Demonstrați că evenimentele sunt independente. Evenimente dependente și independente. Rezolvați singur problemele de înmulțire a probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Dependența evenimentelor este înțeleasă în probabilistică sens, nu funcțional. Aceasta înseamnă că la apariția unuia dintre evenimente dependente nu se poate judeca clar aspectul altuia. Dependența probabilistă înseamnă că apariția unuia dintre evenimentele dependente modifică doar probabilitatea de apariție a celuilalt. Dacă probabilitatea nu se modifică, atunci evenimentele sunt considerate independente.

Definiție: Să fie un spațiu de probabilitate arbitrar și să fie niște evenimente aleatoare. Ei spun asta eveniment A nu depinde de eveniment ÎN , dacă probabilitatea sa condiționată coincide cu probabilitatea necondiționată:

.

Dacă , apoi spun că evenimentul A depinde de eveniment ÎN.

Conceptul de independență este simetric, adică dacă un eveniment A nu depinde de eveniment ÎN, apoi evenimentul ÎN nu depinde de eveniment A. Într-adevăr, să . Apoi . Prin urmare, ei spun pur și simplu că evenimentele AȘi ÎN independent.

Următoarea definiție simetrică a independenței evenimentelor rezultă din regula înmulțirii probabilităților.

Definiție: Evenimente AȘi ÎN, definite pe același spațiu de probabilitate sunt numite independent, Dacă

Dacă , apoi evenimente AȘi ÎN sunt numite dependent.

Rețineți că această definiție este valabilă și în cazul în care sau .

Proprietățile evenimentelor independente.

1. Dacă evenimentele AȘi ÎN sunt independente, atunci sunt independente și următoarele perechi de evenimente: .

▲ Să demonstrăm, de exemplu, independența evenimentelor. Să ne imaginăm un eveniment A la fel de: . Deoarece evenimentele sunt incompatibile, atunci , și datorită independenței evenimentelor AȘi ÎN primim asta. Asta înseamnă independența. ■

2. Dacă evenimentul A nu depinde de evenimente ÎN 1Și LA 2, care sunt inconsistente () , acel eveniment A nu depinde de cantitate.

▲ Într-adevăr, folosind axioma aditivității probabilității și a independenței evenimentului A din evenimente ÎN 1Și LA 2, avem:

Relația dintre conceptele de independență și incompatibilitate.

Lăsa AȘi ÎN- orice evenimente care au o probabilitate diferită de zero: , deci . Dacă evenimentele AȘi ÎN sunt inconsecvente (), atunci egalitatea nu poate avea loc niciodată. Prin urmare, evenimentele incompatibile sunt dependente.

Când sunt luate în considerare mai mult de două evenimente simultan, independența lor în perechi nu caracterizează suficient relația dintre evenimentele întregului grup. În acest caz, se introduce conceptul de independență în agregat.

Definiție: Evenimentele definite pe același spațiu de probabilitate sunt numite colectiv independent, dacă pentru vreunul 2 m £ nși orice combinație de indici, egalitatea este adevărată:

La m = 2 Din independența în agregat urmează independența perechilor de evenimente. Reversul nu este adevărat.

Exemplu. (Bernstein S.N.)

Un experiment aleatoriu implică aruncarea unui tetraedru obișnuit (tetraedru). Se observă o față căzută. Fețele tetraedrului sunt colorate după cum urmează: prima față - albă, a doua față - neagră,
A 3-a față este roșie, a 4-a față conține toate culorile.

Să luăm în considerare evenimentele:

A= (abandon alb); B= (abandon negru);

C= (Picătură roșie).

Apoi ;

Prin urmare, evenimentele A, ÎNȘi CU sunt independente pe perechi.

In orice caz, .

Prin urmare evenimentele A, ÎNȘi CU nu sunt colectiv independente.

În practică, de regulă, independența evenimentelor nu se stabilește prin verificarea acesteia prin definiție, ci dimpotrivă: evenimentele sunt considerate independente de orice considerente externe sau ținând cont de circumstanțe. experiment aleatoriuși folosiți independența pentru a găsi probabilitățile de apariție a evenimentelor.

Teorema (multiplicarea probabilitatilor pentru evenimente independente).

Dacă evenimentele definite pe același spațiu de probabilitate sunt independente în agregat, atunci probabilitatea produsului lor este egală cu produsul probabilităților:

▲ Demonstrarea teoremei rezultă din definirea independenței evenimentelor în agregat sau din teorema generală a înmulțirii probabilităților, ținând cont de faptul că în acest caz

Exemplul 1 (exemplu tipic privind găsirea probabilităților condiționate, conceptul de independență, teorema de adunare a probabilităților).

