Вихід. У випадковому експерименті симетричну монету двічі кидають Метод перебору комбінацій
Відповідь: 0,25. 34. Рішення. Всього 4 варіанти: про; про; р р; р р; о. Сприятливі 1: про; нар. Імовірність дорівнює 1/4 = 0,25. У випадковому експериментісиметричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що настане результат ОР (вперше випадає орел, вдруге – решка).
Слайд 35із презентації «Рішення завдань В6». Розмір архіву із презентацією 1329 КБ.Математика 11 клас
короткий змістінших презентацій"Рішення завдань В6" - Куплена сумка. Імовірність твору незалежних подій. Частота народження дівчаток. Вихід. Жереб. Можливість виграти. Учасник Якісні тарілки. Іноземна мова. Команда. Ситуація. Шукана ймовірність. Людина. Комбінації. Кава. Батарейка. Події Магазин. Питання з ботаніки. Механічні годинники. Картки із номерами груп. Можливість вціліти. Насоси. Пристріляний револьвер. Спортсмен.
«Підготовка до іспиту з математики» - Інформаційно-методичний простір учителів математики. Збірник до ЄДІ з математики. Розв'язання великої кількості завдань із «Банку завдань». Рекомендації випускникам щодо підготовки до ЄДІ. З досвіду підготовки до підсумкової атестації невмотивованих учнів. Робочі зошити з математики B1-B12, С1 - С6 до ЄДІ 2011. Результати ЄДІ. Інформаційна підтримка Єдиного державного іспиту. Навчально-тренувальні тести до ЄДІ 2011 року з математики.
«Рішення текстових задач з математики» - У розділі прототипів блоку B12 всього 82 прототипи задач. Завдання на рух. Рух об'єктів назустріч один одному. Бригада малярів фарбує паркан завдовжки 240 метрів. Завдання працювати. Прототип завдання B12. Завдання на роботу та продуктивність. Чотири сорочки дешевші за куртку на 8%. Завдання на «концентрацію, сумішей та сплавів». Загальні підходи вирішення завдань. Рух велосипедистів та автомобілістів. Рух човна за течією та проти течії.
«Варіанти завдань ЄДІ з математики» - Коріння ірраціональне. Сюжетні завдання. Вкажіть графік функції, заданої формулою. Найпростіші види рівнянь та нерівностей. Аналіз змісту завдань з математики ЄДІ. Геометричні фігурита їх властивості. Завдання другої та третьої частини (форма В і С). Студентська бригада. Значення виразу. Знайдіть значення виразу. Скільки коренів має рівняння. Структура з математики. Основні змістовні теми з математики.
«Структура ЄДІ з математики» - Тренувальні роботи. Структура КІМ ЄДІ. Приклад КІМ ЄДІ з математики 2012. Поради психолога. Типові екзаменаційні варіанти. ЄДІ-2012 математика. Корисні прийоми. Бланки відповідей Шкалювання. Оцінка робіт ЄДІ з математики. Рекомендації щодо заучування матеріалу. Зміни в ЄДІ з математики 2012. Структура варіанта КІМ. Типові тестові завдання. Алгебра.
"Завдання B1 в ЄДІ з математики" - Флакон шампуню. Підготовка до ЄДІ з математики. Зміст завдання. Перевірені вимоги. Теплохід. Реальні числові дані. Лимонна кислота. Рятувальна шлюпка. Завдання для самостійного вирішення. Лимонна кислота продається у пакетиках. Пам'ятка учню. Найбільше. Прототип завдання.
Умова
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що й уперше.
Рішення
- Дане завдання вирішуватимемо за формулою:
Де Р(А) – ймовірність події А, m – число сприятливих наслідків цієї події, n – загальна кількість всіляких наслідків.
- Застосуємо цю теорію до нашого завдання:
А – подія, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
Р(А) – ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що й у перший.
- Визначимо m та n:
m — число сприятливих для цієї події наслідків, тобто число наслідків, коли вдруге випаде те саме, що й у перший. В експерименті кидають монету двічі, яка має дві сторони: решка (Р) та орел (О). Нам необхідно, щоб удруге випаде те саме, що й у перший, а це можливо тоді, коли випадуть наступне комбінації: ГО чи РР, тобто виходить, що
m = 2, оскільки можливо 2 варіанти, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
n – загальна кількість всіляких результатів, тобто визначення n нам необхідно знайти кількість всіх можливих комбінацій, які можуть випасти при киданні монети двічі. Кидаючи вперше монету може випасти або решка, або орел, тобто, можливо, два варіанти. При киданні вдруге монету можливі такі самі варіанти. Виходить що
Теоретично ймовірностей існує група завдань, на вирішення яких досить знати класичне визначення ймовірності і наочно представляти запропоновану ситуацію. Такими завданнями є більшість завдань із підкиданням монети та завдання з киданням грального кубика. Нагадаємо класичне визначення ймовірності.
