Головна/ Інструменти

Схеми повторних випробувань бернули презентація. Повторення випробувань. Схема бернули. I. Організаційний момент

Проводиться серія незалежних випробувань,
кожному з яких можливо 2 результати,
які умовно назвемо Успіх та Невдача.
Наприклад, студент складає 4 іспити, у кожному
з яких можливе 2 результати Успіх: студент
склав іспит і Невдача: не склав.

Імовірність Успіху в кожному випробуванні дорівнює
p. Імовірність Невдачі дорівнює q = 1-p.
Потрібно знайти ймовірність того, що в серії
з n випробувань успіх настане m разів
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
У кожному випадку успіх відбувається m разів, а
Невдача (n-m) разів.
Число
всіх
комбінацій
одно
числу
способів з n випробувань вибрати ті m,
яких був успіх, тобто. C m
n

Імовірність кожної такої комбінації щодо
теоремі
про
множенні
ймовірностей
складе Pmqn-m.
Оскільки ці комбінації несумісні, то
шукана ймовірність події Bm буде
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
âñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Відомо, якщо монета впаде орлом, то студент
йде в кіно, якщо монета впаде решкою

студентів. Яка ймовірність, що
1) троє з них опиняться на лекції
2) на лекції виявиться не менше 3 студентів
2) хоча б один із студентів потрапить на лекцію?

1) У цій задачі проводиться серія з n=5
незалежних випробувань. Назвемо Успіхом
похід на лекцію (випадання решки) та
Невдачею – похід у кіно (випадання герба).
p=q=1/2.
За формулою Бернуллі знаходимо ймовірність того,
що при 5 киданнях монети тричі станеться
успіх:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Щоб знайти ймовірність того, що при 5 киданнях
хоча б один раз монета випаде рішкою,
перейдемо до ймовірності протилежного
події - монета усі 5 разів випаде гербом:
Р5(0).
Тоді ймовірність буде: Р=1- Р5(0).
За формулою Бернуллі:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Тоді ймовірність шуканої події становитиме
P 1 0.03125 0,96875

Бернуллі
студент йде
у кіно, якщо монета впаде решкою – студент йде на
лекцію. Монету покинуло 5 студентів. Яке найбільше
Чи можлива кількість студентів, які йдуть на лекцію?
Ймовірність
виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2. Яке найбільше
ймовірна кількість квитків, що виграли?

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі

np q k np p

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Формула для найбільш ймовірної кількості успіхів
np q k np p
Якщо np-q– ціле число, то цьому інтервалі лежить 2
цілих числа. Обидва рівноймовірні.
Якщо np-q – неціле число, то цьому інтервалі лежить 1
ціле число

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,

– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5

студентів, які йдуть на лекцію?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
ймовірність, Pn(k)
Ймовірність числа студентів, які відвідали
лекцію
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
кількість студентів, k
4
5

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.

квитків?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
P10 (2) C 0, 2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
Ймовірність числа виграшних квитків
ймовірність, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
кількість квитків, k
7
8
9
10

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі

Укладено 10 договорів

виплатити страхову суму

одному з договорів

ніж за трьома договорами
г) знайти найбільш ймовірну кількість договорів, за
яким доведеться виплатити страхову суму

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
а) Знайти ймовірність того, що за трьома доведеться
виплатити страхову суму
0,201327

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
б) Страхову суму не доведеться виплачувати ні за
одному з договорів
0,107374

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
в) страхову суму доведеться виплатити не більше,
ніж за трьома договорами
0,753297

Якщо n велике, то використання формули
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
важко
Тому застосовуються наближені формули

Теорема: Якщо ймовірність настання події А
у кожному випробуванні близька до нуля,
а число незалежних випробувань n досить велике,
то ймовірність Pn(m) того, що в n незалежних випробуваннях
подія А настане m разів, приблизно дорівнює:
Pn (m)
m
m!
e
де λ=np
Ця формула називається формулою Пуассона (закон рідкісних подій)

Pn (m)
m
m!
e, np
Зазвичай наближену формулу Пуассона застосовують,
коли p<0,1, а npq<10.