Circuitul electric este format din trei elemente de funcționare independentă. Probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt, respectiv, egale.

1) Aflați probabilitatea de defecțiune a circuitului.

2) Se știe că circuitul a eșuat.

Care este probabilitatea ca acesta să refuze:

a) elementul 1; b) al 3-lea element?

Soluţie. Luați în considerare evenimentele = (Refuz k al-lea element) și eveniment A= (Circuitul a eșuat). Apoi evenimentul A este prezentat ca:

.

1) Deoarece evenimentele nu sunt incompatibile, axioma aditivității probabilității P3) nu este aplicabilă și pentru a afla probabilitatea ar trebui să folosiți teorema generală a adunării probabilităților, conform căreia

Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt mai mult sau mai puțin aleatorii. Să-l puneți pur și simplu în cuvinte simple, este cu adevărat posibil să știi care parte a cubului va apărea data viitoare? Aceasta a fost întrebarea pe care și-au pus-o doi mari oameni de știință, care au pus bazele unei astfel de științe precum teoria probabilității, în care probabilitatea unui eveniment este studiată destul de amplu.

Origine

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, veți obține următoarele: aceasta este una dintre ramurile matematicii care se ocupă cu studiul constanței. evenimente aleatorii. Desigur, acest concept nu dezvăluie cu adevărat întreaga esență, așa că este necesar să îl luăm în considerare mai detaliat.

Aș vrea să încep cu creatorii teoriei. După cum am menționat mai sus, au fost doi dintre ei și au fost unul dintre primii care au încercat să calculeze rezultatul unui eveniment sau al unuia folosind formule și calcule matematice. În general, începuturile acestei științe au apărut în Evul Mediu. În acel moment, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocuri de noroc, cum ar fi ruleta, zarurile și așa mai departe, stabilind astfel tiparul și procentul de cădere a unui anumit număr. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea de oamenii de știință menționați mai sus.

La început, lucrările lor nu puteau fi considerate mari realizări în acest domeniu, deoarece tot ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost efectuate vizual, fără a folosi formule. De-a lungul timpului, s-a putut obține rezultate grozave, care au apărut ca urmare a observării aruncării zarurilor. Acesta a fost instrumentul care a ajutat la derivarea primelor formule inteligibile.

Oameni cu aceeasi gandire

Este imposibil să nu menționăm o astfel de persoană ca Christiaan Huygens în procesul de studiu a unui subiect numit „teoria probabilității” (probabilitatea unui eveniment este acoperită tocmai în această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, ca și oamenii de știință prezentați mai sus, a încercat să derive tiparul evenimentelor aleatorii sub formă de formule matematice. Este de remarcat faptul că nu a făcut acest lucru împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au intersectat cu aceste minți. a dedus Huygens

Un fapt interesant este că munca lui a apărut cu mult înainte de rezultatele muncii descoperitorilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Dintre conceptele identificate, cele mai cunoscute sunt:

• conceptul de probabilitate ca valoare a hazardului;
• așteptări matematice pentru cazuri discrete;
• teoreme ale înmulțirii și adunării probabilităților.

De asemenea, este imposibil să nu ne amintim cine a avut și o contribuție semnificativă la studiul problemei. Efectuându-și propriile teste, independent de oricine, a putut prezenta o dovadă a legii numerelor mari. La rândul lor, oamenii de știință Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au reușit să demonstreze teoremele originale. Din acest moment, teoria probabilității a început să fie folosită pentru a analiza erorile din observații. Oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Cebyshev și Dyapunov, nu au putut ignora această știință. Pe baza muncii făcute de mari genii, au stabilit acest subiect ca ramură a matematicii. Aceste cifre au funcționat deja la sfârșitul secolului al XIX-lea și, datorită contribuției lor, s-au dovedit următoarele fenomene:

• legea numerelor mari;
• teoria lanțului Markov;
• teorema limitei centrale.

Deci, cu istoria nașterii științei și cu principalii oameni care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum a sosit momentul să clarificăm toate faptele.

Noțiuni de bază

Înainte de a atinge legi și teoreme, merită să studiezi conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Evenimentul joacă un rol principal în el. Acest subiect este destul de voluminos, dar fără el nu va fi posibil să înțelegeți totul.

Un eveniment în teoria probabilității este orice set de rezultate ale unui experiment. Există destul de multe concepte ale acestui fenomen. Astfel, omul de știință Lotman, care lucrează în acest domeniu, a spus că în acest caz vorbim despre ceea ce „s-a întâmplat, deși s-ar putea să nu se fi întâmplat”.

Evenimente aleatoare (teoria probabilității se concentrează asupra lor Atentie speciala) este un concept care presupune absolut orice fenomen care are posibilitatea să se producă. Sau, dimpotrivă, acest scenariu s-ar putea să nu se întâmple dacă sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită să știți că evenimentele aleatoare sunt cele care surprind întregul volum de fenomene care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Conduita lor se numește „experiență” sau „test”.

