Главная / Казуальные

Мартин гарднер - математические головоломки и развлечения. Мартин гарднер - математические головоломки и развлечения Треугольник из орлов

Головоломки позволяют тренировать мозг и всегда быть готовым к нестандартным ситуациям.
Чтобы разрешить дилемму, иногда надо поломать голову, подойти к ней с нескольких разных сторон, изучить все варианты. Но зато когда все сходится, получаешь истинное наслаждение, восторг от собственной выдумки, находчивости.

Мы собрали несколько головоломок с монетами, которые можно разгадывать за чашкой кофе с друзьями или просто отвлечься от дел и потренировать сообразительность.

1. Треугольник

Переместите 3 монеты таким образом, чтобы перевернуть треугольник вершиной вниз.

2. Пять монет

Разместите 5 монет в два ряда по 3 монеты в каждом.

3. Восемь монет

Переложите одну монету так, чтобы получить два ряда по 5 монет в каждом.

4. Треугольник из орлов

Переворачивая каждый раз по три монеты, лежащие в один ряд, сделайте так, чтобы все монеты лежали орлом вверх.

5. 10х5

Разместите 10 монет в пять рядов по 4 монеты в каждом. Класть монеты одна на другую запрещается.

6. Шесть монет в 2 ряда

На рисунке 5 монет расположены так, что можно найти всего два отрезка с 3 монетами на каждом. Задача состоит в том, чтобы добавить всего одну монету и получить четыре отрезка по три монеты в каждом. Класть монеты одна на другую запрещается.

7. Археолог

Археолог нашел древнюю монету, маркированную 10 годом до н.э. Он сразу же понял, что это подделка. Почему?

Ответы:

1. Треугольник

2. Пять монет

3. Восемь монет

4. Треугольник из орлов

1. Сцепленные болты. Два одинаковых болта сцеплены нарезкой (рис. 109). Взяв их покрепче за головки, чтобы они не могли проворачиваться, обведите несколько раз один болт вокруг другого в направлении, указанном стрелками (повертев перед этим большими пальцами рук, вы сможете наглядно представить себе движение болтов).

Будут ли головки болтов:

сближаться,
расходиться
оставаться на неизменном расстоянии друг от друга?

Использовать при решении задачи настоящие болты не разрешается.

2. Кругосветный полет. Группа самолетов базируется на небольшом острове. Баки каждого самолета вмещают столько топлива, что его хватает на облет половины земного шара. При Заправке в воздухе из баков одного самолета в баки другого можно перекачивать любое количество горючего. На земле заправку можно производить только на острове. Для удобства решения задачи предполагается, что заправка на земле и в воздухе происходит мгновенно, без потерь времени.

Чему равно минимальное число самолетов, которые смогут обеспечить полет одного самолета по большому кругу, если считать, что скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты благополучно возвращаются на свою базу?

3. Окружность на шахматной доске. Сторона клетки на шахматной доске равна 4 см. Чему равен радиус наибольшей окружности, которую можно провести на шахматной доске так, чтобы она проходила только по черным клеткам?

4. Универсальная пробка. Во многих сборниках головоломок объясняется, как вырезать пробку, которой можно плотно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия (рис. 110). Не менее интересно вычислить объем такой пробки. Предположим, что радиус ее круглого основания равен единице длины, высота - двум единицам и что ребро в ее верхней части (имеющее в длину также две единицы) расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Все параллельные сечения пробки, плоскость которых перпендикулярна верхнему ребру, имеют вид треугольников.

Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного, и нижнего ребра, имеющего форму окружности. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру.

Разумеется, объем пробки нетрудно вычислить методами анализа, но найти его можно и более простым способом, зная лишь, что объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

5. Повторяющееся число. Если у вас соберутся гости, вы сможете удивить их необычным фокусом. Попросите одного из гостей - назовем его А - написать на листке бумаги какое-нибудь трехзначное число два раза подряд, чтобы получилось шестизначное число (например, 394 394). Отвернитесь так, чтобы вы не могли видеть написанное число, и попросите А передать листок другому гостю В, которого попросите разделить число на 7.

"Об остатке не беспокойтесь, его не будет",- говорите вы гостю В, и он с удивлением убеждается, что вы правы (например, 394 394 при делении на 7 дает 56 342). Не сообщая вам результат, В передает листок бумаги третьему гостю С, который делит полученный В результат на 11. Вы снова утверждаете, что остатка не будет, и снова оказываетесь правы (56 342 при делении на 11 дает 5122).

Не оборачиваясь к гостям и не зная, какие цифры написаны на листке бумаги, вы просите передать его четвертому гостю D который должен поделить последний результат на 13. Снова деление происходит без остатка (5122 при делении на 13 дает 394). Окончательный результат D записывает на клочке бумаги и, сложив его, передает вам. Не разворачивая листка с ответом, вы передаете его А и говорите: "Разверните листок и вы увидите свое трехзначное число".

