Exod. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori.

Răspuns: 0,25. 34. Soluție. Există 4 opțiuni în total: o; oh oh; p p; p p; O. Favorabil 1: o; R. Probabilitatea este 1/4 = 0,25. V experiment aleatoriu o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca rezultatul să fie OP (se ridică prima dată, se află la a doua oară).

Diapozitivul 35 din prezentare „Rezolvarea sarcinilor B6”... Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 1329 KB.

Clasa a 11-a Matematică

rezumat alte prezentări

„Rezolvarea sarcinilor B6” - Geanta achiziționată. Probabilitatea de a produce evenimente independente. Frecvența nașterii fetelor. Exod. Lot. Oportunitatea de a câștiga. Participant. Plăci de calitate. Limbă străină. Comanda. Situatie. Căutarea probabilității. Uman. Combinații. Cafea. Baterie. Dezvoltări. Magazin. O întrebare despre botanică. Ceasuri mecanice... Carduri cu numere de grup. Probabilitatea de a supraviețui. Pompa. Revolver cu fermoar. Atlet.

„Pregătirea pentru un examen la matematică” - Spațiul informațional și metodologic al profesorilor de matematică. Colecție pentru examenul la matematică. Rezolvarea unui număr mare de sarcini din „Task Bank”. Recomandări pentru absolvenți să se pregătească pentru examenul de stat unificat. Din experiența pregătirii pentru certificarea finală a studenților nemotivați. Cărți de lucru în matematică B1-B12, C1 - C6 pentru examenul 2011. Rezultatele examenului. Suport informațional al examenului de stat unificat. Teste de pregătire pentru examenul 2011 la matematică.

„Rezolvarea problemelor de cuvinte în matematică” - Există 82 de prototipuri de probleme în secțiunea de prototipuri din blocul B12. Sarcini de mișcare. Mișcarea obiectelor unul față de celălalt. O echipă de pictori pictează un gard de 240 de metri. Sarcini pentru muncă. Prototip misiune B12. Sarcini de lucru și productivitate. Patru cămăși sunt cu 8% mai ieftine decât o jachetă. Sarcini pentru „concentrație, amestecuri și aliaje”. Abordări generale pentru rezolvarea problemelor. Mișcarea bicicliștilor și a șoferilor. Mișcarea bărcii cu fluxul și împotriva fluxului.

„Opțiuni pentru sarcini pentru examenul la matematică” - rădăcinile sunt iraționale. Sarcinile subiectului. Indicați graficul funcției date de formulă. Cele mai simple tipuri de ecuații și inegalități. Analiza conținutului sarcinilor pentru examen de matematică. Figurile geometriceși proprietățile lor. Sarcinile celei de-a doua și a treia părți (formularul B și C). Brigada studențească. Valoarea expresiei. Găsiți sensul expresiei. Câte rădăcini are ecuația. Structura muncii în matematică. Principalele subiecte de conținut în matematică.

„Structura examenului la matematică” - Muncă de instruire. Structura UTILIZĂRII KIM. Exemplu UTILIZARE KIM în matematică 2012. Sfatul psihologului. Opțiuni tipice de examen. Unified State Exam-2012 matematică. Trucuri utile. Formulare de răspuns. Scalare. Evaluarea muncii examenului la matematică. Recomandări pentru memorarea materialului. Modificări ale examenului la matematică 2012. Structura versiunii KIM. Sarcini tipice de testare. Algebră.

„Sarcina B1 la examenul la matematică” - O sticlă de șampon. Pregătirea examenului la matematică. Conținutul misiunii. Cerințe verificabile. Nava cu motor. Date numerice reale. Acid de lamaie. Barcă de salvare. Sarcini pentru soluția independentă. Acidul citric se vinde în pliculețe. Memo către student. Cel mai mare număr. Prototip Quest.

Condiție

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca a doua oară să fie aceeași cu prima.

Soluţie

1. Această problemă va fi rezolvată prin formula:

În cazul în care P (A) este probabilitatea evenimentului A, m este numărul de rezultate favorabile pentru acest eveniment, n este numărul total al tuturor rezultatelor posibile.

1. Să aplicăm această teorie problemei noastre:

A - un eveniment când a doua oară cade la fel ca prima;

P (A) - probabilitatea ca a doua oară să fie aceeași cu prima.