Un eveniment de încredere este un fenomen care are o probabilitate sută la sută să se întâmple într-un anumit test. Prin urmare, un eveniment imposibil este unul care nu se va întâmpla.

Combinația unei perechi de acțiuni (condițional, cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Ele sunt desemnate ca AB.

Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă se întâmplă cel puțin unul dintre ele (A sau B), atunci se va obține C. Formula pentru fenomenul descris se scrie după cum urmează: C = A + B.

Evenimentele incongruente în teoria probabilității implică faptul că două cazuri se exclud reciproc. Sub nicio formă nu se pot întâmpla în același timp. Evenimentele comune în teoria probabilității sunt antipodul lor. Ceea ce se înțelege aici este că, dacă s-a întâmplat A, atunci nu îl împiedică pe B în niciun fel.

Evenimentele opuse (teoria probabilității le consideră în detaliu) sunt ușor de înțeles. Cel mai bun mod de a le înțelege este prin comparație. Sunt aproape la fel ca evenimentele incompatibile din teoria probabilității. Dar diferența lor constă în faptul că unul dintre multele fenomene trebuie să se întâmple în orice caz.

Evenimente la fel de probabile sunt acele acțiuni a căror repetare este egală. Pentru a fi mai clar, vă puteți imagina că aruncați o monedă: pierderea uneia dintre părțile sale este la fel de probabil să cadă din cealaltă.

Este mai ușor să luați în considerare un eveniment de bun augur cu un exemplu. Să presupunem că există un episod B și un episod A. Primul este o aruncare zaruri cu apariția unui număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe zar. Apoi se dovedește că A îl favorizează pe B.

Evenimentele independente în teoria probabilității sunt proiectate doar pe două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni față de alta. De exemplu, A este pierderea capetelor la aruncarea unei monede, iar B este extragerea unui cric de pe punte. Sunt evenimente independenteîn teoria probabilităţilor. În acest moment a devenit mai clar.

Evenimentele dependente în teoria probabilității sunt, de asemenea, permise numai pentru un set dintre ele. Ele implică dependența unuia de celălalt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A s-a întâmplat deja sau, dimpotrivă, nu s-a întâmplat, când aceasta este condiția principală pentru B.

Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimente elementare. Teoria probabilității explică că acesta este un fenomen care s-a întâmplat o singură dată.

Formule de bază

Deci, conceptele de „eveniment” și „teoria probabilității” au fost discutate mai sus; a fost dată și o definiție a termenilor de bază ai acestei științe. Acum este timpul să vă familiarizați direct cu formulele importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale dintr-un subiect atât de complex precum teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment joacă și aici un rol important.

Este mai bine să începeți cu cele de bază și înainte de a începe cu ele, merită să vă gândiți care sunt.

Combinatoria este în primul rând o ramură a matematicii; se ocupă de studiu sumă uriașă numere întregi, precum și diverse permutări atât ale numerelor în sine, cât și ale elementelor acestora, diverse date etc., ducând la apariția unui număr de combinații. Pe lângă teoria probabilității, această ramură este importantă pentru statistică, informatică și criptografie.

Deci, acum putem trece la prezentarea formulelor în sine și a definiției lor.

Prima dintre ele va fi expresia pentru numărul de permutări, arată astfel:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ecuația se aplică numai dacă elementele diferă doar în ordinea aranjamentului lor.

Acum va fi luată în considerare formula de plasare, arată astfel:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai ordinii de plasare a elementului, ci și compoziției acestuia.

A treia ecuație din combinatorică și este și ultima, se numește formula pentru numărul de combinații:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

O combinație se referă la selecții care nu sunt ordonate; în consecință, această regulă se aplică acestora.

A fost ușor de înțeles formulele combinatorice; acum puteți trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:

În această formulă, m este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n este numărul absolut al tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.

Există un număr mare de expresii; articolul nu le va acoperi pe toate, dar vor fi atinse cele mai importante, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea sumei evenimentelor:

P(A + B) = P(A) + P(B) - această teoremă este pentru a adăuga doar evenimente incompatibile;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - și acesta este pentru adăugarea doar a celor compatibile.

Probabilitatea apariției evenimentelor:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - această teoremă este pentru evenimente independente;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - iar acesta este pentru dependent.

Lista evenimentelor va fi completată de formula evenimentelor. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Bayes, care arată astfel:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

În această formulă, H 1, H 2, ..., H n este un grup complet de ipoteze.

