Дитяча математична кмітливість. Дослідницька робота "математична кмітливість"

Розділ шостий
ДОМІНО І КУБИК
А. Доміно
197. Скільки очок?
198. Два фокусу
199. Виграш партії забезпечений
200. Рамка
201. Рамка в рамці
202. «Віконця»
203. Чарівні квадрати з кісток доміно
204. Чарівний квадрат з отвором
205. Множення в доміно
206. Відгадати задуману кістка доміно
Б. Кубик
207. Арифметичний фокус з гральними кубиками
208. Відгадування суми очок на прихованих гранях
209. В якому порядку розташовані кубики?

Розділ сьомий
властивості дев'ятку
210. Яка цифра закреслена?
211. Приховане властивість
212. Ще кілька забавних способів відшукання відсутнього числа
213. По одній цифрі результату визначити інші три
214. Відгадування різниці
215. Визначення віку
216. У чому секрет?

Розділ восьмий
З алгебри та БЕЗ НЕЇ
217. Взаємна допомога
218. Бездельник, і чорт
219. Тямущий малюк
220. Мисливці
221. Зустрічні потяги
222. Віра друкує рукопис
223. Історія з грибами
224. Хто повернеться раніше?
225. Плавець і капелюх
226. Два теплохода
227. Перевірте свою кмітливість!
228. Конфуз запобігли
229. У скільки разів більше?
230. Теплохід і гідролітак
231. велофігуристи на арені
232. Швидкість роботи токаря Бикова
233. Поїздка Джека Лондона
234. Через невдалі аналогій можливі помилки
235. Юридичний казус
236. Парами і трійками
237. Хто їхав на коні?
238. Два мотоцикліста
239. В якому літаку Володін тато?
240. Раздробить на частини
241. Дві свічки
242. Дивовижна проникливість
243. «Вірне час»
244. Годинник
245. О котрій годині?
246. О котрій годині почалося й скінчилося нараду?
247. Сержант тренує розвідників
248. По двох повідомленнями
249. Скільки побудували нових станцій?
250. Вибрати чотири слова
251. Чи припустимо таке зважування?
252. Слон і комар
253. п'ятизначний число
254. Років до ста рости вам без старості
255. Завдання Люка
256. Своєрідна прогулянка
257. Одне властивість простих дробів

Розділ дев'ятий
МАТЕМАТИКА МАЙЖЕ БЕЗ ОБЧИСЛЕНЬ
258. У темній кімнаті
259. Яблука
260. Прогноз погоди (жарт).
261. День лісу
262. У кого яке ім'я?
263. Змагання в влучності
264. Купівля
265. Пасажири одного купе
266. Фінал турніру шахістів радянської Армії
267. Недільник
268. Як прізвище машиніста?
269. Вугільна історія
270. Збирачі трав
271. Приховане розподіл
272. Зашифровані дії (числові ребуси)
273. Арифметична мозаїка
274. Мотоцикліст і верхової
275. Пішки і на автомобілі
276. «Від противного»
277. Виявити фальшиву монету
278. Логічна нічия
279. Три мудреця
280. П'ять запитань для школярів
281. Міркування замість рівняння
282. За здоровим глуздом
283. Так чи ні?

Розділ десятий
МАТЕМАТИЧНІ ІГРИ І ФОКУСИ
А. Ігри
284. Одинадцять предметів
285. Взяти сірники останнім
286. Перемагає чет
287. Цзяньшіцзи
288. Як виграти?
289. Викласти квадрат
290. Хто перший скаже «сто»?
291. Гра в квадрати
292. ОУА
293. «Математики» (італійська гра)
294. Гра в чарівні квадрати
295. Перетин чисел
Б. Фокуси
296. Вгадування задуманого числа (7 фокусів)
297. Вгадати результат обчислень, нічого не питаючи
298. Хто скільки взяв, і дізнався
299. Одна, дві, три спроби ... і я вгадав
300. Хто взяв гумку, а хто олівець?
301. Вгадування трьох задуманих доданків і суми
302. Вгадати кілька задуманих чисел
303. Скільки вам років?
304. Вгадати вік
305. Геометричний фокус (загадкове зникнення)

Розділ одинадцятий
ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ
306. Число на гробниці
307. Подарунки до Нового року
308. Чи може бути таке число?
309. Кошик яєць (із старовинного французького задачника)
310. Тризначне число
311. Чотири теплохода
312. Помилка касира
313. Числовий ребус
314. Ознака подільності на 11
315. Об'єднаний ознака подільності на 7, 11 і 13
316. Спрощення ознаки подільності на 8
317. Вражаюча пам'ять
318. Об'єднаний ознака подільності на 3, 7 і 19
319. Подільність двочлена
320. Старе і нове про подільність на 7
321. Поширення ознаки на інші числа
322. Узагальнений ознака подільності
323. Курйоз подільності

