Evenimentele a și b se numesc independente dacă. Evenimente dependente și independente. Probabilitate condițională. Evenimente aleatoare dependente și independente. Formule de bază pentru adunarea și înmulțirea probabilităților

Există evenimente dependente și independente. Două evenimente sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. De exemplu, dacă există două linii automate care funcționează într-un atelier, care nu sunt interconectate din cauza condițiilor de producție, atunci opririle acestor linii sunt evenimente independente.

Sunt numite mai multe evenimente colectiv independent, dacă oricare dintre ele nu depinde de niciun alt eveniment și de vreo combinație a celorlalte.

Evenimentele sunt numite dependent, dacă unul dintre ele afectează probabilitatea celuilalt. De exemplu, două fabrici de producție sunt conectate printr-un singur ciclu tehnologic. Atunci probabilitatea eșecului unuia dintre ele depinde de starea celuilalt. Se numește probabilitatea unui eveniment B, calculată presupunând apariția unui alt eveniment A probabilitate condițională evenimentele B și sunt notate cu P(A|B).

Condiția pentru independența evenimentului B față de evenimentul A se scrie ca P(B|A)=P(B), iar condiția pentru dependența sa ca P(B|A)≠P(B).

Probabilitatea unui eveniment în testele Bernoulli. formula lui Poisson.

Teste independente repetate, Teste Bernoulli sau circuit Bernoulli astfel de teste sunt numite dacă pentru fiecare test există doar două rezultate - apariția evenimentului A sau și probabilitatea acestor evenimente rămâne neschimbată pentru toate testele. Acest design simplu de încercare aleatorie are mare importanțăîn teoria probabilităţilor.

Cel mai faimos exemplu de teste Bernoulli este experimentul cu aruncarea secvențială a unei monede corecte (simetrice și uniforme), unde evenimentul A este pierderea, de exemplu, a unei „steme” („cozi”).

Fie într-un experiment probabilitatea evenimentului A să fie egală cu P(A)=p, atunci , unde p+q=1. Să efectuăm experimentul de n ori, presupunând că încercările individuale sunt independente, ceea ce înseamnă că rezultatul niciunuia dintre ele nu este legat de rezultatele încercărilor anterioare (sau ulterioare). Să aflăm probabilitatea de apariție a evenimentelor A exact de k ori, să spunem doar în primele k încercări. Fie evenimentul că în n încercări evenimentul A va apărea exact de k ori în primele încercări. Evenimentul poate fi reprezentat ca

Din moment ce am presupus că experimentele sunt independente, atunci

41)[pagina 2] Dacă punem întrebarea despre apariția evenimentului A k ori în n încercări în ordine aleatorie, atunci evenimentul poate fi reprezentat sub forma

Numărul de termeni diferiți din partea dreaptă a acestei egalități este egal cu numărul de încercări de la n la k, prin urmare probabilitatea evenimentelor, pe care o vom desemna, este egală cu

Secvența evenimentelor formează un grup complet de evenimente independente . Într-adevăr, din independența evenimentelor obținem

Dacă, atunci când are loc un eveniment, probabilitatea evenimentului nu se schimbă, apoi evenimentele Și sunt numite independent.

Teorema:Probabilitatea de apariție concomitentă a două evenimente independente Și (lucrări Și ) este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Într-adevăr, din moment ce evenimente Și sunt independente, atunci
. În acest caz, formula pentru probabilitatea de apariție a evenimentelor este Și ia forma.

Evenimente
sunt numite independent pe perechi, dacă oricare dintre ele sunt independente.

Evenimente
sunt numite independent în comun (sau pur și simplu independent), dacă fiecare dintre ele sunt independente și fiecare eveniment și toate produsele posibile ale celorlalți sunt independente.

Teorema:Probabilitatea produsului unui număr finit de evenimente independent independente
este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Să ilustrăm diferența în aplicarea formulelor pentru probabilitatea unui produs de evenimente pentru evenimente dependente și independente folosind exemple

Exemplul 1. Probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta este de 0,85, al doilea de 0,8. Armele au tras câte o lovitură. Care este probabilitatea ca cel puțin un obuz să lovească ținta?