Exemple

Dacă studiezi cu atenție orice secțiune de matematică, aceasta nu este completă fără exerciții și soluții mostre. La fel este și teoria probabilității: evenimentele și exemplele de aici sunt o componentă integrală care confirmă calculele științifice.

Formula pentru numărul de permutări

Să spunem în pachet de carti sunt treizeci de cărți, începând cu o valoare de unu. Urmatoarea intrebare. Câte moduri există de a stivui pachetul astfel încât cărțile cu valoarea unu și doi să nu fie una lângă alta?

Sarcina a fost stabilită, acum să trecem la rezolvarea ei. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări a treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula prezentată mai sus, rezultă că P_30 = 30!.

Pe baza acestei reguli, aflăm câte opțiuni există pentru a plia pachetul în moduri diferite, dar trebuie să scădem din ele pe acelea în care prima și a doua carte sunt una lângă alta. Pentru a face acest lucru, să începem cu opțiunea când primul este deasupra celui de-al doilea. Se pare că prima carte poate ocupa douăzeci și nouă de locuri - de la prima la a douăzeci și nouă, iar a doua carte de la a doua la a treizecea, făcând un total de douăzeci și nouă de locuri pentru o pereche de cărți. La rândul lor, restul poate accepta douăzeci și opt de locuri și în orice ordine. Adică, pentru a rearanja douăzeci și opt de cărți, există douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

Ca urmare, reiese că dacă luăm în considerare soluția când prima carte este deasupra celei de-a doua, vor exista 29 ⋅ 28 de posibilități suplimentare! = 29!

Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care primul card este sub al doilea. De asemenea, se dovedește a fi 29 ⋅ 28! = 29!

De aici rezultă că există 2 ⋅ 29 de opțiuni suplimentare!, în timp ce modalitățile necesare pentru a asambla o punte sunt 30! - 2 ⋅ 29!. Tot ce rămâne este să numere.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Acum trebuie să înmulțiți toate numerele de la unu la douăzeci și nouă și apoi să înmulțiți totul cu 28. Răspunsul este 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul de plasare

În această problemă, trebuie să aflați câte moduri există de a pune cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția să existe treizeci de volume în total.

Soluția la această problemă este puțin mai simplă decât cea anterioară. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de aranjamente de treizeci de volume de cincisprezece.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7270 3

Răspunsul, în consecință, va fi egal cu 202.843.204.931.727.360.000.

Acum să luăm o sarcină ceva mai dificilă. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja treizeci de cărți pe două rafturi de cărți, cu condiția ca doar cincisprezece volume să poată fi așezate pe un raft.

Înainte de a începe soluția, aș dori să clarific că unele probleme pot fi rezolvate în mai multe moduri, iar aceasta are două metode, dar ambele folosesc aceeași formulă.

În această problemă, puteți lua răspunsul din cea anterioară, pentru că acolo am calculat de câte ori puteți umple un raft cu cincisprezece cărți în moduri diferite. S-a dovedit A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Vom calcula al doilea raft folosind formula de permutare, deoarece în el pot fi plasate cincisprezece cărți, în timp ce rămân doar cincisprezece. Folosim formula P_15 = 15!.

Se pare că totalul va fi A_30^15 ⋅ P_15 moduri, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci la șaisprezece va trebui să fie înmulțit cu produsul numerelor de la unu la cincisprezece, în cele din urmă, va obține produsul tuturor numerelor de la unu la treizeci, adică răspunsul este egal cu 30!

Dar această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate sunt așezate pe acest plan, dar din moment ce condiția cere să existe două rafturi, am văzut unul lung în jumătate, așa că obținem două din cincisprezece. Din aceasta rezultă că pot exista P_30 = 30 de opțiuni de aranjare!.

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul combinației

Acum vom lua în considerare o versiune a celei de-a treia probleme din combinatorică. Este necesar să aflați câte moduri există de a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să alegeți dintre treizeci de cărți absolut identice.

Pentru a rezolva, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din condiție devine clar că ordinea celor cincisprezece cărți identice nu este importantă. Prin urmare, inițial trebuie să aflați numărul total de combinații de treizeci de cărți de cincisprezece.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Asta e tot. Folosind această formulă, am reușit să rezolvăm această problemă în cel mai scurt timp posibil; răspunsul, în consecință, este 155.117.520.

Exemplu de soluție. Definiția clasică a probabilității

Folosind formula de mai sus, puteți găsi răspunsul la o problemă simplă. Dar acest lucru vă va ajuta să vedeți și să urmăriți în mod clar progresul acțiunilor.

Problema spune că există zece bile absolut identice în urnă. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase albastre. Se ia o minge din urnă. Trebuie să aflați probabilitatea de a obține albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să se noteze achiziția bilei albastre prin evenimentul A. Această experiență poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de posibile. În același timp, din zece, șase sunt favorabile evenimentului A. Rezolvăm folosind formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am aflat că probabilitatea de a obține mingea albastră este de 0,6.