Імовірність події А (об'єктивна можливість настання події у числовому вираженні) дорівнює відношенню числа сприятливих цієї події результатів до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів: Р(А)=m/n, де:
- m – число елементарних результатів випробування, які сприяють появі події А;
- n - загальна кількість всіх можливих елементарних результатів випробування.
Число можливих елементарних результатів випробування та кількість сприятливих результатів у розглянутих задачах зручно визначати перебором всіх можливих варіантів (комбінацій) та безпосереднім підрахунком.
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел випадає 1 раз) відповідають варіанту №2 і №3 експерименту, таких варіантів два m=2.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=2/4=0,5
Завдання 2 . У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
Рішення
. Оскільки монету кидають двічі, те, як і задачі 1, число можливих елементарних результатів n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел не випаде жодного разу) відповідають варіанту №4 експерименту (див. таблицю в задачі 1). Такий варіант один, отже, m=1.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=1/4=0,25
Завдання 3 . У довільному експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Рішення . Можливі варіанти трьох кидань монети (всі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=8. Сприятливі наслідки події А = (орел випадає 2 рази) відповідають варіантам №5, 6 та 7 експерименту. Таких варіантів три, отже m=3.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=3/8=0,375
Завдання 4 . У довільному експерименті симетричну монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно 3 рази.
Рішення . Можливі варіанти чотирьох кидань монети (усі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
| № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок | № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок |
| 1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
| 5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
| 6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=16. Сприятливі наслідки події А = (орел випаде 3 рази) відповідають варіантам №12, 13, 14 та 15 експерименту, отже m=4.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Визначення ймовірності в задачах про гральну кістку
Завдання 5 . Визначте можливість, що при киданні грального кубика (правильної кістки) випаде більше 3 очок.
Рішення
. При киданні грального кубика (правильної кістки) може випасти кожна з шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить кількість можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало більше 3 очок) означає, що випало 4, 5 або 6 точок (очок). Значить кількість сприятливих наслідків m=3.
Імовірність події Р(А)=m/n=3/6=0,5
Завдання 6 . Визначте ймовірність того, що при киданні грального кубика випала кількість очок, не більша за 4. Результат округліть до тисячних.
Рішення
. При киданні грального кубика може випасти кожна з шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить кількість можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало трохи більше 4 очок) означає, що випало 4, 3, 2 чи 1 точка (очко). Значить кількість сприятливих наслідків m=4.
Імовірність події Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Завдання 7 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що обидва рази випало число менше 4.
Рішення . Бо гральна кістка ( гральний кубик) кидають двічі, то будемо міркувати так: якщо на першому кубику випало одне очко, то на другому може випасти 1, 2, 3, 4, 5, 6. Отримуємо пари (1;1), (1;2), ( 1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6) і так з кожною гранню. Всі випадки представимо у вигляді таблиці з 6-ти рядків та 6-ти стовпців:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Сприятливі результати події А = (обидва рази випало число, менше 4) (вони виділені жирним) підрахуємо та отримаємо m=9.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=9/36=0,25
Завдання 8 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5. Відповідь округліть до тисячних.
Рішення . всі можливі результатидвох кидань гральної кісткиподамо в таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Сприятливі результати події А = (найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5) (вони виділені жирним) підрахуємо і отримаємо m=8.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Завдання 9 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що хоча б раз випало число менше 4.
Рішення . Всі можливі результати двох кидань гральної кістки подаємо у таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Фраза «хоч раз випало число, менше 4» означає «число менше 4 випало раз чи двічі», тоді число сприятливих результатів події А = (хоча раз випало число, менше 4) (вони виділені жирним) m=27.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=27/36=0,75
Завдання на підкидання монет є досить складними. І перед тим, як вирішувати їх, потрібно невелике пояснення. Задумайтесь, будь-яке завдання з теорії ймовірностей у підсумку зводиться до стандартної формули:
де p - ймовірність, k - число влаштовують нас подій, n - загальна кількість можливих подій.
Більшість завдань B6 вирішуються за цією формулою буквально в один рядок – достатньо прочитати умову. Але у випадку з підкиданням монет ця формула марна, оскільки з тексту таких завдань взагалі не зрозуміло, чому рівні числа k і n. У цьому полягає вся складність.