Докажите, что фокус получается всегда, независимо от того, какое число выберет первый гость.

6. Столкновение ракет. Две ракеты летят навстречу друг другу, одна - со скоростью 9000 миль/час , а другая - со скоростью 21000 миль/час . Их стартовые площадки находятся на расстоянии 1317 миль одна от другой: Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте, какое расстояние будет между ракетами за минуту до столкновения.

7. Как передвинуть монеты. На ровной гладкой поверхности (например, на столе) выложен треугольник из шести монет (рис. 111). Требуется за наименьшее число ходов передвинуть монеты так, чтобы они образовали кольцо, показанное на рис. 111 внизу. Каждый ход состоит в передвижении только одной монеты. Сдвигать при этом с места другие монеты нельзя. В новом положении каждая монета должна касаться двух других монет. Поднимать монеты с поверхности при решении задачи не разрешается.

8. Рукопожатия и графы. Докажите, что число участников последнего конгресса биофизиков, обменявшихся рукопожатиями нечетное число раз, четно. Та же задача допускает и графическую интерпретацию. На листе бумаги поставьте любое число точек (каждая точка изображает участника конгресса). Между любыми двумя точками разрешается проводить сколько угодно линий. Каждая точка может неограниченное число раз "обмениваться рукопожатиями" с другими точками или быть необщительной и не здороваться ни с кем. Докажите, что число точек, из которых исходит нечетное число линий, четно.

9. Необычная дуэль. Смит, Браун и Джонс, решив внести в обычную дуэль на пистолетах некоторое разнообразие, условились провести поединок по несколько измененным правилам. Вытащив жребий и узнав, кому из них выпало стрелять первым, кому - вторым и кому - третьим, они разошлись по своим местам, встав в вершинах равностороннего треугольника. Договорились, что каждый по очереди производит лишь один выстрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продолжается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только результатами жеребьевки и остается неизменной в течение всего поединка.

Все три участника знают своих противников. Смит никогда не промахивается, Браун попадает в. цель в 80% случаев, а Джонс, стреляющий хуже всех, промахивается так же часто, как и попадает в цель.

Кто из дуэлянтов имеет более высокий шанс уцелеть, если считать, что все трое придерживаются оптимальных стратегий и никто из них не будет убит шальной пулей, предназначенной другому? Более трудный вопрос: чему равна вероятность остаться в живых для каждого из дуэлянтов?

Ответы

1. Головки болтов не сближаются и не расходятся. Движение болтов можно сравнить с движением человека, идущего вверх по спускающемуся эскалатору со скоростью эскалатора.

2. Для обеспечения кругосветного полета одного самолета достаточно двух самолетов. Сделать это можно многими способами. Способ, предлагаемый нами, по-видимому, наиболее экономичен: расходуется лишь пять заправок горючего, пилоты двух обеспечивающих полет самолетов успевают перед вылетом с базы выпить по чашке кофе и перехватить по бутерброду, а весь метод обладает не лишенной приятности симметрией.

Самолеты А, В и С стартуют одновременно. Пролетев 1 / 8 намеченного расстояния (то есть длины окружности большого круга), С перекачивает 1 / 4 исходного запаса горючего в баки А и 1 / 4 - в баки В, после чего у него остается 1 / 4 заправки. Этого количества горючего ему хватает, чтобы вернуться на базу.

Самолеты А и В, продолжая полет, проходят еще 1 / 8 кругосветного маршрута, после чего В перекачивает 1 / 4 заправки в баки А. Баки В остаются заполненными ровно наполовину, и он благополучно дотягивает до родного аэродрома, совершая посадку уже с пустыми баками.

Полностью заправленный самолет А продолжает лететь до тех пор, пока у него не кончится горючее. К этому моменту он находится на расстоянии 1 / 4 всего пути от базы, и его встречает самолет С, успевший перезаправиться на острове. С перекачивает в баки А 1 / 4 заправки и вслед за А берет курс на базу. На расстоянии 1 / 8 окружности земного шара горючее у А и С кончается, но тут их встречает побывавший на базе,В, который отдает каждому из них по 1 / 4 полной заправки. После этого топлива в баках каждого самолета хватает как раз на то, чтобы благополучно вернуться на свою базу (правда, садиться приходится с пустыми баками).

Графически весь полет можно изобразить с помощью диаграммы, показанной на рис. 112, где по горизонтальной оси отложено расстояние, а по вертикальной - время. Правый и левый края диаграммы следует считать склеенными.

Взяв раствор циркуля равным квадратному корню из 20 см и поставив его острие в центр черной клетки на шахматной доске с четырехсантиметровыми клетками, вы сможете описать наибольшую из окружностей, проходящих только по черным клеткам.

4. Любое поперечное сечение пробки плоскостью, перпендикулярной верхнему ребру и основанию, имеет вид треугольника. Если бы пробка была цилиндрической, соответствующие сечения были бы прямоугольниками, при этом площадь каждого прямоугольного сечения была бы вдвое больше площади треугольного сечения. Поскольку цилиндр можно считать составленным из прямоугольных поперечных сечений, объем универсальной пробки должен составлять половину объема цилиндра: объем цилиндра равен 2π, следовательно, объем универсальной пробки равен π.