Нехай відомо, що при виготовленні деякого препарату
шлюб (кількість упаковок, що не відповідають стандарту)
складає 0,2%. Оцінити приблизно ймовірність того, що
серді 1000 навмання вибраних упаковок виявляться три упаковки,
що не відповідають стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e,
np

пов'язано трохи більше 5 договорів.

Приклад У середньому по 1% договорів страхова компанія
виплачує страхову суму. Знайти ймовірність того, що з
100 договорів із настанням страхового випадку буде
пов'язано трохи більше 5 договорів.

МОУ «Рудногірська середня загальноосвітня школа»

Розробка уроку з теорії ймовірностей

в 10 класі

по темі

« Незалежні повторні випробування.

Теорема Бернуллі »

Вчитель математики

МОУ «Рудногірська сош»

Чибишева І.А.

«…Випадковість головним чином

залежить від нашого знання…»

Якоб Бернуллі

Тема «»

Клас:10

Цілі уроку:

Навчальні:

Розвиваючі:

Виховні:

Завдання:

Тип уроку:комбінований.

Методи навчання:бесіда, письмові вправи.

Обладнання:комп'ютер, мультимедіа-проектор. презентація, роздатковий матеріал

План уроку:

Організаційний етап -2 хв.

Актуалізація опорних знань – 3 хв.

Етап вивчення нового матеріалу – 10 хв.

Етап узагальнення та систематизації знань -20 хв

Домашня робота -3 хв

Підбиття підсумку уроку-2 хв

Рефлексія -5 хв.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

ІІ. Актуалізація знань

Згадаймо основні поняття та формули комбінаторики.

1. Що називається факторіалом числа n? (Це добуток перших натуральних n чисел від 1 до n.)
2. Скільки способами можна розставити4 різні книги на полиці? (3! = 3 · 2 · 1. Це число перестановок з 3 елементів.)
3. Скільки способами можна розподілити I, II, III місця між 7 учасниками змагання? (7 · 6 · 5 = 210. Це число розміщень з 7 елементів по 3.)
4. Скільки способами можна скласти графік чергування 3 учнів з 5? ( це число поєднань з 5 елементів по 3 і 10).

5. Що ми називаємо ймовірністю випадкової події?

6. Сформулюйте класичне визначення ймовірності.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

При практичному застосуванні теорії ймовірностей та математичної статистики часто доводиться зустрічатися із завданнями, в яких той самий досвід повторюється неодноразово. У результаті кожного досвіду може з'явитися чи не з'явитися подія A, причому нас цікавить не результат кожного досвіду, а загальна кількість події A у серії дослідів. Наприклад, зовсім недавно у Кореї пройшов чемпіонат світу з біатлону. Спортсмени робили ряд пострілів по мішеням, і нас, як правило, цікавив не результат кожного окремого пострілу, а загальна кількість влучень. При цьому результати попередніх дослідів не позначалися на наступних. Така стандартна схема часто зустрічається і в самій теорії ймовірностей. Вона називається схемою незалежних випробувань або схемою Бернуллі . Швейцарський математик XVII ст. Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину ймовірнісну задачу-схему (робота "Мистецтво припущень" опублікована в 1713 році).

Історична довідка (повідомлення про життя вченого до уроку готує один із учнів):

Якоб Бернуллі (27.12.1654, Базель, - 16.8.1705, там же) - професор математики Базельського університету (1687) був вихідцем з Голландії .....

Перевірка домашнього завдання:
1 група: Вам вдома треба було вирахувати ймовірність випадання 1 на гральному кубику.
2 група: Вам вдома треба було вирахувати можливість випадання «орла» при киданні монети. (Учні називають результати, робиться висновок про причини різних відповідей, і висновок про те, що чим більше випробувань, тим краще можна побачити, чого прагне результат)
Говорячи про частоті та ймовірності деякої випадкової події А, ми маємо на увазі наявність певних умов, які можна неодноразово відтворювати. Цей комплекс умов ми називаємо випадковим досвідом чи випадковим експериментом. Зазначимо, що результат одного досвіду не залежить від попереднього. Кілька дослідів називаються незалежнимиякщо ймовірність результату кожного з дослідів не залежить від того, які результати мали інші досліди. Наприклад, кілька послідовних кидань монети – це незалежні досліди. Декілька послідовних виймань куль з мішка – незалежні досліди за умови, що вийнята куля щоразу повертається в мішок. Інакше – це залежні досліди. Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину імовірнісну схему.