Exemplu de soluție. Probabilitatea sumei evenimentelor

Acum va fi prezentată o opțiune care este rezolvată folosind formula probabilității sumei evenimentelor. Deci, este dată condiția ca să fie două cutii, prima să conțină o bile gri și cinci albe, iar a doua să conțină opt bile gri și patru albe. Drept urmare, au luat una dintre ele din prima și a doua cutie. Trebuie să aflați care este șansa ca bilele pe care le obțineți să fie gri și albe.

Pentru a rezolva această problemă, este necesară identificarea evenimentelor.

• Deci, A - a luat o minge gri din prima casetă: P(A) = 1/6.
• A’ - a luat și o minge albă din prima casetă: P(A") = 5/6.
• B - o minge gri a fost scoasă din a doua casetă: P(B) = 2/3.
• B’ - a luat o minge gri din a doua cutie: P(B") = 1/3.

În funcție de condițiile problemei, este necesar ca unul dintre fenomene să se întâmple: AB’ sau A’B. Folosind formula, obținem: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Acum a fost folosită formula de înmulțire a probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația adunării lor:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Acesta este modul în care puteți rezolva probleme similare folosind formula.

Concluzie

Articolul a prezentat informații despre tema „Teoria probabilității”, în care probabilitatea unui eveniment joacă un rol vital. Desigur, nu a fost luat în considerare totul, dar, pe baza textului prezentat, te poți familiariza teoretic cu această secțiune de matematică. Știința în cauză poate fi utilă nu numai în chestiuni profesionale, ci și în viața de zi cu zi. Cu ajutorul lui, puteți calcula orice posibilitate a oricărui eveniment.

Textul a atins, de asemenea, date semnificative din istoria formării teoriei probabilității ca știință și numele oamenilor a căror activitate a fost investită în ea. Acesta este modul în care curiozitatea umană a dus la faptul că oamenii au învățat să calculeze chiar și evenimente aleatorii. Pe vremuri erau pur și simplu interesați de asta, dar astăzi toată lumea știe deja despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucitoare legate de teoria luată în considerare se vor face. Dar un lucru este sigur - cercetarea nu sta pe loc!

Enunțul general al problemei: probabilitățile unor evenimente sunt cunoscute și trebuie să calculați probabilitățile altor evenimente care sunt asociate cu aceste evenimente. În aceste probleme, este nevoie de operații cu probabilități precum adunarea și înmulțirea probabilităților.

De exemplu, în timpul vânătorii, sunt trase două focuri. Eveniment A- lovirea unei rațe cu prima lovitură, eveniment B- lovitură din a doua lovitură. Apoi suma evenimentelor AȘi B- lovit cu prima sau a doua lovitură sau cu două lovituri.

Probleme de alt tip. Sunt date mai multe evenimente, de exemplu, o monedă este aruncată de trei ori. Trebuie să găsiți probabilitatea ca fie stema să apară de trei ori, fie ca stema să apară cel puțin o dată. Aceasta este o problemă de multiplicare a probabilității.

Adăugarea probabilităților de evenimente incompatibile

Adunarea probabilităților este utilizată atunci când trebuie să calculați probabilitatea unei combinații sau a unei sume logice de evenimente aleatoare.

Suma evenimentelor AȘi B denota A + B sau A ∪ B. Suma a două evenimente este un eveniment care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre evenimente. Înseamnă că A + B– un eveniment care are loc dacă și numai dacă evenimentul a avut loc în timpul observării A sau eveniment B, sau simultan AȘi B.

Dacă evenimentele AȘi B sunt reciproc inconsecvente și probabilitățile lor sunt date, apoi probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să se producă ca urmare a unei încercări este calculată folosind adunarea probabilităților.

Teorema de adunare a probabilității. Probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente incompatibile reciproc să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

De exemplu, în timpul vânătorii, sunt trase două focuri. Eveniment A– lovirea unei rațe cu prima lovitură, eveniment ÎN– lovitură din a doua lovitură, eveniment ( A+ ÎN) – o lovitură din prima sau a doua lovitură sau din două lovituri. Deci, dacă două evenimente AȘi ÎN– evenimente incompatibile, deci A+ ÎN– apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente sau a două evenimente.

Exemplul 1.Într-o cutie sunt 30 de bile de aceeași dimensiune: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Calculați probabilitatea ca o minge colorată (nu albă) să fie ridicată fără să priviți.

