Evenimente dependente și probabilitate condiționată. Probabilitate condițională. Independenta evenimentelor Calculul probabilitatii conditionale

Cursul 4

Principiul imposibilității practice a evenimentelor improbabile

Dacă eveniment aleatoriu are o probabilitate foarte mică, atunci putem presupune practic că acest eveniment nu va avea loc într-un singur test. Totul depinde de sarcina specifică. Dacă probabilitatea ca o parașută să nu se deschidă este de 0,01, atunci o astfel de parașută nu poate fi utilizată. Dacă trenul întârzie cu o probabilitate de 0,01, atunci poți fi sigur că va ajunge la timp.

Se numește o probabilitate suficient de mică la care un eveniment dintr-o anumită problemă poate fi considerat practic imposibil nivelul de semnificație.În practică, nivelurile de semnificație de la 0,01 la 0,05 sunt de obicei acceptate.

Dacă un eveniment aleatoriu are o probabilitate foarte apropiată de unu, atunci putem presupune practic că acest eveniment va avea loc într-o singură încercare.

Probabilitate condițională

Produsul a două evenimente AȘi B numiți evenimentul AB, constând în apariția (combinarea) comună a acestor evenimente. De exemplu, dacă A- piesa este potrivită, ÎN- piesa este vopsită, atunci AB- piesa este utilizabila si vopsita.

Produsul mai multor evenimente numiți un eveniment constând în producerea în comun a tuturor acestor evenimente da. De exemplu, dacă A, B, C- apariția „stemei” în prima, a doua și, respectiv, a treia aruncare a monedei, apoi ABC- pierderea „stemei” la toate cele trei teste.

În introducere, un eveniment aleatoriu este definit ca un eveniment care, atunci când un set de condiții este îndeplinit, S se poate întâmpla sau nu.

Dacă, la calcularea probabilității unui eveniment, nu sunt impuse alte restricții cu excepția condițiilor S, atunci o astfel de probabilitate se numeștenecondiţionat; dacă sunt impuse alte condiții suplimentare, atunci se numește probabilitatea evenimentului condiţional.

De exemplu, probabilitatea unui eveniment este adesea calculată B cu condiţia suplimentară ca evenimentul să se fi produs A. Probabilitatea necondiționată, strict vorbind, este condiționată, deoarece se presupune îndeplinirea condițiilor S.

Probabilitate condiționată PA (B) sau numiți probabilitatea evenimentului B, calculată în ipoteza că evenimentul A a avut deja loc

Se calculează probabilitatea condiționată conform formulei

Această formulă poate fi dovedită pe baza definiției clasice a probabilității.

Exemplul 3.În urnă sunt 3 bile albe și 3 negre. Din urnă se scoate câte o minge de două ori fără a le înlocui. Găsiți probabilitatea de apariție bila alba la a doua probă (eveniment ÎN), dacă la prima încercare a fost extrasă o minge neagră (eveniment A).

Soluţie. După primul test, în urnă au rămas 5 bile, dintre care 3 sunt albe. Probabilitatea condiționată necesară R A ( ÎN) = 3/5.

Același rezultat poate fi obținut folosind formula

R A ( ÎN) =P (AB)/P(A) ( P (A) > 0).

Într-adevăr, probabilitatea ca o minge albă să apară la prima încercare

P(A) = 3/6 =1/2.

Să găsim probabilitatea P(AB) că la primul test va apărea o bilă neagră, iar în al doilea - una albă conform formulei (3.1). Numărul total de rezultate - aspectul comun a două bile, indiferent de culoare, este egal cu numărul de plasări = 6 5 = 30. Din acest număr de rezultate, evenimentul AB este favorizat de 3 3 = 9 rezultate. Prin urmare, P (AB) =9/30 = 3/10.

Probabilitate condițională P A ( ÎN) =P(AB)/R(A) = (3/10)/(1/2) = 3/5. S-a obtinut acelasi rezultat.