1. Să definim m și n:

m - numărul de rezultate favorabile acestui eveniment, adică numărul de rezultate atunci când a doua oară apare același lucru ca primul. În experiment, o monedă este aruncată de două ori, care are 2 fețe: cozi (P) și capete (O). Avem nevoie de a doua oară pentru a renunța la fel ca prima și acest lucru este posibil atunci când cad următoarele combinații: OO sau PP, adică se dovedește că

m = 2, deoarece sunt posibile 2 opțiuni, când a doua oară va cădea aceeași ca prima;

n este numărul total al tuturor rezultatelor posibile, adică pentru a determina n, trebuie să găsim numărul tuturor combinațiilor posibile care pot apărea atunci când moneda este aruncată de două ori. Atunci când arunci o monedă pentru prima dată, pot cădea fie cozi, fie capete, adică sunt posibile două opțiuni. Când arunci o monedă a doua oară, sunt posibile exact aceleași opțiuni. Se pare că

În teoria probabilității, există un grup de probleme, pentru a căror soluție este suficient să cunoașteți definiția clasică a probabilității și să vizualizați situația propusă. Astfel de probleme sunt cele mai multe probleme cu aruncarea monedelor și aruncarea zarurilor. Să ne reamintim definiția clasică a probabilității.

Probabilitatea evenimentului A (posibilitatea obiectivă a apariției unui eveniment în termeni numerici) este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile: P (A) = m / n, Unde:

• m este numărul rezultatelor elementare ale testului care favorizează apariția evenimentului A;
• n este numărul total al tuturor rezultatelor elementare posibile ale testului.

Este convenabil să se determine numărul posibilelor rezultate elementare ale testului și numărul rezultatelor favorabile în problemele luate în considerare prin enumerarea tuturor opțiunilor posibile (combinații) și a calculului direct.

Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele cad 1 dată) corespund opțiunilor 2 și 3 ale experimentului, există două astfel de opțiuni m = 2.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 2/4 = 0,5

Sarcina 2 ... Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să nu ajungă niciodată la capete.

Soluţie ... Deoarece moneda este aruncată de două ori, atunci, la fel ca în problema 1, numărul rezultatelor elementare posibile este n = 4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele nu vor cădea nici măcar o dată) corespund opțiunii 4 a experimentului (vezi tabelul din sarcina 1). Există doar o astfel de opțiune, deci m = 1.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 1/4 = 0,25

Problema 3 ... Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de 2 ori.

Soluţie ... Variantele posibile ale trei aruncări de monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sunt prezentate sub forma unui tabel:

Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 8. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele cad de 2 ori) corespund opțiunilor 5, 6 și 7 ale experimentului. Există trei astfel de opțiuni, ceea ce înseamnă m = 3.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 3/8 = 0,375

Problema 4 ... Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să aterizeze exact de 3 ori.

Soluţie ... Posibile variante de patru aruncări de monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sunt prezentate sub forma unui tabel:

Opțiunea nr.	Prima aruncare	A doua aruncare	A treia aruncare	A 4-a aruncare	Opțiunea nr.	Prima aruncare	A doua aruncare	A treia aruncare	A 4-a aruncare
1	Vultur	Vultur	Vultur	Vultur	9	Cozi	Vultur	Cozi	Vultur
2	Vultur	Cozi	Cozi	Cozi	10	Vultur	Cozi	Vultur	Cozi
3	Cozi	Vultur	Cozi	Cozi	11	Vultur	Cozi	Cozi	Vultur
4	Cozi	Cozi	Vultur	Cozi	12	Vultur	Vultur	Vultur	Cozi
5	Cozi	Cozi	Cozi	Vultur	13	Cozi	Vultur	Vultur	Vultur
6	Vultur	Vultur	Cozi	Cozi	14	Vultur	Cozi	Vultur	Vultur
7	Cozi	Vultur	Vultur	Cozi	15	Vultur	Vultur	Cozi	Vultur
8	Cozi	Cozi	Vultur	Vultur	16	Cozi	Cozi	Cozi	Cozi

Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 16. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele cad de 3 ori) corespund opțiunilor 12, 13, 14 și 15 ale experimentului, deci m = 4.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 4/16 = 0,25

Determinarea probabilității în problemele cu zarurile

Problema 5 ... Determinați probabilitatea ca mai mult de 3 puncte să fie aruncate atunci când aruncați zarurile (moara corectă).

Soluţie ... Când aruncați un zar (zaruri corecte), oricare dintre cele șase fețe ale acestuia poate cădea, adică oricare dintre evenimentele elementare au loc - o scădere de la 1 la 6 puncte (puncte). Prin urmare, numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6.
Evenimentul А = (mai mult de 3 puncte abandonate) înseamnă că 4, 5 sau 6 puncte (puncte) au căzut. Prin urmare, numărul rezultatelor favorabile este m = 3.
Probabilitatea unui eveniment P (A) = m / n = 3/6 = 0,5

Problema 6 ... Determinați probabilitatea ca numărul de puncte abandonate atunci când aruncați zarurile să nu depășească 4. Rotunjiți rezultatul la miimi.