Soluţie. Să presupunem că evenimentul A- „este luată mingea roșie”, și evenimentul ÎN- „Mingea albastră a fost luată.” Apoi evenimentul este „se ia o minge colorată (nu albă). Să aflăm probabilitatea evenimentului A:

si evenimente ÎN:

Evenimente AȘi ÎN– reciproc incompatibil, deoarece dacă se ia o minge, atunci este imposibil să se ia bile de diferite culori. Prin urmare, folosim adunarea probabilităților:

Teorema de adunare a probabilităților pentru mai multe evenimente incompatibile. Dacă evenimentele constituie un set complet de evenimente, atunci suma probabilităților lor este egală cu 1:

Suma probabilităților de evenimente opuse este, de asemenea, egală cu 1:

Evenimentele opuse formează un set complet de evenimente, iar probabilitatea unui set complet de evenimente este 1.

Probabilitățile de evenimente opuse sunt de obicei indicate cu litere mici pȘi q. În special,

din care rezultă următoarele formule pentru probabilitatea evenimentelor opuse:

Exemplul 2.Ținta din poligonul de tragere este împărțită în 3 zone. Probabilitatea ca un anumit trăgător să tragă la țintă în prima zonă este de 0,15, în a doua zonă – 0,23, în a treia zonă – 0,17. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta și probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta.

Soluție: Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta:

Să aflăm probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta:

Probleme mai complexe, în care trebuie să folosiți atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, pot fi găsite pe pagina „Diverse probleme care implică adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Adăugarea probabilităților de evenimente simultane reciproce

Două evenimente aleatoare sunt numite împreună dacă apariția unui eveniment nu exclude apariția unui al doilea eveniment în aceeași observație. De exemplu, atunci când aruncați un zar evenimentul A Numărul 4 este considerat a fi lansat, iar evenimentul ÎN– rularea unui număr par. Deoarece 4 este un număr par, cele două evenimente sunt compatibile. În practică, există probleme de calculare a probabilităților de apariție a unuia dintre evenimentele reciproc simultane.

Teorema de adunare a probabilității pentru evenimente comune. Probabilitatea ca unul dintre evenimentele comune să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, din care se scade probabilitatea apariției comune a ambelor evenimente, adică produsul probabilităților. Formula pentru probabilitățile evenimentelor comune are următoarea formă:

De la evenimente AȘi ÎN compatibil, eveniment A+ ÎN apare dacă are loc unul dintre cele trei evenimente posibile: sau AB. Conform teoremei adunării evenimentelor incompatibile, calculăm după cum urmează:

Eveniment A va avea loc dacă are loc unul dintre cele două evenimente incompatibile: sau AB. Cu toate acestea, probabilitatea apariției unui eveniment din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților tuturor acestor evenimente:

De asemenea:

Înlocuind expresiile (6) și (7) în expresia (5), obținem formula probabilității pentru evenimente comune:

Atunci când utilizați formula (8), trebuie luat în considerare faptul că evenimentele AȘi ÎN poate fi:

• independent reciproc;
• dependente reciproc.

Formula probabilității pentru evenimente independente reciproc:

Formula probabilității pentru evenimente dependente reciproc:

Dacă evenimentele AȘi ÎN sunt inconsecvente, atunci coincidența lor este un caz imposibil și, astfel, P(AB) = 0. A patra formulă de probabilitate pentru evenimente incompatibile este:

Exemplul 3.În cursele auto, când conduci prima mașină, ai șanse mai mari de câștig, iar când conduci a doua mașină. Găsi:

• probabilitatea ca ambele mașini să câștige;
• probabilitatea ca cel puțin o mașină să câștige;

1) Probabilitatea ca prima mașină să câștige nu depinde de rezultatul celei de-a doua mașini, deci evenimentele A(prima mașină câștigă) și ÎN(a doua mașină va câștiga) – evenimente independente. Să găsim probabilitatea ca ambele mașini să câștige:

2) Aflați probabilitatea ca una dintre cele două mașini să câștige:

Probleme mai complexe, în care trebuie să folosiți atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, pot fi găsite pe pagina „Diverse probleme care implică adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Rezolvați singur problema adunării probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4. Se aruncă două monede. Eveniment A- pierderea stemei de pe prima monedă. Eveniment B- pierderea stemei de pe a doua monedă. Găsiți probabilitatea unui eveniment C = A + B .

Înmulțirea probabilităților

Înmulțirea probabilității este utilizată atunci când trebuie calculată probabilitatea unui produs logic al evenimentelor.

În acest caz, evenimentele aleatoare trebuie să fie independente. Se spune că două evenimente sunt independente reciproc dacă apariția unui eveniment nu afectează probabilitatea apariției celui de-al doilea eveniment.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente. Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente AȘi ÎN este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente și se calculează prin formula:

Exemplul 5. Moneda este aruncată de trei ori la rând. Găsiți probabilitatea ca stema să apară de trei ori.