В действительности же существует бесконечно много пробок различной формы, которыми можно заткнуть все три отверстия. Пробка той формы, которая описана в условии задачи, имеет наименьший объем по сравнению с любым выпуклым телом, способным заткнуть те же три дырки. Пробку наибольшего объема нетрудно получить, если обрезать цилиндрическую пробку так, как показано на. рис. 113. Именно эту форму пробки обычно имеют в виду составители сборников головоломок, предлагая читателям найти универсальную затычку, подходящую к круглому, треугольному и квадратному отверстиям. Ее объем равен 2π - 4 / 3 .

5. Написать подряд два раза трехзначное число - все равно что умножить это число на 1001. Число 1001 разлагается на простые множители 7, 11 и 13, поэтому, приписав к трехзначному числу его же еще раз справа, задумавший просто умножает свое число на 7×11×13. Разделив шестизначное число на 7, 11 и на 13, он, естественно, получает снова исходное трехзначное число. Эта задача заимствована из книги Я. И. Перельмана * .

* (Я. И. Перельман , Живая математика, изд. 9, М, изд-во "Наука", 1970. )

6. Две ракеты сближаются со скоростью 30 000 миль/час , или 500 миль/мин . Отсчитывая время назад, от момента столкновения, мы получаем, что за минуту до столкновения ракеты должны были бы находиться на расстоянии 500 миль друг от друга.

7. Рассмотрим исходное расположение монет в виде треугольника. Обозначим цифрой 1 верхнюю монету, цифрами 2 и 3 - монеты в следующем ряду и цифрами 4, 5, 6 - монеты в нижнем ряду. Следующие четыре хода позволяют получить представление о множестве других решений: передвинем монету 1 так, чтобы она коснулась 2 и 4; монету 4 передвинем так, чтобы она коснулась 5 и 6; монету 5 передвинем так, чтобы она коснулась монет 1 и 2 снизу, и, наконец, монету 1 передвинем так, чтобы она коснулась монет 4 и 5.

8. Поскольку в каждом рукопожатии участвуют двое людей, полное число рукопожатий, которыми обменялись все участники конгресса, делится на 2 и поэтому четно. Число рукопожатий, приходящихся на долю тех, кто обменялся со своими коллегами четным числом рукопожатий, очевидно, четно. Только сумма четного числа нечетных слагаемых может быть четным числом, поэтому число тех участников конгресса, которые обменялись с другими участниками нечетным числом рукопожатии, четно.

То же утверждение можно доказать и иным путем. Перед началом работы конгресса число его участников, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, равно 0. После первого рукопожатия появляются два "нечетных участника". Все рукопожатия, начиная со второго, делятся на три типа: рукопожатия между двумя "четными" участниками, рукопожатия между двумя "нечетными" участниками и "смешанные" рукопожатия между "четными" и "нечетными" участниками. Каждое "четно-четное" рукопожатие увеличивает число "нечетных" участников на 2. Каждое "нечетно-нечетное" рукопожатие уменьшает число "нечетных" участников также на 2. Каждое "нечетно-четное" рукопожатие превращает "нечетного" участника в "четного" и, наоборот, "четного" участника в "нечетного" и, таким образом, оставляет число "нечетных" участников без изменения. Поэтому четное число биофизиков, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, не может изменить своей четности и должно всегда оставаться четным.

Оба доказательства применимы к графу, на котором линии связывают точки попарно. Линии графа образуют сеть. Число точек сети, из которых выходит нечетное число линий, четно. Эта теорема встретится нам еще раз в главе 22 при рассмотрении головоломок, связанных с блужданием по сети линий.

9. Наибольшую вероятность выжить в "треугольной" дуэли имеет худший из стрелков, Джонс. Следом за ним идет Смит, который никогда не промахивается. По-скольку противники Джонса, когда настает их очередь стрелять, целятся друг в друга, оптимальная стратегия для Джонса заключается в том, чтобы стрелять в воздух до тех пор, пока один из его противников не будет убит. После этого он стреляет в оставшегося противника, имея перед ним большое преимущество.

Легче всего подсчитать вероятность остаться в живых для Смита. В дуэли с Брауном с вероятностью 1 / 2 он стреляет первым. В этом случае он убивает Брауна. Браун, который попадает в цель в 4 случаях из 5, стреляет первым также с вероятностью 1 / 2 . В этом случае Смит остается в живых с вероятностью 1 / 5 . Таким образом, Смит с вероятностью 1 / 2 + 1 / 2 × 1 / 5 = 3 / 5 переживает Брауна. Если Смит остается в живых, то в него стреляет Джонс, который в 1 / 2 всех случаев промахивается. Но если Джонс промахивается при своем первом выстреле, то Смит, дождавшись своей очереди стрелять, убивает его. Поэтому с вероятностью 1 / 2 Смит выходит из дуэли с Джонсом живым и невредимым. Итак, вероятность остаться в живых после дуэли с обоими своими противниками для Смита равна 3 / 5 × 1 / 2 = 3 / 10 .