Rezolvare: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Deoarece loviturile sunt independente, atunci

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Exemplul 2. Urna conține 2 bile roșii și 4 negre. Se scot din el 2 bile la rând. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie roșii?

Soluție: 1 caz. Evenimentul A este apariția unei mingi roșii la prima extragere, evenimentul B la a doua. Evenimentul C – apariția a două bile roșii.

P(C) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

Cazul 2. Prima minge extrasa este returnata in cos

P(C) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

Formula probabilității totale.

Lasă evenimentul se poate întâmpla doar cu unul dintre evenimentele incompatibile
, formând un grup complet. De exemplu, un magazin primește aceleași produse de la trei întreprinderi și în cantități diferite. Probabilitatea de a produce produse de calitate scăzută la aceste întreprinderi variază. Unul dintre produse este selectat aleatoriu. Este necesar să se determine probabilitatea ca acest produs să fie de proastă calitate (eveniment ). Evenimente aici
– aceasta este selecția unui produs din produsele întreprinderii corespunzătoare.

În acest caz, probabilitatea evenimentului poate fi considerată ca suma produselor evenimentelor
.

Folosind teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile, obținem
. Folosind teorema înmulțirii probabilităților, găsim

.

Formula rezultată se numește formula probabilității totale.

Formula Bayes

Lasă evenimentul are loc concomitent cu una dintre evenimente incompatibile
, ale căror probabilităţi
(
) sunt cunoscute înainte de experiment ( probabilități a priori). Se efectuează un experiment, în urma căruia se înregistrează apariția unui eveniment , și se știe că acest eveniment a avut anumite probabilități condiționate
(
). Trebuie să găsim probabilitățile evenimentelor
dacă se ştie că evenimentul s-a întâmplat ( probabilități a posteriori).

Problema este că, având informații noi (a avut loc evenimentul A), trebuie să reestimăm probabilitățile evenimentelor
.

Pe baza teoremei probabilității produsului a două evenimente

.

Formula rezultată se numește Formule Bayes.

Concepte de bază ale combinatoriei.

La rezolvarea unui număr de probleme teoretice și practice, este necesar să se creeze diferite combinații dintr-un set finit de elemente conform regulilor date și să se numere numărul tuturor astfel de combinații posibile. Astfel de sarcini sunt de obicei numite combinatorie.

Atunci când rezolvă probleme, combinatoriștii folosesc regulile sumei și produsului.

Enunțul general al problemei: probabilitățile unor evenimente sunt cunoscute și trebuie să calculați probabilitățile altor evenimente care sunt asociate cu aceste evenimente. În aceste probleme, este nevoie de operații cu probabilități precum adunarea și înmulțirea probabilităților.

De exemplu, în timpul vânătorii, sunt trase două focuri. Eveniment A- lovirea unei rațe cu prima lovitură, eveniment B- lovitură din a doua lovitură. Apoi suma evenimentelor AȘi B- lovit cu prima sau a doua lovitură sau cu două lovituri.

Probleme de alt tip. Sunt date mai multe evenimente, de exemplu, o monedă este aruncată de trei ori. Trebuie să găsiți probabilitatea ca fie stema să apară de trei ori, fie ca stema să apară cel puțin o dată. Aceasta este o problemă de multiplicare a probabilității.

Adăugarea probabilităților de evenimente incompatibile

Adunarea probabilităților este utilizată atunci când trebuie să calculați probabilitatea unei combinații sau a unei sume logice de evenimente aleatoare.

Suma evenimentelor AȘi B denota A + B sau A ∪ B. Suma a două evenimente este un eveniment care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre evenimente. Înseamnă că A + B– un eveniment care are loc dacă și numai dacă evenimentul a avut loc în timpul observării A sau eveniment B, sau simultan AȘi B.

Dacă evenimentele AȘi B sunt reciproc inconsecvente și probabilitățile lor sunt date, apoi probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să se producă ca urmare a unei încercări este calculată folosind adunarea probabilităților.