Soluţie ... Când arunci un zar, oricare dintre cele șase fețe ale acestuia poate cădea, adică oricare dintre evenimentele elementare au loc - o scădere de la 1 la 6 puncte (puncte). Prin urmare, numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6.
Evenimentul А = (nu mai mult de 4 puncte abandonate) înseamnă că 4, 3, 2 sau 1 punct (punct) au căzut. Prin urmare, numărul rezultatelor favorabile este m = 4.
Probabilitatea unui eveniment P (A) = m / n = 4/6 = 0.6666 ... ≈0.667

Problema 7 ... Zarurile sunt aruncate de două ori. Găsiți probabilitatea ca ambele ori numărul să fie mai mic de 4.

Soluţie ... Deoarece zarurile ( zaruri(1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6) și așa mai departe cu fiecare față. Toate cazurile sunt prezentate sub forma unui tabel de 6 rânduri și 6 coloane:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (de ambele ori un număr mai mic de 4 abandonate) (sunt evidențiate cu caractere aldine), calculăm și obținem m = 9.
Găsim probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 9/36 = 0,25

Problema 8 ... Zarurile sunt aruncate de două ori. Găsiți probabilitatea ca cel mai mare dintre cele două numere extrase să fie 5. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată mie.

Soluţie ... Tot posibilele rezultate două aruncări zaruri prezent în tabel:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6 * 6 = 36.
Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (cel mai mare dintre cele două numere extrase este 5) (acestea sunt evidențiate cu caractere aldine) vor fi calculate și vom obține m = 8.
Găsim probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 8/36 = 0.2222 ... ≈0.222

Problema 9 ... Zarurile sunt aruncate de două ori. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o dată un număr să scadă mai puțin de 4.

Soluţie ... Toate rezultatele posibile ale două aruncări de zaruri sunt prezentate în tabel:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6 * 6 = 36.
Expresia „cel puțin o dată a căzut un număr mai mic de 4” înseamnă „un număr mai mic de 4 a căzut o dată sau de două ori”, apoi numărul de rezultate favorabile ale evenimentului A = (cel puțin o dată un număr mai mic de 4 a căzut ) (sunt evidențiate cu caractere aldine) m = 27.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 27/36 = 0,75

Sarcinile de aruncare a monedelor sunt considerate a fi destul de dificile. Și înainte de a le rezolva, este necesară o mică clarificare. Gândiți-vă, orice problemă din teoria probabilității se reduce în cele din urmă la o formulă standard:

unde p este probabilitatea dorită, k este numărul de evenimente care ni se potrivesc, n este numărul total de evenimente posibile.

Majoritatea problemelor B6 sunt rezolvate folosind această formulă literalmente într-o singură linie - doar citiți condiția. Dar în cazul aruncării de monede, această formulă este inutilă, deoarece din textul unor astfel de probleme nu este deloc clar cu ce sunt egale numerele k și n. Aceasta este întreaga dificultate.

Cu toate acestea, există cel puțin două metode de soluție fundamental diferite:

1. Metoda forței brute este un algoritm standard. Se scriu toate combinațiile de capete și cozi, după care se selectează cele necesare;
2. O formulă specială de probabilitate este o definiție standard a probabilității, rescrisă special, astfel încât să fie convenabil să lucrați cu monede.

Pentru a rezolva problema B6, trebuie să cunoașteți ambele metode. Din păcate, doar primul este predat în școli. Să nu repetăm ​​greșelile școlare. Deci să mergem!

Metoda forței brute

Această metodă se mai numește „soluție cap la cap”. Constă din trei pași:

1. Scrieți toate combinațiile posibile de capete și cozi. De exemplu: OP, RO, OO, RR. Numărul acestor combinații este n;
2. Dintre combinațiile obținute, le marcăm pe cele care sunt cerute de starea problemei. Numărăm combinațiile marcate - obținem numărul k;
3. Rămâne să găsim probabilitatea: p = k: n.

Din păcate, această metodă funcționează doar pentru un număr mic de fotografii. Deoarece cu fiecare nouă aruncare, numărul de combinații se dublează. De exemplu, pentru 2 monede, trebuie să scrieți doar 4 combinații. Pentru 3 monede, există deja 8 dintre ele, iar pentru 4 - 16, iar probabilitatea de eroare se apropie de 100%. Aruncați o privire la exemple - și voi înțelegeți totul:

Sarcină. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 2 ori. Găsiți probabilitatea ca același număr de capete și cozi să apară.