Тим не менш, існує як мінімум два принципово різних методи розв'язання:
- Метод перебору комбінацій – стандартний алгоритм. Виписуються всі комбінації орлів і решок, після чого вибираються необхідні;
- Спеціальна формула ймовірності - стандартне визначення ймовірності спеціально переписане так, щоб було зручно працювати з монетами.
Для вирішення задачі B6 треба знати обидва методи. На жаль, у школах вивчають лише перший. Не повторюватимемо шкільних помилок. Тож поїхали!
Метод перебору комбінацій
Цей метод ще називається «рішення напролом». Складається із трьох кроків:
- Виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок. Наприклад: ОР, РВ, ГО, РР. Число таких комбінацій - це n;
- Серед отриманих комбінацій відзначаємо ті, що потрібні за умовою завдання. Вважаємо зазначені комбінації - отримуємо число k;
- Залишилося знайти ймовірність: p = k: n.
На жаль, цей спосіб працює лише для малої кількості кидків. Тому що з кожним новим кидком кількість комбінацій подвоюється. Наприклад, для 2 монет доведеться виписати лише 4 комбінації. Для 3 монет їх вже 8, а для 4 – 16, і ймовірність помилки наближається до 100%. Погляньте на приклади – і самі все зрозумієте:
Завдання. У довільному експерименті симетричну монету кидають 2 рази. Знайдіть ймовірність того, що орлів та решок випаде однакова кількість.
Отже, монету кидають двічі. Випишемо всі можливі комбінації (O – орел, P – решка):
Разом n = 4 варіанти. Тепер випишемо ті варіанти, які підходять за умовою завдання:
Таких варіантів виявилося k = 2. Знаходимо ймовірність:
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок:
ТОВО ТОВОП OPPO OPPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Усього вийшло n = 16 варіантів. Ніби нічого не забув. З цих варіантів нас влаштовує лише комбінація OOOO, в якій взагалі немає решік. Отже, k = 1. Залишилося знайти ймовірність:
Як бачите, в останній задачі довелося виписувати 16 варіантів. Ви впевнені, що зможете виписати їх без жодної помилки? Особисто я – не впевнений. Тому розглянемо другий спосіб рішення.
Спеціальна формула ймовірності
Отже, завдання з монетами є власна формула ймовірності. Вона настільки проста і важлива, що вирішив оформити її як теореми. Погляньте:
Теорема. Нехай монету кидають n разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівно раз, можна знайти за формулою:
Де C n k - число поєднань з n елементів k , яке вважається за формулою:
Отже, на вирішення завдання з монетами потрібні два числа: число кидків і число орлів. Найчастіше ці числа дано у тексті завдання. Понад те, немає значення, що саме вважати: решки чи орли. Відповідь вийде та сама.
На перший погляд, теорема здається надто громіздкою. Але варто трохи потренуватися - і вам не захочеться повертатися до стандартного алгоритму, описаному вище.
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі.
За умовою завдання всього кидків було n = 4. Необхідне число орлів: k = 3. Підставляємо n і k у формулу:
Завдання. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо числа n і k. Оскільки монету кидають 3 рази, n = 3. А оскільки решок не повинно бути, k = 0. Залишилося підставити числа n і k у формулу:
Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. Тому C30 = 1.
Завдання. У довільному експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше разів, ніж решка.
Щоб орлів було більше, ніж решік, вони повинні випасти або 3 рази (тоді решіків буде 1), або 4 (тоді решіків взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій.
Нехай p 1 – ймовірність того, що орел випаде 3 рази. Тоді n = 4, k = 3. Маємо:
Тепер знайдемо p 2 – ймовірність того, що орел випаде усі 4 рази. І тут n = 4, k = 4. Маємо:
Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірності p1 і p2. Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Формулювання завдання:У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел (решка) не випаде жодного разу (випаде рівно/хоча б 1, 2 рази).
Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівнядля 11 класу за номером 10 (Класичне визначення ймовірності).
Розглянемо, як вирішуються такі завдання на прикладах.
Приклад задачі 1:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких немає жодного орла. Така комбінація лише одна (РР).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 2:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випадає рівно 2 рази. Така комбінація лише одна (ГО).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 3:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випав рівно один раз. Таких комбінацій лише дві (ОР та РВ).
Відповідь: 0.5
Приклад задачі 4:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде хоча б один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випаде хоча б один раз. Таких комбінацій всього три (ГО, ОР та РВ).
P = 3/4 = 0.75