Toate teoremele și formulele teoriei probabilităților și statisticii matematice sunt derivate din axiomele teoriei probabilităților. Acest capitol definește probabilitate condițională, sunt dovedite cele mai frecvent utilizate teoreme și formule bazate pe probabilități condiționate. Este introdus conceptul de independență a evenimentelor, care este apoi utilizat într-o schemă de teste independente secvențiale și este dată o descriere a unei scheme Markov cu teste dependente.

PROBABILITATI CONDITIONALE

În § 1.1, formula probabilității condiționate a fost derivată pentru schema clasică. În general, această formulă servește drept definiție a probabilității condiționate a unui eveniment A cu condiția ca evenimentul să se fi produs ÎN, P(B) > 0.

Definiție 2.1. Probabilitatea condiționată a unui eveniment A dat fiind ÎN

Definiție 2.2. Eveniment A nu depinde de eveniment ÎN, Dacă

Independența evenimentelor este reciprocă, adică. dacă evenimentul A nu depinde de ÎN, asta e evenimentul ÎN nu depinde de A. De fapt, folosind Definițiile 2.1 și 2.2, cu P(A) > 0 avem:

Din Definiția 2.1 urmează următoarea formulă de înmulțire a probabilităților:

Pentru evenimente independente, probabilitatea apariției evenimentelor este egală cu produsul probabilităților lor:

Definiție 2.3. Evenimente A, A 2 ,..., A" formează un grup complet de evenimente dacă acestea sunt incompatibile în perechi și formează împreună un eveniment de încredere, de ex.

Următoarea teoremă a probabilității totale este valabilă.

Teorema 2.1. Dacă evenimentele A și ..., A„, P(A)> 0 formează un grup complet de evenimente, apoi probabilitatea evenimentului ÎN poate fi reprezentat ca suma produselor probabilităților necondiționate de evenimente ale întregului grup de probabilitățile condiționate ale evenimentului ÎN:

Evenimente de grup complet A" ..., A" sunt inconsistente perechi, prin urmare produsele lor (intersecții) cu evenimentul sunt, de asemenea, inconsecvente ÎN, acestea. evenimente ÎN P A/, B P L, la eu Ф j incompatibil. De la eveniment ÎN poate fi reprezentat sub formă

apoi, aplicând evenimentele acestei descompunere ÎN axioma adunării probabilităților, avem:

Folosind formula de înmulțire a probabilității (2.1.1) pentru fiecare termen, obținem în final:

Cerința ca evenimentele A să formeze un grup complet de evenimente poate fi înlocuită cu unul mai slab: evenimentele în perechi

dar nu se intersectează Bcz^A rÎn plus, pe baza axiomei de numărare

de aditivitate, teorema probabilității totale poate fi extinsă la un set numărabil de evenimente disjunse în perechi A,-,

P(A,)> 0, tfcQ/l, :

Din formula probabilității totale (2.1.3) se obține ușor formula Bayes: pentru eveniment ÎN Cu P(B)> 0 și pentru sistem incompatibil perechi

un val de evenimente А„ Р(Л,) > 0,BczJ А,.,

De fapt, aplicând formulele probabilității condiționate și înmulțirii probabilităților, avem:

acum, înlocuind probabilitatea evenimentului ÎN Folosind formula probabilității totale, obținem formula (2.1.5).

Probabilități P(A,) evenimente Și, sunt numite probabilități a priori, acestea. probabilitățile de evenimente înainte de experiment și probabilitățile condiționate ale acestor evenimente P(A,!B) - a posteriori, acestea. clarificată ca urmare a experienței, al cărei rezultat a fost producerea evenimentului ÎN.

Exemplul 2.1.Calcul folosind formulaȘiprobabilitate deplină și bayesian

Compania produce produse de un anumit tip pe trei linii de producție. Prima linie produce 20% din volumul total de producție, a doua - 30%, iar a treia - 50%. Fiecare dintre linii este caracterizată de următoarele procente de valabilitate a produsului: 95, 98 și 97%. Este necesar să se determine probabilitatea ca un produs luat la întâmplare produs de întreprindere să fie defect, precum și probabilitatea ca acest produs defect să fi fost fabricat pe prima, a doua și a treia linie.

