o monedă asimetrică, probabilitățile corespunzătoare își vor schimba valorile.

2. Fiecare rezultat al experimentului poate fi considerat ca A sau .

3. Dacă există mai multe rezultate posibile, atunci din ele putem selecta un grup de rezultate care sunt considerate „succes”, numind toate celelalte rezultate „eșec”.

De exemplu, atunci când aruncați un zar succesiv, „succesul” poate fi înțeles ca o aruncare de 5, iar „eșecul” poate însemna o aruncare de orice alt număr de puncte. În acest caz p = 1/6, q = 5/6.

Dacă prin „succes” înțelegem pierderea unui număr par de puncte, iar prin „eșec” - un număr impar de puncte, atunci p = q = 1/2 .

4. Extragerea aleatorie repetată a unei mingi dintr-o urnă care conține A alb şi b bile negre. Dacă prin succes înțelegem recuperarea mingii albe, atunci , .

Feller oferă următorul exemplu de aplicare practică a schemei de testare Bernoulli. Șaibe produse în producție de masă pot varia în grosime, dar la inspecție sunt clasificate ca acceptabile sau defecte, în funcție de faptul că grosimea este în limitele prescrise. Deși produsele pot să nu se conformeze pe deplin schemei lui Bernoulli din multe motive, această schemă stabilește un standard ideal pentru controlul calității produselor industriale, chiar dacă acest standard nu este niciodată atins. Mașinile sunt supuse modificării și, prin urmare, probabilitățile nu rămân aceleași; Există o anumită consecvență în funcționarea mașinilor, cu rezultatul că serii lungi de abateri identice sunt mai probabile decât ar fi cazul dacă testele ar fi cu adevărat independente. Totuși, din punct de vedere al controlului calității produsului, este de dorit ca procesul să se conformeze schemei lui Bernoulli, iar lucrul important este că acest lucru poate fi realizat în anumite limite. Scopul monitorizării curente este de a detecta într-un stadiu incipient abateri semnificative de la schema ideală și de a le folosi ca indicii ale unei încălcări amenințătoare a funcționării corecte a mașinii.

formula lui Bernoulli

Belyaeva T.Yu. GBPOU KK "AMT" Armavir Profesor de matematică

Unul dintre fondatorii teoriei probabilităților și analizei matematice

Membru străin al Academiei de Științe din Paris (1699) și al Academiei de Științe din Berlin (1701)

Fratele mai mare al lui Johann Bernoulli (cel mai faimos reprezentant al familiei Bernoulli)

Jacob Bernoulli (1654 – 1705)

matematician elvețian

Lasă-l să fie produs P încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca evenimentul A să se producă este egală cu R , și, prin urmare, probabilitatea ca aceasta să nu se întâmple este egală cu q = 1 - p .

Trebuie să găsim probabilitatea ca atunci când P încercări succesive, evenimentul A se va întâmpla exact T o singura data.

Notăm probabilitatea dorită R P ( T ) .

Este evident că

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

R 1 (1) + p 1 (0) = p + q = 1

Cu două teste:

4 rezultate posibile:

p 2 (2) = p 2 ; р 2 (1) = 2р·q; p 2 (0) = q 2

R 2 (2) + p 2 (1) + p 2 (0) = (p + q) 2 = 1

Cu trei teste:

8 rezultate posibile:

Primim:

p 3 (2) = 3p 2 q

p 3 (1) = 3pq 2

R 3 (3) + p 3 (2) + p 3 (1) + p 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Sarcina 1.

Moneda este aruncată de 8 ori. Care este probabilitatea ca stema să apară de 4 ori?

Sarcina 2.

Într-o urnă sunt 20 de bile: 15 albe și 5 negre. Au fost scoase 5 bile la rând, iar fiecare bilă scoasă a fost returnată în urnă înainte ca următoarea bilă să fie scoasă. Aflați probabilitatea ca din cinci bile extrase să fie 2 albe.

Formule pentru a afla probabilitatea ca V P teste evenimentul va veni :

A) mai puțin de t ori

R P (0) + … + pag P (t-1)

b) de mai mult de t ori

R P (t+1) + … + p P (P)

V) nu mai mult de t ori

R P (0) + … + pag P (T)

G) de cel puțin t ori

R P (t) + … + r P (P)

Sarcina 3.

Probabilitatea de a produce o piesă nestandard pe o mașină automată este de 0,02. Determinați probabilitatea ca dintre șase părți luate la întâmplare să fie mai mult de 4 standard.

Evenimentul A - « mai mult de 4 piese standard„(5 sau 6) înseamnă

« nu mai mult de 1 piesa defecta" (0 sau 1)

Lasă-l să fie produs P teste independente. În fiecare astfel de proces, evenimentul A poate să apară sau nu. Probabilitatea de apariție a evenimentului A este cunoscută.

Trebuie să găsești un astfel de număr μ (0, 1, …, n), pentru care probabilitatea P n (μ) va fi cea mai mare.

Sarcina 4.

Ponderea produselor premium la această întreprindere este de 31%. Care este cel mai probabil număr de produse premium dacă este selectat un lot de 75 de produse?

Conform condiției: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Sarcina 6.

Doi trăgători trag într-o țintă. Probabilitatea unei rateuri cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,2, iar pentru al doilea - 0,4. Găsiți cel mai probabil număr de salve în care nu vor fi lovituri la țintă dacă trăgătorii trag 25 de salve.

Conform condiției: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92

Materiale populare

Magnit lansează o campanie de amploare Star Wars
Joc de masă Dixit Promotion!
Gameplay-ul se schimbă
Câte piese sunt într-un puzzle tangram?
Reguli de evoluție pe masă