Teorema de adunare a probabilității. Probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente incompatibile reciproc să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

De exemplu, în timpul vânătorii, sunt trase două focuri. Eveniment A– lovirea unei rațe cu prima lovitură, eveniment ÎN– lovitură din a doua lovitură, eveniment ( A+ ÎN) – o lovitură din prima sau a doua lovitură sau din două lovituri. Deci, dacă două evenimente AȘi ÎN– evenimente incompatibile, deci A+ ÎN– apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente sau a două evenimente.

Exemplul 1.Într-o cutie sunt 30 de bile de aceeași dimensiune: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Calculați probabilitatea ca o minge colorată (nu albă) să fie ridicată fără să priviți.

Soluţie. Să presupunem că evenimentul A- „este luată mingea roșie”, și evenimentul ÎN- „Mingea albastră a fost luată.” Apoi evenimentul este „se ia o minge colorată (nu albă). Să aflăm probabilitatea evenimentului A:

și evenimente ÎN:

Evenimente AȘi ÎN– reciproc incompatibil, deoarece dacă se ia o minge, atunci este imposibil să se ia bile de diferite culori. Prin urmare, folosim adunarea probabilităților:

Teorema de adunare a probabilităților pentru mai multe evenimente incompatibile. Dacă evenimentele constituie un set complet de evenimente, atunci suma probabilităților lor este egală cu 1:

Suma probabilităților de evenimente opuse este, de asemenea, egală cu 1:

Evenimentele opuse formează un set complet de evenimente, iar probabilitatea unui set complet de evenimente este 1.

Probabilitățile de evenimente opuse sunt de obicei indicate cu litere mici pȘi q. În special,

din care rezultă următoarele formule pentru probabilitatea evenimentelor opuse:

Exemplul 2.Ținta din poligonul de tragere este împărțită în 3 zone. Probabilitatea ca un anumit trăgător să tragă la țintă în prima zonă este de 0,15, în a doua zonă – 0,23, în a treia zonă – 0,17. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta și probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta.

Soluție: Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta:

Să aflăm probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta:

Probleme mai complexe, în care trebuie să folosiți atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, pot fi găsite pe pagina „Diverse probleme care implică adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Adăugarea probabilităților de evenimente simultane reciproce

Două evenimente aleatoare sunt numite împreună dacă apariția unui eveniment nu exclude apariția unui al doilea eveniment în aceeași observație. De exemplu, la aruncare zaruri eveniment A Numărul 4 este considerat a fi lansat, iar evenimentul ÎN– rularea unui număr par. Deoarece 4 este un număr par, cele două evenimente sunt compatibile. În practică, există probleme de calculare a probabilităților de apariție a unuia dintre evenimentele reciproc simultane.

Teorema de adunare a probabilității pentru evenimente comune. Probabilitatea ca unul dintre evenimentele comune să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, din care se scade probabilitatea apariției comune a ambelor evenimente, adică produsul probabilităților. Formula pentru probabilitățile evenimentelor comune are următoarea formă:

De la evenimente AȘi ÎN compatibil, eveniment A+ ÎN apare dacă are loc unul dintre cele trei evenimente posibile: sau AB. Conform teoremei adunării evenimentelor incompatibile, calculăm după cum urmează:

Eveniment A va avea loc dacă are loc unul dintre cele două evenimente incompatibile: sau AB. Cu toate acestea, probabilitatea apariției unui eveniment din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților tuturor acestor evenimente:

De asemenea:

Înlocuind expresiile (6) și (7) în expresia (5), obținem formula probabilității pentru evenimente comune:

Atunci când utilizați formula (8), trebuie luat în considerare faptul că evenimentele AȘi ÎN poate fi:

• independent reciproc;
• dependente reciproc.