Soluţie. Probabilitatea ca stema să apară la prima aruncare a unei monede, a doua oară și a treia oară. Să aflăm probabilitatea ca stema să apară de trei ori:

Rezolvați singur problemele de înmulțire a probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 6. Există o cutie cu nouă mingi de tenis noi. Pentru a juca, se iau trei mingi, iar după joc sunt puse înapoi. La alegerea mingilor, mingile jucate nu se deosebesc de mingile nejucate. Care este probabilitatea ca după trei jocuri Au mai rămas mingi nejucate în cutie?

Exemplul 7. 32 de litere ale alfabetului rus sunt scrise pe carduri decupate cu alfabet. Cinci cărți sunt extrase la întâmplare una după alta și așezate pe masă în ordinea apariției. Găsiți probabilitatea ca literele să formeze cuvântul „sfârșit”.

Exemplul 8. Din puntea plina carduri (52 de coli), patru cărți sunt scoase deodată. Găsiți probabilitatea ca toate aceste patru cărți să fie de culori diferite.

Exemplul 9. Aceeași sarcină ca în exemplul 8, dar fiecare carte după ce a fost scoasă este returnată în pachet.

Probleme mai complexe, în care trebuie să utilizați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, precum și calcularea produsului mai multor evenimente, pot fi găsite pe pagina „Diverse probleme care implică adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele reciproc independente să se producă poate fi calculată scăzând din 1 produsul probabilităților de evenimente opuse, adică folosind formula.

Evenimente independente

În aplicarea practică a metodelor probabilistic-statistice de luare a deciziilor se folosește constant conceptul de independență. De exemplu, atunci când se aplică metode statistice pentru managementul calității produselor, se vorbește despre măsurători independente ale valorilor parametrilor controlați ai unităților de produs incluse în eșantion, despre independența apariției defectelor de un tip față de apariția defectelor de alt tip etc. Independența evenimentelor aleatoare este înțeleasă în modelele probabilistice în sensul următor.

Definiția 2. Evenimente AȘi ÎN sunt numite independente dacă P(AB) = P(A) P(B). Mai multe evenimente A, ÎN, CU,... se numesc independente dacă probabilitatea implementării lor în comun este egală cu produsul dintre probabilitățile ca fiecare dintre ele să apară separat: R(ABC…) = R(A)R(ÎN)R(CU)…

Această definiție corespunde intuiției independenței: apariția sau neapariția unui eveniment nu ar trebui să afecteze apariția sau neapariția altuia. Uneori raportul R(AB) = R(A) R(ÎN|A) = P(B)P(A|B), valabil pentru P(A)P(B) > 0, numită și teorema înmulțirii probabilităților.

Afirmația 1. Lasă evenimentele AȘi ÎN independent. Apoi evenimentele și sunt independente, evenimentele și ÎN independent, evenimente Ași independent (aici - evenimentul opus A, și - evenimentul opus ÎN).

Într-adevăr, din proprietatea c) din (3) rezultă că pentru evenimente CUȘi D, al cărui produs este gol, P(C+ D) = P(C) + P(D). De la intersectie ABȘi ÎN este gol, dar există o uniune ÎN, Acea P(AB) + P(B) = P(B). Deoarece A și B sunt independente, atunci P(B) = P(B) - P(AB) = P(B) - P(A)P(B) = P(B)(1 - P(A)). Să observăm acum că din relațiile (1) și (2) rezultă că P() = 1 – P(A). Mijloace, P(B) = P()P(B).

Derivarea egalității P(A) = P(A)P() diferă de precedentul doar prin înlocuire peste tot A pe ÎN, A ÎN pe A.

Pentru a dovedi independența Și să profităm de faptul că evenimentele AB, B, A, nu au elemente comune perechi, dar în total constituie întregul spațiu al evenimentelor elementare. Prin urmare, R(AB) + P(B) + P(A) + P() = 1. Folosind relațiile dovedite anterior, obținem asta P(B)= 1 -R(AB) - P(B)( 1 - P(A)) - P(A)( 1 - P(B))= ( 1 – R(A))( 1 – P(B)) = P()P(), care era ceea ce trebuia dovedit.

Exemplul 3. Luați în considerare experimentul de a arunca un zar cu numerele 1, 2, 3, 4, 5,6 scrise pe fețele sale. Presupunem că toate marginile au aceeași șansă de a fi deasupra. Să construim spațiul de probabilitate corespunzător. Să arătăm că evenimentele „în partea de sus este o față cu un număr par” și „în partea de sus este o față cu un număr divizibil cu 3” sunt independente.