Soluţie. Să notăm prin A„ L 2, A) evenimente constând în faptul că un produs luat la întâmplare este produs pe prima, a doua, respectiv a treia linie. În funcție de condițiile problemei P(A,) = 0,2; P(A2) = 0,3; P(A)) = 0,5, iar aceste evenimente formează un grup complet de evenimente, deoarece sunt incompatibile în perechi, de ex. P(A,) + R(L 2) + R(L 3) = 1.

Să notăm prin ÎN un eveniment în care un produs ales la întâmplare se dovedește a fi defect. În funcție de condițiile problemei P(B/A t) = = 0,05; P(V/A 2) = 0,02; P(V/A 3) = 0,03.

acestea. probabilitatea ca un produs luat la întâmplare să fie defect este de 3,1%.

Probabilitățile anterioare ca un produs luat la întâmplare să fie fabricat pe prima, a doua sau a treia linie sunt egale cu 0,2, respectiv; 0,3 și 0,5.

Să presupunem că, în urma unui experiment, un produs luat la întâmplare se dovedește a fi defect; Să determinăm acum probabilitățile posterioare ca acest produs să fi fost fabricat pe prima, a doua sau a treia linie. Conform formulei lui Bayes avem:

Astfel, probabilitățile ca un produs luat la întâmplare și dovedit a fi defect să fi fost fabricat pe prima, a doua sau a treia linie sunt egale cu 0,322, respectiv; 0,194; 0,484.

Formula de multiplicare a probabilității (2.1.1) poate fi extinsă la cazul unui număr finit arbitrar de evenimente:

Definiție 2.4. Evenimente A b A 2, ..., A" sunt colectiv independente dacă pentru orice subset al acestora

Dacă această condiție este îndeplinită numai pentru k = 2, atunci evenimentele sunt independente perechi.

Independența evenimentelor în agregat implică independență pe perechi, dar independența pe perechi nu implică independență în agregat.

Luați în considerare evenimentele AȘi B asociat cu aceeași experiență. Să se știe din unele surse că evenimentul B a avut loc, dar nu se știe care dintre rezultatele elementare care compun evenimentul B, s-a întâmplat. Ce se poate spune în acest caz despre probabilitatea evenimentului? A?

Probabilitatea evenimentului A, calculat în ipoteza că evenimentul Bîntâmplat se numește de obicei probabilitate condiționată și se notează P(A|B).

Probabilitate condițională P(A|B) evenimente A supus evenimentului Bîn cadrul schemei de probabilitate clasică, este firesc să o definim ca raport N AB rezultate favorabile implementării comune a evenimentelor AȘi B, la număr N B rezultate favorabile evenimentului B, acesta este

Dacă împărțim numărătorul și numitorul acestei expresii la numărul total N rezultate elementare, obținem

Definiție. Probabilitatea condiționată a unui eveniment A sub rezerva producerii unui eveniment B se numește raportul dintre probabilitatea de intersecție a evenimentelor AȘi B la probabilitatea unui eveniment B:

În același timp, se presupune că P(B) ≠ 0.

Teorema. Probabilitate condițională P(A|B) are toate proprietățile probabilității necondiționate P(A).

Sensul acestei teoreme este că o probabilitate condiționată este o probabilitate necondiționată definită pe un spațiu nou Ω 1 rezultate elementare care coincid cu evenimentul B.

Exemplu. Din urna în care a=7 alb şi b=3 bile negre, două bile sunt extrase la întâmplare fără înlocuire. Lasă evenimentul A 1 este că prima minge extrasă este albă și A 2- a doua bila este alba. Trebuie să găsești P(A 2 |A 1).