Formula probabilității pentru evenimente independente reciproc:

Formula probabilității pentru evenimente dependente reciproc:

Dacă evenimentele AȘi ÎN sunt inconsecvente, atunci coincidența lor este un caz imposibil și, astfel, P(AB) = 0. A patra formulă de probabilitate pentru evenimente incompatibile este:

Exemplul 3.În cursele auto, când conduci prima mașină, ai șanse mai mari de câștig, iar când conduci a doua mașină. Găsi:

• probabilitatea ca ambele mașini să câștige;
• probabilitatea ca cel puțin o mașină să câștige;

1) Probabilitatea ca prima mașină să câștige nu depinde de rezultatul celei de-a doua mașini, deci evenimentele A(prima mașină câștigă) și ÎN(a doua mașină va câștiga) – evenimente independente. Să găsim probabilitatea ca ambele mașini să câștige:

2) Aflați probabilitatea ca una dintre cele două mașini să câștige:

Probleme mai complexe, în care trebuie să folosiți atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, pot fi găsite pe pagina „Diverse probleme care implică adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Rezolvați singur problema adunării probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4. Se aruncă două monede. Eveniment A- pierderea stemei de pe prima monedă. Eveniment B- pierderea stemei de pe a doua monedă. Găsiți probabilitatea unui eveniment C = A + B .

Înmulțirea probabilităților

Înmulțirea probabilității este utilizată atunci când trebuie calculată probabilitatea unui produs logic al evenimentelor.

în care evenimente aleatorii trebuie sa fie independent. Se spune că două evenimente sunt independente reciproc dacă apariția unui eveniment nu afectează probabilitatea apariției celui de-al doilea eveniment.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente. Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente AȘi ÎN este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente și se calculează prin formula:

Exemplul 5. Moneda este aruncată de trei ori la rând. Găsiți probabilitatea ca stema să apară de trei ori.

Soluţie. Probabilitatea ca stema să apară la prima aruncare a unei monede, a doua oară și a treia oară. Să aflăm probabilitatea ca stema să apară de trei ori:

Rezolvați singur problemele de înmulțire a probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 6. Există o cutie cu nouă mingi de tenis noi. Pentru a juca, se iau trei mingi, iar după joc sunt puse înapoi. La alegerea mingilor, mingile jucate nu se deosebesc de mingile nejucate. Care este probabilitatea ca după trei jocuri Au mai rămas mingi nejucate în cutie?

Exemplul 7. 32 de litere ale alfabetului rus sunt scrise pe carduri decupate cu alfabet. Cinci cărți sunt extrase la întâmplare una după alta și așezate pe masă în ordinea apariției. Găsiți probabilitatea ca literele să formeze cuvântul „sfârșit”.

Exemplul 8. Din puntea plina carduri (52 de coli), patru cărți sunt scoase deodată. Găsiți probabilitatea ca toate aceste patru cărți să fie de culori diferite.

Exemplul 9. Aceeași sarcină ca în exemplul 8, dar fiecare carte după ce a fost scoasă este returnată în pachet.

Probleme mai complexe, în care trebuie să utilizați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, precum și calcularea produsului mai multor evenimente, pot fi găsite pe pagina „Diverse probleme care implică adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele reciproc independente să se producă poate fi calculată scăzând din 1 produsul probabilităților de evenimente opuse, adică folosind formula.

Evenimente aleatoare dependente și independente.
Formule de bază pentru adunarea și înmulțirea probabilităților

Conceptele de dependență și independență a evenimentelor aleatorii. Probabilitate condițională. Formule pentru adunarea și înmulțirea probabilităților pentru evenimente aleatoare dependente și independente. Formula probabilității totale și formula Bayes.

Teoreme de adunare a probabilității

Să găsim probabilitatea sumei evenimentelor și (presupunând compatibilitatea sau incompatibilitatea lor).

Teorema 2.1. Probabilitatea sumei unui număr finit de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestora:

Exemplul 1. Probabilitatea ca un magazin să vândă o pereche de pantofi bărbați mărimea 44 este de 0,12; 45 - 0,04; 46 și mai sus - 0,01. Găsiți probabilitatea ca o pereche de pantofi pentru bărbați de cel puțin mărimea 44 să fie vândută.

Soluţie. Evenimentul dorit va avea loc dacă se vinde o pereche de pantofi de mărimea 44 (eveniment) sau 45 (eveniment) sau cel puțin mărimea 46 (eveniment), adică evenimentul este suma evenimentelor. Evenimentele sunt incompatibile. Prin urmare, conform teoremei sumei probabilităților, obținem

Exemplul 2.În condițiile exemplului 1, găsiți probabilitatea ca următoarea pereche de pantofi mai mică decât mărimea 44 să fie vândută.