Случай с Брауном более сложен, потому что требует рассмотрения бесконечного множества случаев. Вероятность остаться в живых после дуэли со Смитом для Брауна равна 2 / 5 (мы только что показали, что Смит в дуэли с Брауном имеет вероятность уцелеть, равную 3 / 5 ; так как в живых должен остаться лишь один из дуэлянтов, искомую вероятность для Смита мы находим, вычитая 3 / 5 из 1). Затем в Брауна стреляет Джонс, который попадает в цель лишь в половине случаев. Если Джонс промахивается, то Браун с вероятностью 4 / 5 убивает его. Итак, на этом этапе дуэли Браун с вероятностью 1 / 2 × 4 / 5 = 4 / 10 выходит победителем из поединка с Джонсом. Но с вероятностью 1 / 5 Браун может промахнуться, после чего Джонс имеет право выстрелить еще раз. С вероятностью 1 / 2 Браун останется в живых, и тогда он в свою очередь сможет выстрелить в Джонса и с вероятностью 4 / 5 убить его. Шансы Брауна остаться в живых во время второго тура поединка составляют 1 / 2 × 1 / 5 × 1 / 2 × 4 / 5 = 4 / 100 .

Если Браун снова промахнется, то во время третьего тура он может убить Джонса лишь с вероятностью 4 / 1000 . В случае повторного промаха во время четвертого тура он попадет в Джонса с вероятностью 4 / 10000 и т. д. Таким образом, шансы Брауна пережить Джонса равны сумме бесконечного ряда

Это не что иное, как бесконечная периодическая десятичная дробь 0,44444..., равная 4 / 9 .

Ранее мы видели, что Браун с вероятностью 2 / 5 может пережить Смита. Только что мы показали, что с вероятностью 4 / 9 он останется в живых после дуэли с Джонсом. Вероятность того, что именно Браун переживет обоих своих противников, равна, следовательно, 2 / 5 × 4 / 9 = 8 / 45 .

Весь поединок удобно изобразить с помощью специального графа - дерева дуэли (рис. 114). Вначале ствол дерева раздваивается. Это происходит потому, что если первым стреляет Джонс, то он производит свой выстрел в воздух, после чего остаются две равновероятные возможности: стреляет либо Смит, либо Джонс (эти двое стреляют "вполне серьезно", с твердым намерением убить своего противника). Одна из ветвей дерева простирается до бесконечности. Подсчет вероятности для того или иного дуэлянта остаться в живых производится следующим образом:

Нужно отметить все ветви дерева, в которых интересующий нас участник поединка является единственным из всех троих, оставшихся в живых.
Идя от каждой из отмеченных ветвей назад к корню дерева, следует перемножить вероятности всех пройденных отрезков пути. Произведение даст вероятность события, соответствующего концу отмеченной ветви.
Сложить все вычисленные в п. 2 вероятности. Их сумма будет интересующей нас вероятностью выживания того или иного дуэлянта.

При вычислении вероятностей выжить для Брауна и Джонса приходится принимать во внимание бесконечно много ветвей, однако с помощью графа нетрудно указать формулу общего члена соответствующего ряда.

Различные варианты этой задачи включены во многие сборники головоломок.

Положите перед собой 3 двухкопеечные и 2 десятикопеечные монеты так, как показано на верхнем рисунке. А теперь попробуйте передвинуть их, чтобы они заняли положение, изображенное ниже. Разумеется, на это надо затратить как можно меньше ходов. По условию всякий раз надо передвигать одновременно 2 рядом лежащие монеты: одна из них должна быть обязательно двухкопеечной, а другая десятикопеечной.

Во время перемещения монеты нельзя отделять одну от другой, нельзя менять их и местами. Иначе говоря, та монета, которая в начале перемещения находилась слева, так и должна оставаться слева. В ходе перестановок может возникнуть разрыв цепочки монет, но после последней перестановки цепочка снова должна стать сплошной. После последней перестановки монеты не обязательно должны быть на том же самом месте, которое они занимали вначале. Задача не так проста, как это может показаться на первый взгляд.

Задача решается в 4 хода:

Передвигаем третью и четвертую монеты (нумерация дана слева направо) вправо так, чтобы между ними и пятой монетой был разрыв шириной в 2 монеты.
Передвигаем первую и вторую монеты вправо за перемещенную третью и четвертую монеты так, чтобы первая и четвертая монеты касались одна другой.
Передвигаем первую и четвертую монеты в промежуток между пятой и третьей.
Передвигаем пятую и четвертую монету в промежуток между третьей и второй.

