У довільному експерименті монету кидають 4 рази. У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Розв'язання задачі із симетричною монетою
Умова
В випадковому експерименті симетричну монетукидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що і вперше.
Рішення
- Це завдання вирішуватимемо за формулою:
Де Р(А) – ймовірність події А, m – число сприятливих результатів цієї події, n – загальна кількість різноманітних результатів.
- Застосуємо цю теорію до нашого завдання:
А – подія, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
Р(А) – ймовірність того, що вдруге випаде те саме, що й у перший.
- Визначимо m та n:
m — число сприятливих цій події результатів, тобто число результатів, коли вдруге випаде те саме, що й у перший. В експерименті кидають монету двічі, яка має 2 сторони: решка (Р) та орел (О). Нам необхідно, щоб удруге випаде те саме, що й у перший, а це можливо тоді, коли випадуть наступне комбінації: ГО чи РР, тобто виходить, що
m = 2, оскільки можливо 2 варіанти, коли вдруге випаде те саме, що й у перший;
n – загальна кількість всіляких результатів, тобто визначення n нам необхідно знайти кількість всіх можливих комбінацій, які можуть випасти при киданні монети двічі. Кидаючи вперше монету може випасти або решка, або орел, тобто два варіанти. При киданні вдруге монету можливі такі самі варіанти. Виходить що
Формулювання завдання:У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел (решка) не випаде жодного разу (випаде рівно/хоча б 1, 2 рази).
Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівнядля 11 класу під номером 10 (Класичне визначення ймовірності).
Розглянемо, як вирішуються такі завдання на прикладах.
Приклад задачі 1:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
ГО ОР РО РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті, у яких немає жодного орла. Така комбінація лише одна (РР).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 2:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ОР РО РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випадає рівно 2 рази. Така комбінація лише одна (ГО).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 3:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ОР РО РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випав рівно один раз. Таких комбінацій лише дві (ОР та РВ).
Відповідь: 0.5
Приклад задачі 4:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде хоча б один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ОР РО РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випаде бодай один раз. Таких комбінацій лише три (ГО, ОР та РВ).
P = 3/4 = 0.75
У завданнях з теорії ймовірностей, які представлені в ЄДІ номером №4, крім зустрічаються завдання на підкидання монети і про кидки кубика. Їх сьогодні ми й розберемо.
Завдання про підкидання монети
Завдання 1.Симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що решка випаде рівно один раз.
У таких завданнях зручно виписати все можливі результати, записуючи їх за допомогою літер Р (решка) та О (орел). Так, результат ОР означає, що з першому кидку випав орел, а за другому – решка. У розглянутій задачі можливі 4 результати: РР, РВ, ОР, ГО. Сприяють події «решка випаде рівно один раз» 2 результати: РВ та ОР. Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,5.
Завдання 2.Симетричну монету кидають тричі, Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Усього можливі 8 результатів: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ОРВ, ТОВ. Сприяють події «орел випаде рівно двічі» 3 результати: РОО, ОРО, ОРВ. Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,375.
Завдання 3.Перед початком футбольного матчу суддя кидає монетку, щоб визначити, яка команда почне гру з м'ячем. Команда «Ізумруд» грає три матчі з різними командами. Знайдіть ймовірність того, що в цих іграх «Ізумруд» виграє жереб рівно один раз.
Це завдання аналогічне попередньому. Нехай щоразу випадання решки означає виграш жереба «Ізумрудом» (таке припущення впливає обчислення ймовірностей). Тоді можливі 8 результатів: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ОРВ, ТОВ. Сприяють події «решка випаде рівно один раз» 3 результати: РОО,ОРО,ООР. Шукана ймовірність дорівнює.
Відповідь: 0,375.
Завдання 4. Симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що настане результат РВВ (вперше випадає решка, у другий і третій – орел).
Як і в попередніх завданнях, тут є 8 результатів: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРВ, ОРВ, ТОВ. Імовірність настання результату РВВ дорівнює.
Відповідь: 0,125.
Завдання про кидки кубика
Завдання 5.Гральний кубик кидають двічі. Скільки елементарних наслідків досвіду сприяють події «сума очок дорівнює 8»?
Завдання 6. Одночасно кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 4 очки. Результат округліть до сотих.
Взагалі, якщо кидають гральних кісток (кубиків), то є рівноможливі результати. Стільки ж результатів виходить, якщо один і той самий кубик кидають раз поспіль.
Події «у сумі випало 4» сприяють такі результати: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Їх кількість одно 3. Шукана можливість дорівнює .