Exemplu de analiză. Spațiul rezultatelor elementare este format din 6 elemente: „în partea de sus este marginea cu 1”, „în partea de sus este marginea cu 2”, ..., „în partea de sus este marginea cu 6”. Evenimentul „de sus – o față cu un număr par” constă din trei evenimente elementare – când 2, 4 sau 6 este deasupra. Evenimentul „de sus – o față cu un număr divizibil cu 3” constă din două evenimente elementare – când deasupra este 3 sau 6. Întrucât toate muchiile au aceeași șansă de a fi deasupra, atunci toate evenimentele elementare trebuie să aibă aceeași probabilitate. Deoarece există 6 evenimente elementare în total, fiecare dintre ele are o probabilitate de 1/6. Prin definiție, evenimentul „în partea de sus este o față cu un număr par” are o probabilitate de ½, iar evenimentul „în partea de sus este o față cu un număr divizibil cu 3” are o probabilitate de 1/3. Produsul acestor evenimente constă dintr-un eveniment elementar „la marginea de sus – cu 6” și, prin urmare, are o probabilitate de 1/6. Deoarece 1/6 = ½ x 1/3, evenimentele în cauză sunt independente conform definiției independenței.

Dacă, atunci când are loc un eveniment, probabilitatea evenimentului nu se schimbă, apoi evenimentele Și sunt numite independent.

Teorema:Probabilitatea de apariție concomitentă a două evenimente independente Și (lucrări Și ) este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Într-adevăr, din moment ce evenimente Și sunt independente, atunci
. În acest caz, formula pentru probabilitatea de apariție a evenimentelor este Și ia forma.

Evenimente
sunt numite independent pe perechi, dacă oricare dintre ele sunt independente.

Evenimente
sunt numite independent în comun (sau pur și simplu independent), dacă fiecare dintre ele sunt independente și fiecare eveniment și toate produsele posibile ale celorlalți sunt independente.

Teorema:Probabilitatea produsului unui număr finit de evenimente independent independente
este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Să ilustrăm diferența în aplicarea formulelor pentru probabilitatea unui produs de evenimente pentru evenimente dependente și independente folosind exemple

Exemplul 1. Probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta este de 0,85, al doilea de 0,8. Armele au tras câte o lovitură. Care este probabilitatea ca cel puțin un obuz să lovească ținta?

Rezolvare: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Deoarece loviturile sunt independente, atunci

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Exemplul 2. Urna conține 2 bile roșii și 4 negre. Se scot din el 2 bile la rând. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie roșii?

Soluție: 1 caz. Evenimentul A este apariția unei mingi roșii la prima extragere, evenimentul B la a doua. Evenimentul C – apariția a două bile roșii.

P(C) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

Cazul 2. Prima minge extrasa este returnata in cos

P(C) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

Formula probabilității totale.

Lasă evenimentul se poate întâmpla doar cu unul dintre evenimentele incompatibile
, formând un grup complet. De exemplu, un magazin primește aceleași produse de la trei întreprinderi și în cantități diferite. Probabilitatea de a produce produse de calitate scăzută la aceste întreprinderi variază. Unul dintre produse este selectat aleatoriu. Este necesar să se determine probabilitatea ca acest produs să fie de proastă calitate (eveniment ). Evenimente aici
– aceasta este selecția unui produs din produsele întreprinderii corespunzătoare.

În acest caz, probabilitatea evenimentului poate fi considerată ca suma produselor evenimentelor
.

Folosind teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile, obținem
. Folosind teorema înmulțirii probabilităților, găsim

.

Formula rezultată se numește formula probabilității totale.

Formula Bayes

Lasă evenimentul are loc concomitent cu una dintre evenimente incompatibile
, ale căror probabilităţi
(
) sunt cunoscute înainte de experiment ( probabilități a priori). Se efectuează un experiment, în urma căruia se înregistrează apariția unui eveniment , și se știe că acest eveniment a avut anumite probabilități condiționate
(
). Trebuie să găsim probabilitățile evenimentelor
dacă se ştie că evenimentul s-a întâmplat ( probabilități a posteriori).

Problema este că, având informații noi (a avut loc evenimentul A), trebuie să reestimăm probabilitățile evenimentelor
.

Pe baza teoremei probabilității produsului a două evenimente

.

Formula rezultată se numește Formule Bayes.

Concepte de bază ale combinatoriei.

La rezolvarea unui număr de probleme teoretice și practice, este necesar să se creeze diferite combinații dintr-un set finit de elemente conform regulilor date și să se numere numărul tuturor astfel de combinații posibile. Astfel de sarcini sunt de obicei numite combinatorie.

Atunci când rezolvă probleme, combinatoriștii folosesc regulile sumei și produsului.