«Твое свободное время», В.Н.Болховитинов, Б.И.Колтовой

Около небольшого белого домика на опушке леса две недели назад в 23.30 был найден труп некоего Л. Клемпнера. Следствие зашло в тупик, и, как всегда в таких случаях, на помощь был вызван инспектор Варнике. — Это произошло следующим образом,— начал рассказывать свидетель М. во время осмотра инспектором места происшествия.— Я ехал на велосипеде вдоль опушки…

С наступлением затяжных осенних дождей семейство Виммер покинуло дачу и вернулось в свою городскую квартиру. Еще до переезда Виммер договорился с соседом по даче неким З., чтобы тот присматривал за его хозяйством. Через несколько дней после Нового года З. позвонил Виммеру и взволнованным голосом сообщил, что Дача ограблена. Виммер тотчас же обратился в полицию, и…

— Вот здесь на опушке все и произошло, господин инспектор. Какой-то парень бросил мне в лицо молотый перец и выхватил из рук портфель, где находились деньги в сумме тысяча восемьсот пятьдесят семь марок. Я закричал, но вокруг никого не было. От страшного жжения в глазах я ничего не видел. К счастью, я знаю эту местность…

В одной из вилл на краю города 3. поселился некий Альфредо ди Мейро. Благодаря приятной наружности и аристократическим манерам ему удалось добиться расположения самых влиятельных людей города. Пользуясь необычайной популярностью в городе, дон Альфредо занимал деньги направо и налево. Когда же сумма его долгов приняла внушительные размеры, виллу Альфредо ди Мейро посетил инспектор Варнике. Хозяин…

— Я должен тщательно обыскать вашу квартиру, так как ваш сосед утверждает, что вчера, в новогоднюю ночь, в то время как он вместе с вашей семьей распевал веселые песенки под вашей елкой, сверкающей разноцветными лампочками, вы проникли в его квартиру и похитили у него ряд ценных вещей,— сказал инспектор Варнике, обращаясь к господину Майеру. —…

— Да отстаньте же вы от меня наконец! Я очень спешу. — Если вы сейчас же не остановитесь, я вынужден буду прибегнуть к крайним мерам,— сказал инспектор Варнике, как никогда кстати оказавшийся на месте происшествия.— Ведь это вы сейчас взяли в магазине перчатки и ушли, не заплатив за них! — Это неправда! Я действительно только…

Во время пребывания по делам службы в Калифорнии инспектору Варнике представился случай продемонстрировать местной полиции свои незаурядные способности. Однажды он был срочно вызван на аэродром, расположенный недалеко от Лос-Анджелеса. Из случайно услышанного телефонного разговора полиции стало известно, что рейс самолета, который отправляется на Аляску, закончится катастрофой. Один из пассажиров, намереваясь совершить самоубийство, берет с собой…

Вчера я вернулся домой со службы несколько раньше, чем обычно. Только я присел за стол, собираясь поужинать, как вдруг в комнате жены что-то упало. Я бросился туда и увидел лежащую на полу старинную вазу, которой моя жена очень дорожит. Ваза была разбита. В этот же момент из комнаты выбежал какой-то человек. Я кинулся за ним….

Из тюрьмы сбежал опасный преступник. Долгое время ему удавалось скрываться, но в конце концов инспектор Варнике напал на его след. В одной деревне ему и его спутнику сказали, что действительно какой-то неизвестный прошел здесь 15 минут назад и направился в сторону поля. Да, он как будто бы похож на человека, изображенного на фотографии, которую держал…

В гостинице «Грюне Танне» все было готово к большому приему. Официант в последний раз спустился в подвал, чтобы еще раз проверить, достаточно ли подготовлено вина. И вдруг… О ужас! Половина запаса вина исчезла. Инспектор Варнике, который совершенно случайно оказался в этом городе, тотчас же прибыл в гостиницу и, не мешкая, приступил к расследованию дела. Он…

4 монеты

На столе лежат 4 монеты. Их необходимо переложить из первого положения во второе, при этом место в середине должно точно соответствовать одной монете. Перемещая монеты, нельзя их отрывать от стола, а придвигать одну монету можно только к двум или трём другим. В этой и следующих задачах запрещено пользоваться измерительными приборами – линейкой, циркулем и т.д. Все измерения – только при помощи монет.

ОТВЕТ

Цветок

Из 7 монет сложен цветок. Необходимо за минимальное количество перемещений из центра цветка достать монету, не изменив при этом его форму и не отрывая монет от стола.

ОТВЕТ

Треугольник

Переместите 3 монеты таким образом, чтобы перевернуть треугольник вершиной вверх.

ОТВЕТ

Параллелограмм

За минимальное количество перемещений превратите параллелограмм в треугольник.

ОТВЕТ

Шестиугольник

За минимальное количество перемещений превратите шестиугольник в треугольник.

ОТВЕТ

Две лишних монеты

За минимальное количество перемещений достаньте из центра 2 монеты, не изменив при этом форму фигуры и не отрывая монет от стола.

ОТВЕТ

Три монеты в треугольнике

За минимальное количество перемещений достаньте из центра 3 монеты, не изменив при этом форму фигуры и не отрывая монет от стола.