Для підрахунку наближеного значення дробу зручно скористатися розподілом куточком. Таким чином, приблизно дорівнює 0,083, округливши до сотих маємо 0,08.
Відповідь: 0,08
Завдання 7. Одночасно кидають три гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 5 очок. Результат округліть до сотих.
Результатом будемо вважати трійку чисел: окуляри, що випали на першій, другій та третій ігральної кістки. Усього є рівноможливих результатів. Події «у сумі випало 5» сприяють такі результати: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Їх кількість дорівнює 6. Шукана ймовірність дорівнює. Для підрахунку наближеного значення дробу зручно скористатися розподілом куточком. Приблизно отримуємо 0,027, округливши до сотих, маємо 0,03. Джерело “Підготовка до ЄДІ. Математика. Теорія імовірності". За редакцією Ф.Ф. Лисенка, С.Ю. Кулабухова
Теоретично ймовірностей існує група завдань, на вирішення яких досить знати класичне визначення ймовірності і наочно представляти запропоновану ситуацію. Такими завданнями є більшість завдань із підкиданням монети та завдання із киданням грального кубика. Нагадаємо класичне визначення ймовірності.
Імовірність події А (об'єктивна можливість настання події у числовому вираженні) дорівнює відношенню числа сприятливих цієї події результатів до загальної кількості всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів: Р(А)=m/n, де:
- m – число елементарних результатів випробування, які сприяють появі події А;
- n - загальна кількість всіх можливих елементарних результатів випробування.
Число можливих елементарних результатів випробування та кількість сприятливих результатів у розглянутих задачах зручно визначати перебором всіх можливих варіантів (комбінацій) та безпосереднім підрахунком.
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел випадає 1 раз) відповідають варіанту №2 та №3 експерименту, таких варіантів два m=2.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=2/4=0,5
Завдання 2 . У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
Рішення
. Оскільки монету кидають двічі, то, як і задачі 1, число можливих елементарних результатів n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел не випаде жодного разу) відповідають варіанту №4 експерименту (див. таблицю в задачі 1). Такий варіант один, отже, m=1.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=1/4=0,25
Завдання 3 . У довільному експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно 2 рази.
Рішення . Можливі варіанти трьох кидань монети (усі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=8. Сприятливі результати події А = (орел випадає 2 рази) відповідають варіантам №5, 6 та 7 експерименту. Таких варіантів три, отже m=3.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=3/8=0,375
Завдання 4 . У довільному експерименті симетричну монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно 3 рази.
Рішення . Можливі варіанти чотирьох кидань монети (усі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
| № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок | № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок |
| 1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
| 5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
| 6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=16. Сприятливі результати події А = (орел випаде 3 рази) відповідають варіантам №12, 13, 14 та 15 експерименту, отже m=4.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Визначення ймовірності в задачах про гральну кістку
Завдання 5 . Визначте можливість, що при киданні грального кубика (правильної кістки) випаде більше 3 очок.
Рішення
. При киданні грального кубика (правильної кістки) може випасти кожна із шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить число можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало більше 3 очок) означає, що випало 4, 5 або 6 точок (очок). Значить кількість сприятливих результатів m=3.
Імовірність події Р(А)=m/n=3/6=0,5
Завдання 6 . Визначте ймовірність того, що при киданні грального кубика випало число очок не більше 4. Результат округліть до тисячних.
Рішення
. При киданні грального кубика може випасти кожна із шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить число можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало трохи більше 4 очок) означає, що випало 4, 3, 2 чи 1 точка (очко). Значить кількість сприятливих результатів m=4.
Імовірність події Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Завдання 7 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що обидва рази випало число менше 4.
Рішення . Бо гральна кістка ( гральний кубик) кидають двічі, то будемо міркувати так: якщо на першому кубику випало одне очко, то на другому може випасти 1, 2, 3, 4, 5, 6. Отримуємо пари (1;1), (1;2), ( 1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6) і так з кожною гранню. Всі випадки представимо у вигляді таблиці з 6-ти рядків та 6-ти стовпців:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Сприятливі результати події А = (обидва рази випало число менше 4) (вони виділені жирним) підрахуємо і отримаємо m=9.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=9/36=0,25
Завдання 8 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5. Відповідь округліть до тисячних.
Рішення . Всі можливі результати двох кидань гральної кістки представимо в таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Сприятливі результати події А = (найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5) (вони виділені жирним) підрахуємо і отримаємо m=8.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Завдання 9 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що хоча б раз випало число менше 4.