Схема Бернуллі.

Розглядають незалежні повторення того самого випробування з двома можливими наслідками, які умовно називають «успіх» і «невдача». Потрібно знайти ймовірність того, що при n таких повтореннях станеться рівно до «успіхів».

Вчителю слід підкреслити ще раз три умови, яким має задовольняти схема Бернуллі:

1) у кожного випробування має бути два результати, званих «успіх» та «невдача»;

2) у кожному досвіді ймовірність події А має бути незмінною;

3) результати дослідів мають бути незалежними.

1 V . Закріплення.

1. Усна робота (Можливо організувати групову роботу). Відповіді обговорюються у групах та один представник озвучує.

Поясніть, чому такі питання укладаються у схему Бернуллі. Вкажіть, у чому «успіх» і до чого рівні nі k.

а) Яка ймовірність того, що при 123 киданнях монети «решка» випаде рівно 45 разів?

б) У чорній скриньці знаходяться 10 білих, 3 червоних та 7 синіх куль. Кулі виймаються, записується їхній колір і повертаються назад. Якою є ймовірність того, що всі з 20 вилучених куль будуть синіми?
в) Яка ймовірність того, що при ста киданнях монети «орел» з'явиться 73 рази?
г) Двадцять разів поспіль кинули пару гральних кубиків. Яка ймовірність того, що сума очок жодного разу не дорівнювала десяти?
д) З колоди в 36 карт витягли три карти, записали результат і повернули їх у колоду, потім карти перемішали. Так повторювалося чотири рази. Яка ймовірність того, що кожного разу серед витягнутих карт була жінка пік?

ВЧИТЕЛЬ:Для отримання чисельних значень таких завдань необхідно заздалегідь знати ймовірність «успіхів» і «невдач». Позначивши можливість «успіху» p, а можливість «невдач» q, де q = 1- p, Бернуллі довів чудову теорему

2. Самостійна робота(Можливо організувати групову роботу). Учням пропонується 7 завдань на розв'язання. У дужках вказано кількість балів за завдання. Хлопці обговорюють рішення у групах. Установка: оцінка «5»-17-22 бали, «4»-12-16 балів, «3»-6-11 балів.

1). Яка ймовірність цього. що при десяти кидках гральної кістки 3 очки випадуть рівно 2 рази? (2 бали)

2). Яка ймовірність того, що при 9 киданнях монети «орел» випаде рівно 4 рази? (2 бали)

3). Остап Бендер грає 8 партій проти членів шахового клубу. Остап грає погано, тому ймовірність виграшу у кожній партії дорівнює 0,01. Знайдіть ймовірність, що Остап виграє хоча б одну партію. (3 бали)

4). Імовірність влучення у мету одним пострілом дорівнює 0,125. Яка ймовірність того, що з 12 пострілів не буде жодного влучення? (3 бали)

5). У частині А ЄДІ з математики у 2005 році було 10 завдань із вибором відповіді. До кожного з них пропонувалося 4 варіанти відповідей, з яких лише одна вірна. Для отримання позитивної позначки на іспиті необхідно відповісти щонайменше на 6 завдань. Яка ймовірність того, що недбалий учень здасть іспит? (4 бали)

6). Кидаємо гральну кістку. Яка ймовірність того, що кинувши кістку 8 разів, ми викинемо шістку не менше 4 разів, але не більше 6 разів? (4 бали)

7). За один постріл стрілок вражає мету з ймовірністю 0,1. Знайти ймовірність того, що при п'яти пострілах він хоча б раз потрапить у ціль. (4 бали)

ВІДПОВІДІ: 1) 0,29; 2) 0,246; 3)0,077; 4)0,2 5) 0,016; 6) 0,034; 7) 0,4095;

Якщо є час, роботу можна обговорити, якщо ні, то зібрати зошити на перевірку.