ОТВЕТ

Пять монет

Разместите 5 монет в два ряда по 3 монеты в каждом.

ОТВЕТ

Шесть монет

Разместите 6 монет в два ряда по 4 монеты в каждом.

ОТВЕТ

Шесть монет-2

ОТВЕТ

Восемь монет

Переложите одну монету так, чтобы получить два ряда по 5 монет в каждом.

ОТВЕТ

Двенадцать монет

Разместите 12 монет в семь рядов по 4 монеты в каждом.

ОТВЕТ

Десять монет

Разместите 10 монет в четыре ряда по 4 монеты в каждом.

ОТВЕТ

4х4

На столе лежат шестнадцать монет - четыре ряда по четыре монеты. Уберите шесть монет таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце осталось четное количество монет.

ОТВЕТ

10х5

Разместите 10 монет в пять рядов по 4 монеты в каждом. Класть монеты одна на другую запрещается.

ОТВЕТ

12х6

Разместите 12 монет в шесть рядов по 4 монеты в каждом. Класть монеты одна на другую запрещается.

ОТВЕТ

Ромб

Имеется 2 монеты по 1 рублю, 2 по 2 рубля и 2 по 10 рублей. Разместите все шесть монет в форме ромба, чтобы монеты одного достоинства не соприкасались друг с другом.

ОТВЕТ

Периметр треугольника

Имеется 5 монет по 1 рублю и 5 по 2 рубля. Разместите все десять монет в форме треугольника так, чтобы сумма чисел на каждой из его трёх сторон была одинаковой.

ОТВЕТ

Перемещение 8 монет

Имеется 8 монет (4 монеты по 1 рублю и 4 монеты по 2 рубля). Все монеты размещены в один ряд. Перемещая за один ход по две рядом лежащие монеты, за 4 хода сделайте так, чтобы однорублёвые и двухрублёвые монеты чередовались.

ОТВЕТ

Перемещение 6 монет

Имеется 6 монет (2 монеты по 1 рублю, 2 по 2 рубля и 2 по 10 рублей). Все монеты размещены в один ряд. Перемещая за один ход по две рядом лежащие монеты, за 3 хода сделайте так, как изображено на рисунке ниже.

ОТВЕТ

Квадрат монет

В квадрате 3х3 по периметру лежит 8 монет (4 монеты по 1 рублю и 4 монеты по 2 рубля). Пользуясь свободной клеткой в центре, поменяйте местами однорублёвые монеты и двухрублёвые. За один ход разрешается переместить одну монету в свободную соседнюю клетку по горизонтали или вертикали. Запрещается помещать в одну клетку больше одной монеты, перепрыгивать через клетки и выходить за пределы квадрата.

ОТВЕТ

Уголки

Поменяйте местами однорублёвые монеты и двухрублёвые, пользуясь свободной клеткой в центре. За один ход разрешается переместить одну монету в свободную соседнюю клетку по горизонтали или вертикали. Можно перепрыгивать через одну клетку с монетой по горизонтали или вертикали. Запрещается помещать в одну клетку больше одной монеты, и выходить за пределы фигуры.

ОТВЕТ

Пять орлов

Переворачивая каждый раз по три монеты, лежащие рядом, получите 5 монет, лежащих орлом вверх.

ОТВЕТ

Семь орлов

Переворачивая каждый раз по три монеты, лежащие рядом, получите 7 монет, лежащих орлом вверх.

ОТВЕТ

Треугольник из орлов

Переворачивая каждый раз по три монеты, лежащие в один ряд, сделайте так, чтобы все монеты лежали орлом вверх.

ОТВЕТ

Орлы по кругу

Восемь монет лежат по кругу. Переворачивая каждый раз по две монеты, лежащие в один ряд, сделайте так, чтобы все монеты лежали орлом вверх.

ОТВЕТ

Квадрат из орлов

Восемь монет лежат по периметру квадрата. Переворачивая каждый раз по три монеты, лежащие на любой из его сторон, сделайте так, чтобы все монеты лежали орлом вверх.

ОТВЕТ

Монеты на столе (головоломка на смекалку)

На столе лежат две монеты – 1 рубль и 2 рубля. Как положить 1 рублёвую монету под 2 рублёвую, если 2 рублёвую монету абсолютно ничем нельзя трогать и сдвигать с места.

1 рубль положите на пол под тем местом,

где на столе лежит 2 рубля.

Отверстие

Вырежьте в листе бумаги круглое отверстие немного меньше, чем двухрублёвая монета. А теперь попробуйте просунуть в него пятирублёвую монету! Рвать или надрывать бумагу нельзя, производить манипуляции с монетой (сгибать, подтачивать и т.д.) также запрещается.

ОТВЕТ

Круговое движение

Положите на стол монету достоинством в 5 рублей. После этого рядом положите вторую монету 5 рублей и прокатите её (без скольжения) вокруг первой монеты. Если вторые пять рублей прокатился один полный оборот, то сколько оборотов вокруг своей оси он сделал?

