Într-un experiment aleator, moneda este aruncată de 4 ori. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Rezolvarea problemei cu o monedă simetrică
Condiție
V experiment aleatoriu monedă simetrică aruncat de două ori. Găsiți probabilitatea ca a doua oară să fie aceeași cu prima.
Soluţie
- Această problemă va fi rezolvată prin formula:
În cazul în care P (A) este probabilitatea evenimentului A, m este numărul de rezultate favorabile pentru acest eveniment, n este numărul total al tuturor rezultatelor posibile.
- Să aplicăm această teorie problemei noastre:
A - un eveniment când a doua oară cade la fel ca prima;
P (A) - probabilitatea ca a doua oară să fie aceeași cu prima.
- Să definim m și n:
m - numărul de rezultate favorabile acestui eveniment, adică numărul de rezultate atunci când a doua oară apare același lucru ca primul. În experiment, o monedă este aruncată de două ori, care are 2 fețe: cozi (P) și capete (O). Avem nevoie de a doua oară pentru a renunța la fel ca prima și acest lucru este posibil atunci când cad următoarele combinații: OO sau PP, adică se dovedește că
m = 2, deoarece sunt posibile 2 opțiuni, când a doua oară va cădea la fel ca prima;
n este numărul total al tuturor rezultatelor posibile, adică pentru a determina n, trebuie să găsim numărul tuturor combinațiilor posibile care pot apărea atunci când moneda este aruncată de două ori. Atunci când arunci o monedă pentru prima dată, pot cădea fie cozi, fie capete, adică sunt posibile două opțiuni. Când arunci o monedă a doua oară, sunt posibile exact aceleași opțiuni. Se pare că
Declarație problemă:Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele (cozile) să nu apară nici măcar o dată (vor apărea exact / de cel puțin 1, 2 ori).
Sarcina este inclusă în examenul de matematică nivel de bază pentru gradul 11 la numărul 10 (Definiția clasică a probabilității).
Să vedem cum se rezolvă sarcini similare folosind exemple.
Exemplu de sarcină 1:
Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să nu apară niciodată.
OO SAU RO RR
Au existat 4 astfel de combinații în total. Ne interesează doar cele dintre ele în care nu există un singur vultur. Există doar o astfel de combinație (PP).
P = 1/4 = 0,25
Răspuns: 0,25
Exemplu de activitate 2:
Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de două ori.
Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom indica capetele cu litera O, iar cozile cu litera P:
OO SAU RO RR
Există în total 4 astfel de combinații. Ne interesează doar cele dintre ele în care capetele cad exact de 2 ori. Există doar o astfel de combinație (OO).
P = 1/4 = 0,25
Răspuns: 0,25
Exemplu de sarcină 3:
Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată.
Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom indica capetele cu litera O, iar cozile cu litera P:
OO SAU RO RR
Au fost 4 astfel de combinații în total. Ne interesează doar cele dintre ele în care capetele au căzut exact de 1 dată. Există doar două astfel de combinații (OP și RO).
Răspuns: 0,5
Exemplu de activitate 4:
Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară cel puțin o dată.
Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom indica capetele cu litera O, iar cozile cu litera P:
OO SAU RO RR
Există 4 astfel de combinații în total. Ne interesează doar cele dintre ele în care capetele cad cel puțin o dată. Există doar trei astfel de combinații (OO, OP și RO).
P = 3/4 = 0,75
În problemele privind teoria probabilității, care sunt prezentate în examenul nr. 4, în plus, există probleme cu privire la aruncarea unei monede și la aruncarea zarurilor. Le vom analiza astăzi.
Probleme de aruncare a monedelor
Obiectivul 1. Moneda simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca aceasta să apară cozi exact o dată.
În astfel de probleme este convenabil să scrieți toate posibilele rezultate, notându-le folosind literele P (cozi) și O (capete). Deci, rezultatul OP înseamnă că prima aruncare vine la capete, iar a doua - cozi. În problema examinată, sunt posibile 4 rezultate: PP, RO, OP, OO. Două rezultate favorizează evenimentul „capetele vor apărea exact o dată”: RO și OP. Probabilitatea căutată este.
Răspuns: 0,5.
Obiectivul 2. O monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să fie aruncate exact de două ori.
În total, sunt posibile 8 rezultate: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Trei rezultate favorizează evenimentul „capetele vor cădea exact de două ori”: ROO, ORO, OOR. Probabilitatea căutată este.
Răspuns: 0,375.
Obiectivul 3.Înainte de începerea unui meci de fotbal, arbitrul aruncă o monedă pentru a stabili ce echipă va începe jocul cu mingea. Echipa Emerald joacă trei meciuri cu echipe diferite. Găsiți probabilitatea ca Emerald să câștige lotul exact o dată în aceste jocuri.