Metoda 1.. Prin definiția probabilității condiționate

Metoda 2.. Să trecem la un nou spațiu de rezultate elementare Ω 1. De la eveniment A 1 s-a întâmplat, aceasta înseamnă că în noul spațiu al rezultatelor elementare ale tuturor rezultatelor la fel de posibile N Ω 1 =a+b-1=9, și evenimentul A 2 favorizează acest lucru NA2 =a-1=6 rezultate. Prin urmare,

Teorema [înmulțirea probabilităților]. Lasă evenimentul A=A 1 A 2 …A nȘi P(A)>0. Atunci egalitatea este adevărată:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

cometariu. Din proprietatea comutativă a intersecției putem scrie

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Exemplu. Pe 7 cartonașe sunt scrise litere care formează cuvântul „NIGHTINGALE”. Cărțile sunt amestecate și trei cărți sunt extrase din ele la întâmplare și așezate de la stânga la dreapta. Găsiți probabilitatea ca cuvântul „VOL” să fie obținut (eveniment A).

Lasă evenimentul A 1- litera „B” este scrisă pe prima carte, A 2- litera „O” este scrisă pe a doua carte, A 2- pe a treia carte se află litera „L”. Apoi evenimentul A- intersectia evenimentelor A 1, A 2, A 3. Prin urmare,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; dacă evenimentul A 1 sa întâmplat, apoi pe restul de 6 cărți „O” apare de două ori, ceea ce înseamnă P(A2 |A1)=2/6=1/3. De asemenea, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Prin urmare,

Definiție. Evenimente AȘi B, având o probabilitate diferită de zero, se numesc independente dacă probabilitatea condiționată A dat fiind B coincide cu probabilitatea necondiționată A sau dacă probabilitatea condiționată B dat fiind A coincide cu probabilitatea necondiționată B, acesta este

P(A|B) = P(A) sau P(B|A) = P(B),

altfel evenimente AȘi B sunt numite dependente.

Teorema. Evenimente AȘi B având probabilitate diferită de zero sunt independente dacă și numai dacă

P(AB) = P(A) P(B).

Astfel, se poate da o definiție echivalentă:

Definiție. Evenimente AȘi B sunt numite independente dacă P(AB) = P(A) P(B).

Exemplu. Dintr-un pachet de cărți care conține n=36 cărți, o carte este extrasă la întâmplare. Să notăm prin A eveniment corespunzător faptului că cardul extras va fi un vârf, și B- un eveniment corespunzător înfățișării unei „doamne”. Să stabilim dacă evenimente dependente AȘi B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Prin urmare, evenimentele AȘi B independent. De asemenea, .

Adesea în viață ne confruntăm cu nevoia de a evalua șansele ca un eveniment să se producă. Merită cumpărat bilet de loterie sau nu, care va fi sexul celui de-al treilea copil din familie, va fi vremea senină mâine sau va ploua din nou – sunt nenumărate astfel de exemple. În cel mai simplu caz, ar trebui să împărțiți numărul de rezultate favorabile la numărul total de evenimente. Dacă la loterie sunt 10 bilete câștigătoare și sunt 50 în total, atunci șansele de a obține un premiu sunt 10/50 = 0,2, adică 20 față de 100. Dar ce ar trebui să faci dacă sunt mai multe evenimente și acestea sunt strâns legate? În acest caz, nu ne va mai interesa probabilitatea simplă, ci condițională. Ce fel de valoare este aceasta și cum poate fi calculată - acest lucru va fi discutat în articolul nostru.

Concept

Probabilitatea condiționată este șansa ca un anumit eveniment să se producă, având în vedere că un alt eveniment înrudit a avut deja loc. Să ne uităm la un exemplu simplu de aruncare a monedelor. Dacă nu a existat încă o remiză, atunci șansele de a obține cap sau coadă vor fi aceleași. Dar dacă de cinci ori la rând moneda a fost plasată cu stema în sus, atunci vei fi de acord să te aștepți la a 6-a, a 7-a și cu atât mai mult a 10-a repetare a unui astfel de rezultat ar fi ilogic. Cu fiecare apariție repetată a capetelor, șansele să apară cozile cresc și mai devreme sau mai târziu va apărea.