Soluţie. Evenimentele „se va vinde următoarea pereche de pantofi mai mică de mărimea 44” și „se va vinde o pereche de pantofi nu mai mică de mărimea 44” sunt opuse. Prin urmare, conform formulei (1.2), probabilitatea apariției evenimentului dorit

deoarece așa cum s-a găsit în exemplul 1.

Teorema 2.1 a adunării probabilităților este valabilă numai pentru evenimente incompatibile. Folosirea acestuia pentru a găsi probabilitatea unor evenimente comune poate duce la concluzii incorecte și uneori absurde, așa cum se vede clar în exemplul următor. Să fie estimată executarea la timp a unui ordin de către Electra Ltd cu o probabilitate de 0,7. Care este probabilitatea ca din trei comenzi compania să finalizeze cel puțin una la timp? Notăm evenimentele în care compania va finaliza prima, a doua și, respectiv, a treia comandă la timp. Dacă aplicăm Teorema 2.1 a adunării probabilităților pentru a găsi probabilitatea dorită, obținem . Probabilitatea evenimentului s-a dovedit a fi mai mare decât unu, ceea ce este imposibil. Asta pentru că evenimentele sunt comune. Într-adevăr, îndeplinirea la timp a primei comenzi nu exclude îndeplinirea celorlalte două la timp.

Să formulăm o teoremă de adunare a probabilităților în cazul a două evenimente comune (se va lua în considerare probabilitatea apariției lor comune).

Teorema 2.2. Probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor două evenimente fără probabilitatea apariției lor comune:

Evenimente dependente și independente. Probabilitate condițională

Există evenimente dependente și independente. Două evenimente sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. De exemplu, dacă există două linii automate care funcționează într-un atelier, care nu sunt interconectate din cauza condițiilor de producție, atunci opririle acestor linii sunt evenimente independente.

Exemplul 3. Moneda este aruncată de două ori. Probabilitatea apariției „stemei” în prima probă (eveniment ) nu depinde de apariția sau neapariția „stemei” în a doua probă (eveniment ). La rândul său, probabilitatea apariției „stemei” în al doilea test nu depinde de rezultatul primului test. Astfel, evenimentele sunt ambele independente.

Sunt numite mai multe evenimente colectiv independent, dacă oricare dintre ele nu depinde de niciun alt eveniment și de vreo combinație a celorlalte.

Evenimentele sunt numite dependent, dacă unul dintre ele afectează probabilitatea celuilalt. De exemplu, două fabrici de producție sunt conectate printr-un singur ciclu tehnologic. Atunci probabilitatea eșecului unuia dintre ele depinde de starea celuilalt. Se numește probabilitatea unui eveniment calculată presupunând apariția unui alt eveniment probabilitate condițională evenimente și este notat cu .

Condiția de independență a unui eveniment față de un eveniment este scrisă în formă, iar condiția de dependență a acestuia - în formă. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al probabilității condiționate a unui eveniment.

Exemplul 4. Cutia contine 5 freze: doua uzate si trei noi. Se efectuează două extracții secvențiale ale incisivilor. Determinați probabilitatea condiționată ca un tăietor uzat să apară în timpul celei de-a doua extrageri, cu condiția ca tăietorul scos prima dată să nu fie returnat în cutie.

Soluţie. Să notăm extragerea unui tăietor uzat în primul caz și - extragerea unuia nou. Apoi . Deoarece tăietorul scos nu este returnat în cutie, raportul dintre cantitățile de freze uzate și cele noi se modifică. În consecință, probabilitatea de a scoate un tăietor uzat în al doilea caz depinde de ce eveniment a avut loc înainte.

Să notăm evenimentul care înseamnă îndepărtarea unui tăietor uzat în al doilea caz. Probabilitățile acestui eveniment ar putea fi:

Prin urmare, probabilitatea unui eveniment depinde dacă evenimentul a avut loc sau nu.