Această sarcină este similară cu cea anterioară. Lăsați de fiecare dată când o lovitură de cozi înseamnă că Emerald câștigă lotul (această ipoteză nu afectează calculul probabilităților). Atunci sunt posibile 8 rezultate: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Trei rezultate favorizează evenimentul „cozile vor apărea exact o dată”: ROO, ORO, OOR. Probabilitatea căutată este.
Răspuns: 0,375.
Problema 4... Moneda simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca rezultatul ROO să vină (cozi pentru prima dată, capuri pentru a doua și a treia).
Ca și în sarcinile anterioare, există 8 rezultate aici: PPR, PPO, POR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Probabilitatea apariției rezultatului ROO este egală cu.
Răspuns: 0,125.
Probleme cu rulourile de zaruri
Sarcina 5. Zarurile sunt aruncate de două ori. Câte rezultate elementare ale experienței favorizează evenimentul „suma punctelor este 8”?
Problema 6... Două zaruri sunt aruncate în același timp. Găsiți probabilitatea ca totalul să fie de 4 puncte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.
În general, dacă zarurile sunt aruncate, atunci există rezultate la fel de posibile. Același număr de rezultate se obține dacă aceeași matriță este aruncată o dată la rând.
Evenimentul „4 în total” este favorizat de următoarele rezultate: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Numărul lor este egal cu 3. Probabilitatea dorită este egală.
Pentru a calcula valoarea aproximativă a fracției, este convenabil să folosiți împărțirea cu un colț. Astfel, este aproximativ egal cu 0,083 ..., rotunjit la cele mai apropiate sutimi, avem 0,08.
Răspuns: 0,08
Problema 7... Trei zaruri sunt aruncate în același timp. Găsiți probabilitatea ca totalul să fie de 5 puncte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.
Rezultatul va fi de trei numere: puncte scăzute pe primul, al doilea și al treilea zaruri... În total, există rezultate la fel de posibile. Evenimentul „5 în total” este favorizat de următoarele rezultate: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1-2–2, 2–1–2, 2–2–1. Numărul lor este 6. Probabilitatea dorită este. Pentru a calcula valoarea aproximativă a fracției, este convenabil să folosiți împărțirea cu un colț. Aproximativ obținem 0,027 ..., rotunjit la sutimi, obținem 0,03. Sursa „Pregătirea pentru examenul de stat unificat. Matematica. Teoria probabilității ". Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova
În teoria probabilității, există un grup de probleme, pentru a căror soluție este suficient să cunoașteți definiția clasică a probabilității și să vizualizați situația propusă. Astfel de probleme sunt cele mai multe probleme cu aruncarea monedelor și aruncarea zarurilor. Să ne reamintim definiția clasică a probabilității.
Probabilitatea evenimentului A (posibilitatea obiectivă a unui eveniment care apare în termeni numerici) este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile: P (A) = m / n, Unde:
- m este numărul rezultatelor elementare ale testului care favorizează apariția evenimentului A;
- n este numărul total al tuturor rezultatelor elementare posibile ale testului.
Este convenabil să se determine numărul posibilelor rezultate elementare ale testului și numărul rezultatelor favorabile în problemele luate în considerare prin enumerarea tuturor opțiunilor posibile (combinații) și a calculului direct.
Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele cad o dată) corespund opțiunilor 2 și 3 ale experimentului, există două astfel de opțiuni m = 2.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 2/4 = 0,5
Problema 2 ... Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să nu ajungă niciodată la capete.
Soluţie
... Deoarece moneda este aruncată de două ori, atunci, ca în problema 1, numărul rezultatelor elementare posibile este n = 4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele nu vor cădea nici măcar o dată) corespund opțiunii 4 a experimentului (vezi tabelul din sarcina 1). Există doar o astfel de opțiune, deci m = 1.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 1/4 = 0,25
Problema 3 ... Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de 2 ori.
Soluţie ... Posibile variante de trei aruncări de monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sunt prezentate sub forma unui tabel:
Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 8. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele cad de 2 ori) corespund opțiunilor 5, 6 și 7 ale experimentului. Există trei astfel de opțiuni, ceea ce înseamnă m = 3.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 3/8 = 0,375
Problema 4 ... Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să aterizeze exact de 3 ori.