Розділ дванадцятий
КРОС-СУМИ І магічних квадратів
А. Крос-суми
324. Цікаві угруповання
325. «Зірочка»
326. «Кристал»
327. Прикраса для вітрини
328. Кому раніше вдасться?
329. «Планетарій»
330. «Орнамент»
Б. Чарівні квадрати
331. Прибульці з Китаю та Індії
332. Як самому скласти магічний квадрат?
333. На підступах до загальних методів
334. Іспит на кмітливість
335. «Чарівна» гра в «15»
336. Нетрадиційний чарівний квадрат
337. Що в центральній клітці?
338. «Чарівні» твори
339. «Шкатулка» арифметичних курйозів
В. Елементи теорії магічних квадратів
340. «За доповнення»
341. «Правильні» чарівні квадрати четвертого порядку
342. Підбір чисел для магічних квадратів будь-якого порядку

Розділ тринадцятий.
Курйозний І СЕРЙОЗНЕ до числа
343. Десять цифр (спостереження).
344. Ще кілька цікавих спостережень
345. Два цікавих досвіду
346. Числова карусель
347. Диск миттєвого множення
348. Розумова гімнастика
349. Візерунки цифр
350. Одна за всіх і всі за одну
351. Числові знахідки
352. Спостерігаючи ряд натуральних чисел
353. Настирлива різницю
354. Симетрична сума (нераскушенний горішок)

Розділ чотирнадцятий
ЧИСЛА ДРЕВНІ, АЛЕ ВІЧНО ЮНІ
А. Початкові числа
355. Числа прості і складові
356. «Ератосфеново решето»
357. Нове «решето» для простих чисел
358. Півсотні перших простих чисел
359. Ще один спосіб отримання простих чисел
360. Скільки простих чисел?
Б. Числа Фібоначчі
361. Публічне випробування
362. Ряд Фібоначчі
363. Парадокс
364. Властивості чисел ряду Фібоначчі
В. Фігурні числа
365. Властивості фігурних чисел
366. Піфагорови числа

Розділ п'ятнадцятий
ГЕОМЕТРИЧНА кмітливість у ПРАЦЮ
367. Геометрія сівби
368. Раціоналізація в укладанні цегли для перевезення
369. Робітники-геометри

Муніципальне бюджетне загальноосвітній заклад

Саранпаульского середня загальноосвітня школа

Дослідницька робота з математики

підготував:

учень 3 а класу Фролов Микола,

керівник:

Артеева Антоніна Андріївна,

вчитель початкових класів.

Саранпауль 2017 р

зміст

Стор.

Вступ

Значення завдань на кмітливість

Леонардо Фібоначчі - математик, який зробив внесок у вирішення завдань на кмітливість

Класифікація завдань на «кмітливість»

Логічні завдання

Завдання на переправи

Завдання на переливання

Завдання казкового характеру

Завдання на кмітливість, на кмітливість

Числові ряди, ребуси

висновок

Список літератури

Вступ

Творча активність - найпотужніший імпульс у розвитку дитини. Потенційна геніальність живе в кожній людині, але не завжди людина відчуває присутність геніальності. Необхідно якомога раніше почати розвивати творчі здібності.

Будь-яка математична задача на кмітливість, для якого б віку вона не призначалася, несе в собі певну розумову навантаження, яка найчастіше замаскована цікавим сюжетом, зовнішніми даними, умовою завдання і т. Д. У завданнях різного ступеня складності цікавість привертає увагу дітей, активізує думку , викликає стійкий інтерес до майбутнього пошуку рішення. Характером матеріалу визначається його призначення: розвивати у дітей загальні розумові і математичні здібності, зацікавлювати їх предметом математики, розважати, що не є, безумовно, основним.Розвиток кмітливості, винахідливості, ініціативи здійснюється в активній розумовій діяльності, заснованої на безпосередньому інтересі.

Цікавість математичного матеріалу надають ігрові елементи, Що містяться в кожному завданні, логічному вправі, розвазі, будь то шахи або найелементарніша головоломка. Наприклад, в питанні: «Як за допомогою двох паличок скласти на столі квадрат?» - незвичайність його постановки змушує задуматися в пошуках відповіді, втягнутися в гру уяви.

Різноманіття цікавого матеріалу - ігор, завдань, головоломок, дає підставу для їх класифікації, хоча досить важко розбити на групи настільки різноманітний матеріал, створений математиками.

Класифікувати його можна за різними ознаками: за змістом і значенням, характером розумових операцій, а також і ознакою спільності, спрямованості на розвиток тих чи інших умінь. Підставою для виділення таких груп є характер і призначення матеріалу того чи іншого виду.

Мета: Вивчення методів розв'язання задач на кмітливість.

завдання:

1. Вивчити тему «Рішення задач на кмітливість», види завдань на кмітливість і методи їх вирішення.

2. Вирішити кілька видів завдань на кмітливість, самостійно скласти алгоритм рішення таких задач.

Значення завдань на кмітливість

Творча діяльність учнів в процесі вивчення математики полягає, перш за все, в рішенні задач. Уміння вирішувати завдання є одним з критеріїв рівня математичного розвитку учнів, характеризує в першу чергу здатності учнів застосовувати свої теоретичні знання в конкретній ситуації.