Formula probabilității condiționate

Să ne dăm seama acum cum se calculează această valoare. Să notăm primul eveniment cu B, iar al doilea cu A. Dacă șansele ca B să se producă sunt diferite de zero, atunci următoarea egalitate va fi valabilă:

P (A|B) = P (AB) / P (B), unde:

• P (A|B) - probabilitatea condiționată a rezultatului A;
• P (AB) - probabilitatea apariției în comun a evenimentelor A și B;
• P (B) - probabilitatea evenimentului B.

Transformând ușor această relație obținem P (AB) = P (A|B) * P (B). Și dacă o aplicați, puteți deriva formula produsului și o puteți utiliza pentru un număr arbitrar de evenimente:

P (A 1, A 2, A 3,...A p) = P (A 1 |A 2...A p)*P(A 2 |A 3...A p) * P (A 3 |A 4...A p )… P (A p-1 |A p) * P (A p).

Practică

Pentru a înțelege mai ușor cum se calculează condiționalul, să ne uităm la câteva exemple. Să presupunem că există o vază care conține 8 bomboane de ciocolată și 7 mentă. Au aceeași dimensiune și două dintre ele sunt scoase la întâmplare succesiv. Care sunt șansele ca amândoi să fie ciocolată? Să introducem o notație. Rezultatul A înseamnă că prima bomboană este ciocolată, rezultatul B înseamnă că a doua bomboană este ciocolată. Apoi obțineți următoarele:

P (A) = P (B) = 8 / 15,

P (A|B) = P (B|A) = 7 / 14 = 1/2,

P (AB) = 8 /15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Să luăm în considerare încă un caz. Să presupunem că există o familie de doi copii și știm că cel puțin un copil este fată.

Care este probabilitatea condiționată ca acești părinți să nu aibă încă băieți? Ca și în cazul precedent, să începem cu notația. Fie P (B) probabilitatea ca în familie să existe cel puțin o fată, P (A|B) probabilitatea ca al doilea copil să fie și fată, P (AB) șansele ca în familie să fie două fete . Acum hai să facem calculele. În total pot fi 4 combinații diferite de genul copiilor, iar într-un singur caz (când sunt doi băieți într-o familie), nu va fi o fată printre copii. Prin urmare, probabilitatea este P (B) = 3/4, iar P (AB) = 1/4. Apoi urmând formula noastră obținem:

P (A|B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Rezultatul poate fi interpretat astfel: dacă nu am ști despre sexul unuia dintre copii, atunci șansele a două fete ar fi 25 față de 100. Dar din moment ce știm că un copil este fată, probabilitatea ca să existe niciun băiat din familie nu crește la o treime.

Probabilitatea condiționată a evenimentului A când are loc evenimentul B numită relație Se presupune aici că .

Ca o justificare rezonabilă pentru această definiție, observăm că atunci când are loc un eveniment Bîncepe să joace rolul unui eveniment de încredere, așa că trebuie să cerem ca . Rolul evenimentului A joacă AB, prin urmare trebuie să fie proporționale . (Din definiție rezultă că coeficientul de proporționalitate este egal cu .)

Acum să introducem conceptul independenta evenimentelor.

Aceasta înseamnă: pentru că evenimentul a avut loc B, probabilitatea evenimentului A nu s-a schimbat.

Ținând cont de definiția probabilității condiționate, această definiție se va reduce la relația . Nu mai este nevoie să se ceară îndeplinirea condiției . Astfel, ajungem la definiția finală.

Evenimentele A și B se numesc independente dacă P(AB)=P(A)P(B).

Ultima relație este de obicei luată pentru a determina independența a două evenimente.

Se spune că mai multe evenimente sunt colectiv independente dacă relații similare sunt valabile pentru orice subset al evenimentelor luate în considerare. Deci, de exemplu, trei evenimente A, BȘi C sunt numite colectiv independente dacă sunt îndeplinite următoarele patru relații:

Iată o serie de sarcini pentru probabilitatea condiționată și independența evenimentelorși deciziile lor.