ОТВЕТ (курсором выделите текст ниже)

Скорее всего, у Вас получится один оборот – не удастся избежать

скольжения.Но если бы его не было – вышло бы два оборота!

Монеты на стакане

Возьмите 2 обычные монеты и один стакан. Теперь установите эти монетки на края стакана. А теперь попробуйте снять со стакана на стол двумя пальцами одной руки, причём до стакана дотрагиваться нельзя. Как это сделать.

ОТВЕТ (курсором выделите текст ниже)

Положите большой и указательный пальцы одной руки на обе монетки и, прижав к наружным стенкам стакана, осторожно скользите вниз – до тех пор, пока не достигните серединки стакана. А теперь быстрым движением оторвите монетки от стакана.

Прыжки

Разместите восемь монеток в ряд на столе, как это показано на рисунке, а затем попытайтесь в четыре хода (перемещения монетки) перестроить ряд в четыре стопки по две монеты. Еще одно условие: на каждом ходу монета должна «перепрыгивать» ровно через две монеты (в любом направлении) и приземляться на ближайшую одиночную монету. При этом не важно, лежат ли монеты, через которые перепрыгивают, рядом или друг на друге.

Три в ряд

На столе лежит двенадцать монет. Монеты лежат четырьмя рядами по три монеты. Монеты чередуются, часть лежит вверх орлом, а часть решкой. Ваша задача, касаясь только одной монеты, переместить ее таким образом, чтобы во всех горизонтальных рядах монеты лежали либо орлом, либо решкой вверх. При этом монеты должны остаться в форме той же фигуры. Сбрасывать монеты со стола также запрещается.

ОТВЕТ (курсором выделите текст ниже)

Пальцем руки сдвигаем среднюю монету верхнего ряда вверх и влево. Не отрывая пальца от монеты двигаем ее вниз, огибая левую колонку монет до того момента пока она не окажется под средней монетой нижнего ряда. Толкаем этой монетой среднюю колонку вверх до тех пор, пока у вас снова не получится четыре ряда по три одинаковые монеты в каждом. Задача решена, а вы все это время касались только одной монеты.

Археолог

Археолог нашел древнюю монету, маркированную 10 годом до н.э. Он сразу же понял, что это подделка. Почему?

ОТВЕТ (курсором выделите текст ниже)

Обозначение "до н.э." могло появиться только после наступления нашей эры.

Шашки с монетами

Имеется поле 5х5 ячеек. Каждая монета может перепрыгивать через одну любую другую по горизонтали или вертикали. Монета, через которую перепрыгнула другая монета - снимается с поля. Как убрать все монеты, кроме одной, которая должна остаться в центре поля?

ОТВЕТ

9 монет

На рисунке ниже показано, как можно расположить 16 монет по 4 монеты в каждом из 10 рядов (4 вертикальных, 4 горизонтальных и 2 диагональных). А как можно расположить 9 монет в 10 рядах по 3 монеты в каждом ряду?

ОТВЕТ

Квадрат из треугольника

На рисунке из монет выложен треугольник. Как нужно передвинуть всего две монеты, чтобы получить квадрат?

ОТВЕТ

Перевёртыши

9 монет лежат на столе в форме квадрата. Некоторые из них лежат орлом вверх, некоторые решкой. За один ход переворачивается монета другой стороной, а также все монеты, соприкасающиеся с ней по горизонтали и вертикали. Ниже показаны примеры ходов. Попробуйте за 3 хода перевернуть все монеты орлами вверх.

1. Сцепленные болты. Два одинаковых болта сцеплены нарезкой (рис. 109).

Рис. 109 Сцепленные болты.

Взяв их покрепче за головки, чтобы они не могли проворачиваться, обведите несколько раз один болт вокруг другого в направлении, указанном стрелками (повертев перед этим большими пальцами рук, вы сможете наглядно представить себе движение болтов).

Будут ли головки болтов: а) сближаться, б) расходиться или в) оставаться на неизменном расстоянии друг от друга?

Использовать при решении задачи настоящие болты не разрешается.

2. Кругосветный полет. Группа самолетов базируется на небольшом острове. Баки каждого самолета вмещают столько топлива, что его хватает на облет половины земного шара. При заправке в воздухе из баков одного самолета в баки другого можно перекачивать любое количество горючего. На земле заправку можно производить только на острове. Для удобства решения задачи предполагается, что заправка на земле и в воздухе происходит мгновенно, бех потерь времени.

3. Окружность на шахматной доске. Сторона клетки на шахматной доске 4 см. Чему равен радиус наибольшей окружности, которую можно провести на шахматной доске так, чтобы она проходила только по черным клеткам?

4. Универсальная пробка. Во многих сборниках головоломок объясняется, как вырезать пробку, которой можно плотно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия (рис. 110).

Рис. 110 Универсальная пробка.