Soluţie ... Posibile variante de patru aruncări de monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sunt prezentate sub forma unui tabel:
| Opțiunea nr. | Prima aruncare | A doua aruncare | A treia aruncare | A 4-a aruncare | Opțiunea nr. | Prima aruncare | A doua aruncare | A treia aruncare | A 4-a aruncare |
| 1 | Vultur | Vultur | Vultur | Vultur | 9 | Cozi | Vultur | Cozi | Vultur |
| 2 | Vultur | Cozi | Cozi | Cozi | 10 | Vultur | Cozi | Vultur | Cozi |
| 3 | Cozi | Vultur | Cozi | Cozi | 11 | Vultur | Cozi | Cozi | Vultur |
| 4 | Cozi | Cozi | Vultur | Cozi | 12 | Vultur | Vultur | Vultur | Cozi |
| 5 | Cozi | Cozi | Cozi | Vultur | 13 | Cozi | Vultur | Vultur | Vultur |
| 6 | Vultur | Vultur | Cozi | Cozi | 14 | Vultur | Cozi | Vultur | Vultur |
| 7 | Cozi | Vultur | Vultur | Cozi | 15 | Vultur | Vultur | Cozi | Vultur |
| 8 | Cozi | Cozi | Vultur | Vultur | 16 | Cozi | Cozi | Cozi | Cozi |
Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 16. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele cad de 3 ori) corespund opțiunilor 12, 13, 14 și 15 ale experimentului, deci m = 4.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 4/16 = 0,25
 |
Determinarea probabilității în problemele cu zarurile
Problema 5 ... Determinați probabilitatea ca mai mult de 3 puncte să fie aruncate atunci când aruncați zarurile (moară corectă).
Soluţie
... Când aruncați un zar (zaruri corecte), oricare dintre cele șase fețe ale acestuia poate cădea, adică oricare dintre evenimentele elementare au loc - o scădere de la 1 la 6 puncte (puncte). Prin urmare, numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6.
Evenimentul А = (mai mult de 3 puncte abandonate) înseamnă că 4, 5 sau 6 puncte (puncte) au căzut. Prin urmare, numărul rezultatelor favorabile este m = 3.
Probabilitatea unui eveniment P (A) = m / n = 3/6 = 0,5
Problema 6 ... Determinați probabilitatea ca atunci când aruncați un zar, numărul de puncte să cadă, nu mai mult de 4. Rotunjiți rezultatul la miimi.
Soluţie
... Când arunci un zar, oricare dintre cele șase fețe ale acestuia poate cădea, adică oricare dintre evenimentele elementare au loc - o scădere de la 1 la 6 puncte (puncte). Prin urmare, numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6.
Evenimentul А = (nu mai mult de 4 puncte abandonate) înseamnă că 4, 3, 2 sau 1 punct (punct) au căzut. Prin urmare, numărul rezultatelor favorabile este m = 4.
Probabilitatea unui eveniment P (A) = m / n = 4/6 = 0.6666 ... ≈0.667
Problema 7 ... Zarurile sunt aruncate de două ori. Găsiți probabilitatea ca ambele ori numărul să fie mai mic de 4.
Soluţie ... Deoarece zarurile ( zaruri(1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6) și așa mai departe cu fiecare față. Toate cazurile sunt prezentate sub forma unui tabel de 6 rânduri și 6 coloane:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (de ambele ori un număr mai mic de 4 abandonate) (sunt evidențiate cu caractere aldine), calculăm și obținem m = 9.
Găsim probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 9/36 = 0,25
Problema 8 ... Zarurile sunt aruncate de două ori. Găsiți probabilitatea ca cel mai mare dintre cele două numere extrase să fie 5. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată mie.
Soluţie ... Toate rezultatele posibile ale două aruncări de zaruri sunt prezentate în tabel:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6 * 6 = 36.
Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (cel mai mare dintre cele două numere extrase este 5) (acestea sunt evidențiate cu caractere aldine) vor fi calculate și vom obține m = 8.
Găsim probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 8/36 = 0.2222 ... ≈0.222
Problema 9 ... Zarurile sunt aruncate de două ori. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o dată un număr să scadă mai puțin de 4.
Soluţie ... Toate rezultatele posibile ale două aruncări de zaruri sunt prezentate în tabel:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Din tabel vedem că numărul rezultatelor elementare posibile este n = 6 * 6 = 36.
Expresia „cel puțin o dată a căzut un număr mai mic de 4” înseamnă „un număr mai mic de 4 a căzut o dată sau de două ori”, apoi numărul de rezultate favorabile ale evenimentului A = (cel puțin o dată un număr mai mic de 4 a căzut ) (sunt evidențiate cu caractere aldine) m = 27.
Găsiți probabilitatea evenimentului P (A) = m / n = 27/36 = 0,75
Sarcinile de întoarcere a monedei sunt considerate a fi destul de dificile. Și înainte de a le rezolva, este necesară o mică clarificare. Gândiți-vă, orice problemă din teoria probabilității se reduce în cele din urmă la o formulă standard:
unde p este probabilitatea dorită, k este numărul de evenimente care ni se potrivesc, n este numărul total de evenimente posibile.
Majoritatea problemelor B6 sunt rezolvate folosind această formulă literalmente într-o singură linie - doar citiți condiția. Dar, în cazul aruncării de monede, această formulă este inutilă, deoarece din textul unor astfel de probleme nu este deloc clar cu ce sunt egale numerele k și n. Aceasta este întreaga dificultate.