Problema 21. Din puntea plina din 36 de cărți, se extrage o carte. Eveniment A– cardul este roșu, B- Cartea As. Vor fi independenți?

Soluţie. Efectuând calcule după definiția clasică a probabilității, obținem că . Aceasta înseamnă că evenimentele AȘi B independent.

Problema 22. Rezolvați aceeași problemă pentru un pachet din care a fost îndepărtată Regina de pică.

Soluţie. . Nu există independență.

Problema 23. Doi oameni aruncă pe rând o monedă. Cel care primește primul stema câștigă. Găsiți probabilitățile de câștig pentru ambii jucători.

Soluţie. Putem presupune că evenimentele elementare sunt șiruri finite de forma (0, 0, 1,…, 0, 1) . Pentru o secvență de lungime, evenimentul elementar corespunzător are probabilitatea Jucătorul care începe să arunce prima monedă câștigă dacă are loc un eveniment elementar constând dintr-un număr impar de zerouri și unu. Prin urmare, probabilitatea de a câștiga este egală cu

Câștigurile celui de-al doilea jucător corespund unui număr par de zerouri și unu. Este egal

Din soluție rezultă că jocul se termină într-un timp finit cu probabilitatea 1 (de la ).

Problema 24. Pentru a distruge podul, trebuie să loviți cel puțin 2 bombe. Au aruncat 3 bombe. Probabilitățile de lovire a bombelor sunt respectiv 0, 1; 0, 3; 0, 4. Aflați probabilitatea distrugerii podului.

Soluţie. Fie evenimentele A, B, C constau în lovirea bombei 1, 2, 3, respectiv. Apoi, distrugerea punții are loc numai atunci când are loc evenimentul.Datorită faptului că termenii din această formulă sunt incompatibili perechi, iar factorii din termeni sunt independenți, probabilitatea necesară este egală cu

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Problema 25. Două nave de marfă trebuie să acosteze pe același dig. Se știe că fiecare dintre ei poate ajunge cu aceeași probabilitate în orice moment al unei zile fixe și trebuie să descarce timp de 8 ore.Găsiți probabilitatea ca nava care ajunge a doua să nu fie nevoită să aștepte până când prima navă termină descărcarea.

Soluţie. Vom măsura timpul în zile și fracțiuni de zi. Apoi, evenimentele elementare sunt perechi de numere care umplu pătratul unității, unde X - ora sosirii primei nave, y– ora sosirii celei de-a doua nave. Toate punctele pătratului sunt la fel de probabile. Aceasta înseamnă că probabilitatea oricărui eveniment (adică o mulțime dintr-un pătrat unitar) este egală cu aria regiunii corespunzătoare acestui eveniment. Eveniment A constă din puncte ale pătratului unității pentru care inegalitatea . Această inegalitate corespunde faptului că nava care a sosit prima va avea timp să se descarce până la sosirea a doua navă. Mulțimea acestor puncte formează două triunghiuri isoscele drepte cu latura 2/3. Aria totală a acestor triunghiuri este de 4/9. Prin urmare, .

Problema 26. Au fost 34 de bilete pentru examenul de teoria probabilităților. Studentul scoate de două ori un bilet din biletele oferite (fără a le returna). S-a pregătit studentul pentru doar 30 de bilete? Care este probabilitatea ca el să treacă examenul alegând prima dată "fără succes"bilet?

Soluţie. Selecția aleatorie constă în extragerea unui bilet de două ori la rând, iar biletul extras prima dată nu este returnat. Lasă evenimentul ÎN este că primul este scos" fără succes" bilet și eveniment A este că al doilea este scos" de succes" bilet. Este evident că evenimentele AȘi ÎN depinde, deoarece biletul preluat prima dată nu este returnat la numărul tuturor biletelor. Trebuie să găsiți probabilitatea unui eveniment AB.

Conform formulei probabilității condiționate; ; , De aceea .