Formule de înmulțire a probabilității

Fie evenimentele independente, iar probabilitățile acestor evenimente sunt cunoscute. Să găsim probabilitatea combinării evenimentelor și .

Teorema 2.3. Probabilitatea apariției comune a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Corolarul 2.1. Probabilitatea apariției în comun a mai multor evenimente care sunt independente în total este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Exemplul 5. Trei cutii conțin 10 părți. Prima cutie conține 8 părți standard, a doua – 7, iar a treia – 9. Din fiecare cutie se scoate o parte la întâmplare. Aflați probabilitatea ca toate cele trei părți scoase să fie standard.

Soluţie. Probabilitatea ca o parte standard să fie luată din prima casetă (eveniment), . Probabilitatea ca o parte standard să fie luată din a doua casetă (eveniment), . Probabilitatea ca o parte standard să fie luată din a treia casetă (eveniment), . Deoarece evenimentele , și sunt independente în agregat, atunci probabilitatea dorită (prin teorema înmulțirii)

Fie ca evenimentele să fie dependente, iar probabilitățile sunt cunoscute. Să găsim probabilitatea apariției acestor evenimente, adică probabilitatea ca atât evenimentul, cât și evenimentul să apară.

Teorema 2.4. Probabilitatea apariției comune a două evenimente dependente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată în ipoteza că primul eveniment a avut deja loc:

Corolarul 2.2. Probabilitatea producerii în comun a mai multor evenimente dependente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitățile condiționate ale tuturor celorlalte, iar probabilitatea fiecărui eveniment ulterior este calculată în ipoteza că toate evenimentele anterioare au avut deja loc. .

Exemplul 6. Urna conține 5 bile albe, 4 negre și 3 albastre. Fiecare test constă în extragerea unei mingi la întâmplare fără a o întoarce în urnă. Găsiți probabilitatea ca o bilă albă să apară la prima încercare (eveniment), o bilă neagră la a doua (eveniment) și o bilă albastră la a treia (eveniment).

Soluţie. Probabilitatea apariției bila alba la primul test. Probabilitatea ca o minge neagră să apară în a doua încercare, calculată în ipoteza că o minge albă a apărut la prima încercare, adică probabilitatea condiționată. Probabilitatea apariției bila albastra la a treia încercare, calculată în ipoteza că la prima încercare a apărut o minge albă, iar la a doua, una neagră, . Probabilitate necesară

Formula probabilității totale

Teorema 2.5. Dacă un eveniment are loc numai cu condiția apariției unuia dintre evenimentele care formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci probabilitatea evenimentului este egală cu suma produselor probabilităților fiecăruia dintre evenimente prin condiționalul corespunzător. probabilitatea evenimentului:

În acest caz, evenimentele sunt numite ipoteze, iar probabilitățile sunt numite a priori. Această formulă se numește formula probabilității totale.

Exemplul 7. Linia de asamblare primește piese de la trei mașini. Productivitatea mașinilor nu este aceeași. Prima mașină produce 50% din toate piesele, a doua - 30%, iar a treia - 20%. Probabilitatea unui ansamblu de înaltă calitate atunci când se utilizează o piesă fabricată pe prima, a doua și a treia mașină este de 0,98, 0,95 și, respectiv, 0,8. Determinați probabilitatea ca ansamblul să iasă de pe linia de asamblare să fie de înaltă calitate.

Soluţie. Să notăm evenimentul care semnifică valabilitatea unității asamblate; , și sunt evenimente care înseamnă că piesele sunt realizate pe prima, a doua și, respectiv, a treia mașină. Apoi

Probabilitate necesară

Formula Bayes

Această formulă este utilizată atunci când se rezolvă probleme practice când s-a produs un eveniment care apare împreună cu oricare dintre evenimentele care formează un grup complet de evenimente și este necesar să se efectueze o reestimare cantitativă a probabilităților ipotezelor. Probabilitățile a priori (înainte de experiment) sunt cunoscute. Este necesar să se calculeze probabilitățile posterioare (după experiență), adică, în esență, trebuie să găsiți probabilități condiționate. Pentru o ipoteză, formula lui Bayes arată astfel.