Deci, moneda este aruncată de două ori. Să scriem toate combinațiile posibile (O - capete, P - cozi):

Total n = 4 opțiuni. Acum să scriem acele opțiuni care se potrivesc stării problemei:

Au existat k = 2 astfel de opțiuni. Găsiți probabilitatea:

Sarcină. Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să nu se ridice niciodată.

Din nou, scrieți toate combinațiile posibile de capete și cozi:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Au existat n = 16 opțiuni în total. Nu părea să fi uitat nimic. Dintre aceste opțiuni, suntem mulțumiți doar de combinația „OOOO”, în care nu există deloc cozi. Prin urmare, k = 1. Rămâne să găsim probabilitatea:

După cum puteți vedea, în ultima problemă a trebuit să scriem 16 opțiuni. Ești sigur că le poți scrie fără o singură greșeală? Personal, nu sunt sigur. Așadar, să ne uităm la a doua soluție.

Formula probabilității speciale

Deci, problemele cu monedele au propria formulă de probabilitate. Este atât de simplu și important încât am decis să o formulez sub forma unei teoreme. Aruncați o privire:

Teorema. Lasă moneda să fie aruncată de n ori. Atunci probabilitatea ca capetele să aterizeze exact de k ori poate fi găsită prin formula:

Unde C n k - numărul de combinații de n elemente cu k, care se calculează prin formula:

Astfel, pentru a rezolva problema cu monedele, sunt necesare două numere: numărul de aruncări și numărul de vulturi. Cel mai adesea, aceste numere sunt date direct în textul problemei. Mai mult, nu contează ce contezi: cozi sau capete. Răspunsul va fi același.

La prima vedere, teorema pare prea greoaie. Dar cu puțină practică, nu doriți să vă întoarceți la algoritmul standard descris mai sus.

Sarcină. Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie capete exact de trei ori.

În funcție de starea problemei, numărul total de aruncări a fost n = 4. Numărul necesar de capete: k = 3. Înlocuiți n și k în formula:

Sarcină. Moneda este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să nu se ridice niciodată.

Scriem din nou numerele n și k. Deoarece moneda este aruncată de 3 ori, n = 3. Și din moment ce nu ar trebui să existe cozi, k = 0. Rămâne să înlocuiască numerele n și k în formula:

Permiteți-mi să vă reamintesc că 0! = 1 prin definiție. Prin urmare, C 3 0 = 1.

Sarcină. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară de mai multe ori decât cozile.

Pentru a avea mai multe capete decât cozi, acestea trebuie să urce fie de 3 ori (atunci vor fi 1 cozi), fie de 4 (atunci nu vor exista deloc cozi). Să găsim probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente.

Fie p 1 probabilitatea ca capetele să aterizeze de 3 ori. Atunci n = 4, k = 3. Avem:

Acum vom găsi p 2 - probabilitatea ca capetele să iasă de 4 ori. În acest caz n = 4, k = 4. Avem:

Pentru a obține răspunsul, rămâne să adăugați probabilitățile p 1 și p 2. Amintiți-vă, puteți adăuga probabilități numai pentru evenimente care se exclud reciproc. Avem:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Declarație problemă:Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele (cozile) să nu apară nici măcar o dată (vor apărea exact / de cel puțin 1, 2 ori).

Sarcina este inclusă în examenul de matematică nivel de bază pentru gradul 11 ​​la numărul 10 (Definiția clasică a probabilității).

Să vedem cum se rezolvă sarcini similare folosind exemple.

Exemplu de sarcină 1:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să nu apară niciodată.

OO SAU RO RR

Au existat 4 astfel de combinații în total. Ne interesează doar cele dintre ele în care nu există un singur vultur. Există doar o astfel de combinație (PP).

P = 1/4 = 0,25

Răspuns: 0,25

Exemplu de activitate 2:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de două ori.

Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom indica capetele cu litera O, iar cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Există în total 4 astfel de combinații. Ne interesează doar cele dintre ele în care capetele cad exact de 2 ori. Există doar o astfel de combinație (OO).

P = 1/4 = 0,25

Răspuns: 0,25

Exemplu de sarcină 3:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată.

Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom indica capetele cu litera O, iar cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Au fost 4 astfel de combinații în total. Ne interesează doar cele dintre ele în care capetele au căzut exact de 1 dată. Există doar două astfel de combinații (OP și RO).

Răspuns: 0,5

Exemplu de activitate 4:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară cel puțin o dată.

Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom indica capetele cu litera O, iar cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Există 4 astfel de combinații în total. Ne interesează doar cele dintre ele în care capetele cad cel puțin o dată. Există doar trei astfel de combinații (OO, OP și RO).

P = 3/4 = 0,75