V.Домашня робота:

1). Імовірність події А дорівнює 0,3. Яка ймовірність того, що в серії з шести випробувань подія А настане хоча б один раз? (4 бали)

2). Сашкові задали 10 однакових за складністю завдань. Імовірність того, що він вирішить завдання, дорівнює 0,75. Знайдіть ймовірність того, що Сашко вирішить: а) всі завдання;

б) щонайменше 8 завдань; в) щонайменше 6 завдань.

3. Серію випробувань Бернуллі проводять двічі. Вперше ймовірність успіху дорівнює ½, вдруге ймовірність успіху 1/3. У якому разі очікуваний розкид величини S більше, якщо S число успіхів, що настали?

ВІДПОВІДІ: 1). 0,882; 2) а) 0,056; б) 0,526; в) 0,922.

Індивідуально: презентація матеріалу на тему «Закон великих чисел», доповідь на тему «Родина Бернуллі».

V1. Підбиття підсумків.

Які ключові слова уроку можна виділити? Поясніть їхнє значення.

Який ключовий факт сьогодні вивчено?

Що спільного і в чому відмінність статистики та ймовірності?

V11. Рефлексія.На етапі рефлексії учням пропонується скласти синквейн та у поетичній формі висловити своє ставлення до вивченого матеріалу.

СИНКВЕЙН – прийом технології розвитку критичного мислення, на стадії рефлексії.

Це короткий літературний твір, що характеризує предмет (тему), що складається з п'яти рядків, що пишеться за певним планом. Слово «сінквейн» походить від французького слова «п'ять».

ПРАВИЛА НАПИСАННЯ СІНКВЕЙНУ

1 рядок – одне слово – назва вірша, тема, зазвичай іменник.

2 рядок – два слова (прикметники чи причастя). Опис теми, слова можна поєднувати спілками та прийменниками.

3 рядок – три слова (дієслова). Дії, які стосуються теми.

4 рядок - чотири слова - речення. Фраза, що показує ставлення автора до теми у 1-й рядку.

5 рядок - одне слово - асоціація, синонім, який повторює суть теми в 1-му рядку, зазвичай іменник.

Література

В.А.Буличев, Є.А.Бунімович. Вивчення теорії ймовірностей та статистики у шкільному курсі математики. "Математика в школі". № 4. 2003 стор. 59. Віленкін Н. Я. Комбінаторика. - М.: Наука, 1969.

В.М. Студинецька та ін. «У світі закономірних випадковостей». Волгоград: Вчитель, 2007.

Гмурман В. Є. Посібник з вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики. - М.: Вища школа, 1975.

Гмурман В. Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. - М.: Вища школа, 1977.

Гнеденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. - М.: Наука, 1988.

Ел. підручник Реферати та твори

Самоаналіз уроку

Курс:основи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Клас: 10-й, фізико-математичний напрямок.

Тема урока:Незалежні повторні випробування. Теорема Бернуллі

Цілі уроку:

Навчальні:

Ознайомлення учнів зі схемою Бернуллі та відпрацювання її застосування під час вирішення завдань.

Розвиваючі:

Формування в учнів єдиної наукової картини світу та елементів наукового світогляду шляхом дослідження міжпредметних зв'язків теорії ймовірностей та різних наук;

Формування імовірнісно-статистичного мислення учнів;

Виховні:

Розвиток самостійності та навичок самоконтролю.

Мотивація учнів до вивчення тем теорії ймовірностей.

Завдання:

закріпити знання та вміння вирішувати комбінаторні завдання;
формувати навички застосування схеми Бернуллі під час вирішення завдань,
формувати навички розв'язання задач за формулою Бернуллі,
розвивати основні розумові операції учнів: уміння порівнювати, аналізувати.

Тип уроку:комбінований.