Definiție 1. Se spune că evenimentul A este dependent de evenimentul B dacă probabilitatea de apariție a evenimentului A depinde dacă evenimentul B a avut loc sau nu a avut loc.Probabilitatea ca evenimentul A să se producă dat fiind că a avut loc evenimentul B va fi notat și numit condițional. probabilitatea evenimentului A supus B.

Exemplul 1. În urnă sunt 3 bile albe și 2 bile negre. Din urnă se extrage o minge (prima extragere) și apoi o a doua minge (al doilea extragere). Evenimentul B este apariția unei mingi albe în timpul primei extrageri. Evenimentul A este apariția unei mingi albe în timpul celei de-a doua extrageri.

Evident, probabilitatea evenimentului A, dacă are loc evenimentul B, va fi

Probabilitatea evenimentului A, cu condiția ca evenimentul B să nu fi avut loc (o bilă neagră a apărut în timpul primei extrageri), va fi

Noi vedem asta

Teorema 1. Probabilitatea combinării a două evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea, calculată cu condiția ca primul eveniment să se fi produs, i.e.

Dovada. Prezentăm dovezile pentru evenimente care se reduc la tiparul urnei (adică, în cazul în care este aplicabilă definiția clasică a probabilității).

Să fie bile în urnă, albe și negre. Să presupunem că printre bile albe există bile marcate „asterisc”, restul sunt alb pur (Fig. 408).

Din urnă se extrage o minge. Care este probabilitatea ca evenimentul să scoată o minge albă marcată „stea”?

Fie B un eveniment constând în apariția unei mingi albe, A fi un eveniment constând în apariția unei mingi marcate cu asterisc.

Probabilitatea ca o bilă albă cu un asterisc să apară, având în vedere că apare o bilă albă, va fi

Probabilitatea ca o minge albă cu o stea să apară este P (A și B). Evident,

Înlocuind părțile din stânga expresiilor (2), (3) și (4) în (5), obținem

Egalitatea (1) a fost dovedită.

Dacă evenimentele luate în considerare nu se încadrează în schema clasică, atunci formula (1) servește la determinarea probabilității condiționate. Și anume, probabilitatea condiționată a evenimentului A dat fiind apariția evenimentului B este determinată folosind

Observație 1. Aplicați ultima formulă expresiei:

În egalitățile (1) și (6), laturile stângi sunt egale, deoarece aceasta este aceeași probabilitate; prin urmare, laturile drepte sunt, de asemenea, egale. Prin urmare, putem scrie egalitatea

Exemplul 2. Pentru cazul exemplului 1 dat la începutul acestei secțiuni, avem Conform formulei (1) obținem Probabilitatea P(A și B) se calculează ușor și direct.

Exemplul 3. Probabilitatea de a produce un produs adecvat folosind această mașină este de 0,9. Probabilitatea ca un produs de clasa I să apară printre produsele potrivite este de 0,8. Determinați probabilitatea de a produce un produs de clasa I folosind această mașină.

Soluţie. Evenimentul B este producerea unui produs adecvat folosind această mașină, evenimentul A este apariția unui produs de clasa I. Aici, înlocuind în formula (1), obținem probabilitatea dorită

Teorema 2. Dacă evenimentul A se poate produce numai dacă are loc unul dintre evenimentele care formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci probabilitatea evenimentului A se calculează prin formula

Formula (8) se numește formula probabilității totale. Dovada. Evenimentul A poate apărea atunci când are loc oricare dintre evenimentele combinate

Prin urmare, prin teorema adunării probabilităților obținem

Înlocuind termenii din partea dreaptă conform formulei (1), obținem egalitatea (8).

Exemplul 4. Trei focuri consecutive sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi cu prima lovitură cu a doua cu a treia Cu o lovitură, probabilitatea de a lovi ținta cu două lovituri, cu trei lovituri Determinați probabilitatea de a lovi ținta cu trei lovituri (eveniment A).

Soluţie. Să luăm în considerare grupul complet de evenimente incompatibile:

A fost o lovitură;