Не менее интересно вычислить объем такой пробки. Предположим, что радиус ее круглого основания равен единице длины, а высота - двум единицам и что ребро в ее верхней части (имеющее в длину также две единицы) расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Все параллельные сечения пробки, плоскость которых перпендикулярна верхнему ребру, имеют вид треугольников.

Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного и нижнего, имеющего форму окружности, ребер. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру.

5. Повторяющееся число. Если у вас соберутся гости, вы сможете удивить их необычным фокусом. Попросите одного из гостей - назовем его А - написать на листке бумаги какое-нибудь трехзначное число два раза подряд, чтобы получилось шестизначное число (например 394 394). Отвернитесь так, чтобы вы не могли видеть написанное число, и попросите А передать листок другому гостю, В, которого попросите разделить число на 7.

"Об остатке не беспокойтесь, его не будет", - говорите вы гостю В, и он с удивлением убеждается, что вы правы (например, 394 394 при делении на 7 дает 56 342). Не сообщая вам результат, В передает листок бумаги третьему гостю, С, который делит полученный В результат на 11. Вы снова утверждаете, что остатка не будет, и снова оказываетесь правы (56 342 при делении на 11 дает 5122).

Не оборачиваясь к гостям и не зная, какие цифры написаны на листке бумаги, вы просите передать его четвертому гостю, D, который должен поделить последний результат на 13. Снова деление происходит без остатка (5122 при делении на 13 дает 394). Окончательный результат D записывает на клочке бумаги и, сложив его, передает вам. Не разворачивая листка с ответом, вы передаете его А и говорите: "Разверните листок и вы увидите свое трехзначное число".

Докажите, что фокус получается всегда, независимо от того, какое число выберет первый гость.

6. Столкновение ракет. Две ракеты летят навстречу друг другу, одна - со скоростью 9000 миль/час, а другая - со скоростью 21 000 миль/час. Их стартовые площадки находятся на расстоянии 1317 миль одна от другой. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте, какое расстояние будет между ракетами за минуту до столкновения.

7. Как передвинуть монеты. На ровной гладкой поверхности (например на столе) выложен треугольник из шести монет (рис. 111).

Рис. 111 Как передвинуть монеты?

Требуется за наименьшее число ходов передвинуть монеты так, чтобы они образовали кольцо, показанное на рис. 111. Каждый ход состоит в передвижении только одной монеты. Сдвигать при этом с места другие монеты нельзя. В новом положении каждая монета должна касаться двух других монет. Поднимать монеты с поверхности при решении задачи не разрешается.

8. Рукопожатия и графы. Докажите, что число участников последнего конгресса биофизиков, обменявшихся рукопожатиями нечетное число раз, четно. Та же задача допускает и графическую интерпретацию. На листке бумаги поставьте любое число точек (каждая точка изображает участника конгресса). Между любыми двумя точками разрешается проводить сколько угодно линий. Каждая точка может неограниченное число раз "обмениваться рукопожатиями" с другими точками или быть необщительной и не здороваться ни с кем. Докажите, что число точек, из которых исходит нечетное число линий, четно.

Все три участника знают, что Смит никогда не промахивается, Браун попадает в цель в 80 % случаев, а Джонс, стреляющий хуже всех, промахивается так же часто, как и попадает в цель.

Более трудный вопрос: чему равна вероятность остаться в живых для каждого из дуэлянтов?

Ответы

2. Чтобы обеспечить кругосветный полет одного самолета, достаточно двух самолетов. Сделать это можно многими способами.

Способ, предлагаемый нами, по-видимому, наиболее экономичен: расходуется лишь пять заправок горючего, пилоты двух обеспечивающих полет самолетов успевают перед вылетом с базы выпить по чашке кофе и перехватить по бутерброду, а весь метод обладает не лишенной приятности симметрией.

Самолеты А, В и С стартуют одновременно. Пролетев 1/8 намеченного расстояния (то есть длины окружности большого круга), С перекачивает 1/4 исходного запаса горючего в баки А и 1/4 - в баки В, после чего у него остается 1/4 заправки. Этого количества горючего ему хватает, чтобы вернуться на базу.

Самолеты А а В, продолжая полет, проходят еще 1/8 кругосветного маршрута, после чего В перекачивает 1/4 заправки в баки А.

Баки В остаются заполненными ровно наполовину, и он благополучно дотягивает до родного аэродрома, совершая посадку уже с пустыми баками.

Полностью заправленный самолет А продолжает лететь до тех пор, пока у него не кончится горючее. К этому моменту он находится на расстоянии 1/4 всего пути от базы, и его встречает самолет С, успевший перезаправиться на острове. С перекачивает в баки А 1/4 заправки и вслед за А берет курс на базу. На расстоянии 1/8 окружности земного шара горючее у А и С кончается, но тут их встречает побывавший на базе В, который отдает каждому из них по 1/4 полной заправки. После этого топлива в баках каждого самолета хватает как раз на то, чтобы благополучно вернуться на свою базу (правда, садиться приходится с пустыми баками).