Цей матеріал має практичне застосування, оскільки дозволяєвирішувати завдання, у яких той самий досвід повторюється неодноразово. У результаті кожного досвіду може з'явитися чи не з'явитися подія A, причому нас цікавить не результат кожного досвіду, а загальна кількість події A у серії дослідів. На даному уроці хлопці дізналися формулу для вирішення таких завдань, навчилися визначати задачі, які підходять під схему Бернуллі та вирішуються за його теоремою. Раціонально розподілено час всіх етапах уроку. Темп уроку відповідав рівню розвитку та підготовленості учнів.

Урок був задуманий мною як діалог між учителем та учнями, оскільки клас досить сильний. Урок сприяв формуванню основних світоглядних ідей, імовірнісно-статистичного мислення, вміння виділяти міжпредметні зв'язки. Хлопці працювали у групах, що дозволяє розвивати їхню пізнавальну та комунікативну компетентність. Для того, щоб у групах працювали всі, відповідно до своїх можливостей та здібностей, щоб не втрачався інтерес до дисципліни, що викладається, завдання запропоновані різнорівневого характеру Учні на уроці проявляли активність, самостійно приходили до висновку. Зміст уроку сприяло розвитку інтересу до вчення, що свідчить рефлексивний етап уроку. Презентація допомогла зробити урок цікавішим, заощадити час для конспектування нового та систематизації матеріалу.

Приклад синквейну:

1. Теорема Бернуллі
Нова, цікава.
Познайомились, зрозуміли, зацікавились.
Дозволяє знаходити ймовірність

В реальності.

2. О, випробування,

Незалежні повторні

Розберемо, зрозуміємо та обчислимо

І допоможе нам у цьому, звичайно,

Теорема Бернуллі

Цілі, поставлені на уроці, досягнуті.

Повторні незалежні випробування називаються випробуваннями Бернуллі, якщо кожне випробування має лише два можливі результати та ймовірності результатів залишаються незмінними для всіх випробувань.

Позначимо ці ймовірності як pі q. Вихід із ймовірністю pбудемо називати “успіхом”, а результат із ймовірністю q- "невдачею".

Очевидно, що

Простір елементарних подій кожного випробування складається з двох точок. Простір елементарних подій для nвипробувань Бернуллі містить точок, кожна з яких є одним можливим результатом складового досвіду. Оскільки випробування незалежні, то ймовірність послідовності подій дорівнює добутку ймовірностей відповідних результатів. Наприклад, ймовірність послідовності подій

(У, У, Н, У, Н, Н, Н)

дорівнює твору

Приклади тестів Бернуллі.

1. Послідовні кидання "правильної" монети. В цьому випадку p = q = 1/2 .

При киданні несиметричної монети відповідні ймовірності змінять значення.

2. Кожен результат досвіду можна як Aабо .

3. Якщо існує кілька можливих наслідків, то з них можна виділити групу наслідків, які розглядаються як “успіх”, називаючи всі інші наслідки “невдачею”.

Наприклад, при послідовних киданнях гральної кістки під "успіхом" можна розуміти випадання 5, а під "невдачею" - випадання будь-якого іншого числа очок. В цьому випадку p = 1/6, q = 5/6.

Якщо ж під "успіхом" розуміти випадання парного, а під "невдачею" - непарного числа очок, то p = q = 1/2 .

4. Повторні випадкові вилучення кулі з урни, що містить при кожному випробуванні a білих та bчорні кулі. Якщо під успіхом розуміти вилучення білої кулі, то , .