Рішення . Всі можливі результати двох кидань гральної кістки представимо в таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Фраза «хоч би раз випало число, менше 4» означає «число менше 4 випало один раз або два рази», тоді число сприятливих результатів події А = (хоч би раз випало число, менше 4) (вони виділені жирним) m=27.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=27/36=0,75
Завдання на підкидання монет є досить складними. І перед тим, як вирішувати їх, потрібне невелике пояснення. Задумайтесь, будь-яке завдання з теорії ймовірностей у результаті зводиться до стандартної формули:
де p - ймовірність, k - число влаштовують нас подій, n - загальна кількість можливих подій.
Більшість завдань B6 вирішуються за цією формулою буквально в один рядок – достатньо прочитати умову. Але у випадку з підкиданням монет ця формула марна, оскільки з тексту таких завдань взагалі не зрозуміло, чому рівні числа k і n. У цьому полягає вся складність.
Тим не менш, існує як мінімум два принципово різні методи вирішення:
- Метод перебору комбінацій – стандартний алгоритм. Виписуються всі комбінації орлів і решок, після чого вибираються необхідні;
- Спеціальна формула ймовірності - стандартне визначення ймовірності спеціально переписане так, щоб було зручно працювати з монетами.
Для вирішення задачі B6 треба знати обидва методи. На жаль, у школах вивчають лише перший. Не повторюватимемо шкільних помилок. Тож поїхали!
Метод перебору комбінацій
Цей метод ще називається «рішення напролом». Складається із трьох кроків:
- Виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок. Наприклад: ОР, РВ, ГО, РР. Число таких комбінацій - це n;
- Серед одержаних комбінацій відзначаємо ті, які потрібні за умовою завдання. Вважаємо зазначені комбінації - отримуємо число k;
- Залишилося знайти ймовірність: p = k: n.
На жаль, цей спосіб працює лише для малої кількості кидків. Тому що з кожним новим кидком кількість комбінацій подвоюється. Наприклад, для 2 монет доведеться виписати лише 4 комбінації. Для 3 монет їх уже 8, а для 4 – 16, і ймовірність помилки наближається до 100%. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:
Завдання. У довільному експерименті симетричну монету кидають 2 рази. Знайдіть ймовірність того, що орлів та решок випаде однакова кількість.
Отже, монету кидають двічі. Випишемо всі можливі комбінації (O – орел, P – решка):
Разом n = 4 варіанти. Тепер випишемо ті варіанти, які підходять за умовою завдання:
Таких варіантів виявилося k = 2. Знаходимо ймовірність:
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо всі можливі комбінації орлів та решок:
ТОВО ТОВОП OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Усього вийшло n = 16 варіантів. Ніби нічого не забув. З цих варіантів нас влаштовує лише комбінація OOOO, в якій взагалі немає решіків. Отже, k = 1. Залишилося знайти ймовірність:
Як бачите, в останній задачі довелося виписувати 16 варіантів. Ви впевнені, що можете виписати їх без жодної помилки? Особисто я – не впевнений. Тому давайте розглянемо другий спосіб розв'язання.
Спеціальна формула ймовірності
Отже, завдання з монетами є власна формула ймовірності. Вона настільки проста і важлива, що вирішив оформити її як теореми. Погляньте:
Теорема. Нехай монету кидають n разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівно раз, можна знайти за формулою:
Де C n k - число поєднань з n елементів k , яке вважається за формулою:
Отже, на вирішення завдання з монетами потрібні два числа: число кидків і число орлів. Найчастіше ці числа дано у тексті завдання. Понад те, немає значення, що саме вважати: решки чи орли. Відповідь вийде та сама.
На перший погляд, теорема здається надто громіздкою. Але варто трохи потренуватися - і вам не захочеться повертатися до стандартного алгоритму, описаному вище.
Завдання. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі.
За умовою завдання всього кидків було n = 4. Необхідне число орлів: k = 3. Підставляємо n і k у формулу:
Завдання. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
Знову виписуємо числа n і k. Оскільки монету кидають 3 рази, n = 3. А оскільки рішок не повинно бути, k = 0. Залишилося підставити числа n і k у формулу:
Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. Тому C3 0 = 1.
Завдання. У довільному експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше, ніж решка.
Щоб орлів було більше, ніж решік, вони повинні випасти або 3 рази (тоді рішок буде 1), або 4 (тоді рішок взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій.
Нехай p 1 – ймовірність того, що орел випаде 3 рази. Тоді n = 4, k = 3. Маємо:
Тепер знайдемо p 2 – ймовірність того, що орел випаде усі 4 рази. І тут n = 4, k = 4. Маємо:
Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірності p1 і p2. Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125