Cu toate acestea, există cel puțin două metode de soluție fundamental diferite:
- Metoda forței brute este un algoritm standard. Se scriu toate combinațiile de capete și cozi, după care se selectează cele necesare;
- O formulă specială de probabilitate este o definiție standard a probabilității, rescrisă special, astfel încât să fie convenabil să lucrați cu monede.
Pentru a rezolva problema B6, trebuie să cunoașteți ambele metode. Din păcate, doar primul este predat în școli. Să nu repetăm greșelile școlare. Deci să mergem!
Metoda forței brute
Această metodă se mai numește „soluție cap la cap”. Constă din trei pași:
- Scrieți toate combinațiile posibile de capete și cozi. De exemplu: OP, RO, OO, RR. Numărul acestor combinații este n;
- Dintre combinațiile obținute, le marcăm pe cele care sunt cerute de starea problemei. Numărăm combinațiile marcate - obținem numărul k;
- Rămâne să găsim probabilitatea: p = k: n.
Din păcate, această metodă funcționează doar pentru un număr mic de fotografii. Deoarece cu fiecare nouă aruncare, numărul de combinații se dublează. De exemplu, pentru 2 monede, trebuie să scrieți doar 4 combinații. Pentru 3 monede, există deja 8, iar pentru 4 - 16, iar probabilitatea de eroare se apropie de 100%. Aruncați o privire la exemple - și voi înțelegeți totul:
Sarcină. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 2 ori. Găsiți probabilitatea ca același număr de capete și cozi să apară.
Deci, moneda este aruncată de două ori. Să scriem toate combinațiile posibile (O - capete, P - cozi):
Total n = 4 opțiuni. Acum să scriem acele opțiuni care se potrivesc stării problemei:
Au existat k = 2 astfel de opțiuni. Găsiți probabilitatea:
Sarcină. Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să nu se ridice niciodată.
Din nou, scrieți toate combinațiile posibile de capete și cozi:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Au existat n = 16 opțiuni în total. Nu părea să fi uitat nimic. Dintre aceste opțiuni, suntem mulțumiți doar de combinația „OOOO”, în care nu există deloc cozi. Prin urmare, k = 1. Rămâne să găsim probabilitatea:
După cum puteți vedea, în ultima problemă a trebuit să scriem 16 opțiuni. Sunteți sigur că le puteți scrie fără o singură greșeală? Personal, nu sunt sigur. Deci, să ne uităm la a doua soluție.
Formula probabilității speciale
Deci, problemele cu monedele au propria formulă de probabilitate. Este atât de simplu și important încât am decis să o formulez sub forma unei teoreme. Aruncați o privire:
Teorema. Lasă moneda să fie aruncată de n ori. Atunci probabilitatea ca capetele să aterizeze exact de k ori poate fi găsită prin formula:
Unde C n k este numărul de combinații de n elemente cu k, care se calculează prin formula:
Astfel, pentru a rezolva problema cu monede, sunt necesare două numere: numărul de aruncări și numărul de vulturi. Cel mai adesea, aceste numere sunt date direct în textul problemei. Mai mult, nu contează ce contezi: cozi sau capete. Răspunsul va fi același.
La prima vedere, teorema pare prea greoaie. Dar cu puțină practică, nu doriți să vă întoarceți la algoritmul standard descris mai sus.
Sarcină. Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie capete exact de trei ori.
În condițiile problemei, numărul total de aruncări a fost n = 4. Numărul necesar de capete: k = 3. Înlocuiți n și k în formula:
Sarcină. Moneda este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să nu se ridice niciodată.
Scriem din nou numerele n și k. Deoarece moneda este aruncată de 3 ori, n = 3. Și din moment ce nu ar trebui să existe cozi, k = 0. Rămâne să înlocuiască numerele n și k în formula:
Permiteți-mi să vă reamintesc că 0! = 1 prin definiție. Prin urmare, C 3 0 = 1.
Sarcină. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară de mai multe ori decât cozile.
Pentru a avea mai multe capete decât cozi, acestea trebuie să urce fie de 3 ori (atunci vor fi 1 cozi), fie de 4 (atunci nu vor exista deloc cozi). Să găsim probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente.
Fie p 1 probabilitatea ca capetele să aterizeze de 3 ori. Atunci n = 4, k = 3. Avem:
Acum vom găsi p 2 - probabilitatea ca capetele să iasă de 4 ori. În acest caz n = 4, k = 4. Avem:
Pentru a obține răspunsul, rămâne să adăugați probabilitățile p 1 și p 2. Amintiți-vă, puteți adăuga probabilități numai pentru evenimente care se exclud reciproc. Avem:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125