Феллер наводить такий приклад практичного застосування схеми випробувань Бернуллі. Шайби, що виготовляються при масовому виробництві, можуть відрізнятися за товщиною, але при перевірці вони класифікуються на придатні та дефектні – залежно від того, чи товщина перебуває в приписаних межах. І хоча продукція з багатьох причин не може цілком відповідати схемі Бернуллі, ця схема задає ідеальний стандарт для промислового контролю якості продукції, незважаючи навіть на те, що цей стандарт ніколи не досягається достеменно. Машини схильні до змін, і тому ймовірності не залишаються одними й тими самими; в режимі роботи машин є деяка сталість, внаслідок чого довгі серії однакових відхилень виявляються більш ймовірними, ніж це було б за дійсної незалежності випробувань. Однак з точки зору контролю якості продукції бажано, щоб процес відповідав схемі Бернуллі, і важливо те, що в деяких межах цього можна досягти. Метою поточного контролю є виявлення вже на ранній стадії істотних відступів від ідеальної схеми та використання їх як вказівок на порушення правильності роботи машини.

Формула Бернуллі

Бєляєва Т.Ю. ДБПОУ КК «АМТ» м. Армавір Викладач математики

Один із засновників теорії ймовірностей та математичного аналізу

Іноземний член Паризької Академії наук (1699) та Берлінської академії наук (1701)

Старший брат Йоганна Бернуллі (найвідоміший представник сімейства Бернуллі)

Якоб Бернуллі (1654 – 1705)

швейцарський математик

Нехай проводиться п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність того, що відбудеться подія А, дорівнює р , А отже, ймовірність того, що воно не станеться, дорівнює q = 1 - p .

Потрібно знайти ймовірність того, що при п послідовних випробуваннях подія А відбудеться рівно т разів.

Шукану ймовірність позначимо р п ( т ) .

Очевидно, що

р 1 (1) = p, р 1 (0) = q

р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1

При двох випробуваннях:

можливі 4 результати:

р 2 (2) = р 2; р 2 (1) = 2р · q; р 2 (0) = q 2

р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1

При трьох випробуваннях:

можливі 8 результатів:

Отримуємо:

р 3 (2) = 3р 2 · q

р 3 (1) = 3pq 2

р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Завдання 1.

Монету кидають 8 разів. Яка ймовірність, що чотири рази випаде «герб»?

Завдання 2.

В урні 20 куль: 15 білих та 5 чорних. Вийняли поспіль 5 куль, причому кожна вийнята куля поверталася в урну перед вилученням наступної кулі. Знайти ймовірність того, що з п'яти вийнятих куль буде 2 білі.

Формули для знаходження ймовірності того, що в п випробуваннях подія настане :

а) менше т разів

р п (0) + … + р п (т-1)

б) більше т разів

р п (т+1) + … + р п (п)

в) не більше т разів

р п (0) + … + р п (т)

г) не менше т разів

р п (т) + … + р п (п)

Завдання 3.

Імовірність виготовлення на верстаті-автоматі нестандартної деталі дорівнює 0,02. Визначити ймовірність того, що серед удачу взятих шести деталей виявляться понад 4 стандартні.

Подія А - « більше 4-х стандартних деталей» (5 або 6) означає

« не більше 1-ї бракованої деталі» (0 або 1)

Нехай проводиться п незалежних випробувань. При кожному такому випробуванні подія А може статися чи не статися. Відома імовірність появи події А.

Потрібно знайти таке число μ (0, 1, …, n), для якого ймовірність Р n (μ) буде найбільшою.

Завдання 4.

Частка виробів вищого гатунку цьому підприємстві становить 31%. Чому дорівнює найімовірніше число виробів вищого гатунку у разі відбору партії з 75 виробів?

За умовою: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Завдання 6.

Дві стрілки стріляють по мішені. Імовірність промаху за одного пострілу для першого стрілка дорівнює 0,2, а другого – 0,4. Визначити найімовірніше число залпів, у яких нічого очікувати жодного влучення у мету, якщо стрілки зроблять 25 залпів.

За умовою: n = 25, p = 0,2 · 0,4 = 0,08, q = 0,92

Популярні матеріали

Call of Duty: Infinite Warfare системні вимоги до ПК Системні вимоги call of duty infinite
EX рейди (ексклюзивні рейди) в Покемон ГО
Як отримати легендарних орків у Middle-earth: Shadow of War Як знайти плем'я shadow of war
Dark Souls III: рецензія
Проходження гри Planescape: Torment Planescape torment повне проходження російської версії