При вирішенні традиційних шкільних завдань застосовують для їх вирішення певні знання, вміння і навички по вузькому колу питань програмного матеріалу. При цьому відомі способи вирішення обмежує творчий пошук учнів.

Завдання на кмітливість на відміну від традиційної не може бути безпосередньо вирішена по якому-небудь закону. Завдання на кмітливість це такі, для яких в курсі математики немає загальних правил і положень, що визначають точну програму їх вирішення. Отже, виникає необхідність пошуку рішення, що вимагає творчої роботи мислення і сприяє його розвитку.

Рішення задач на кмітливість породжує напруженість пошуку і радість відкриття - найважливіші чинники розвитку, творче досягнення.

Значення завдань на кмітливість дуже велике - вміння учнів вирішувати нестандартні завдання показує:

1. ​ Здатність мислити оригінально, а також має велике значення при формуванні та розвитку їх творчих здібностей;

2. ​ Здатність узагальнювати математичний матеріал, виокремлювати головне, відволікатися від несуттєвого, бачити загальне в зовні різному;

3. ​ Здатність до оперування числовою і знаковою символіці;

4. ​ Здібність до «послідовного, логічного міркування», пов'язаного з потребою в доказах, обгрунтуванні, висновках;

5. ​ Здатність скорочувати процес міркування, мислити згорнутими структурами;

6. ​ Здатність до оборотності розумового процесу (до переходу з прямого на зворотний хід думки);

7. ​ Гнучкість мислення, здатність до перемикання від однієї розумової операції до іншої, свободу від сковує впливу шаблонів і трафаретів. Ця особливість мислення важлива у творчій роботі математиків;

8. ​ Здатність розвивати математичну пам'ять ... це пам'ять на узагальнення, логічні схеми;

9. Здатність до просторових уявлень.

Ще К. Д. Ушинський писав, що «... навчання, позбавлене всякого інтересу і взяте тільки силою примусу ... вбиває в учня бажання до навчання, без якого він далеко не піде».

Інтерес - потужний стимул активності, під його впливом всі психічні процеси протікають особливо інтенсивно, а діяльність стає захоплюючою і продуктивною. Його суть полягає в прагненні школяра проникнути в пізнається область більш глибоко і грунтовно, в постійному спонуканні займатися предметом свого інтересу.

З історії появи завдань на кмітливість

Тож не дивно, що завдання на кмітливість стали розвагою "для всіх часів і народів".Перший, що дійшов до нас підручник математики, точніше, його ку​ сік завдовжки 5 метрів, відомий в світі як "лондонський папірус", або "папірус Ахмеса", містить 84 супроводжувані рішенням завдання. По ньому велися заняття в школі державних переписувачів. Уже древні єгиптяни розуміли, наскільки важливу роль в процесі обу​ чення відіграє елемент цікавості, і серед включених в "папі​ рус Ахмеса "завдань було чимало таких. Так, протягом тисячоліть з одного збір​ ника цікавих завдань математики в інший кочує "завдання про се​ ми кішках "з цього папірусу. Незважаючи на існування Тринадцятитомна "Почав" Евкліда (III ст. До н. Е.), Що стали більш ніж на два тисячоліття зразком наукової строгості, і в Стародавній Греції цікавий елемент в математиці не зник і найбільш яскраво представлений в "Арифметиці" Діофанта Олександрійського (ймовірно, III ст.). В середні віки найглибший слід у вирішенні завдання на кмітливість залишили італійці Леонардо (Фібоначчі) з Пізи (XIII в.) І Нікколо Тарталья (XVI ст.).

збірники математичних розваг, Схожі на сучасні, почали з'являтися з XVII в. Серед них особливою популярністю користувалися "Приємні і цікаві завдання, що розглядаються в числах" математика і поета Гаспара Клода БАШЕЄВ сьер де Мезіріак і "Математичні та фізичні розваги" іншого французького математика і письменника Жака Озанама.

У XIX ст. французький математик, фахівець з теорії чисел Едуард Люка опублікував чотиритомний працю по цікавій математиці, що став класичним. На рубежі XIX і XX ст. великий внесок у скарбницю цікавої математики внесли видатні винахідники ігор і головоломок - талановиті самоуки американець Сем Лойд і англієць Генрі Ернест Дьюдени. цікаву математику другої половини XX в. не можна уявити без цілої серії чудових книг, що належать перу знаменитого американського математика Мартіна Гарднера. Саме його найрізноманітніші математичні есе, гармонійно поєднують наукову глибину і здатність розважати, долучили мільйони людей по всьому світу (в тому числі і мене) до точних наук і, звичайно, до цікавої математики.

У Росії багато разів перевидавалися такі збірники завдань, як "Арифметика" Л. Ф. Магницького, "В царстві кмітливості" Е. І. Ігнатьєва, "Жива математика", "Цікава арифметика", "Цікава алгебра" і "Цікава геометрія" Я. І. Перельмана і "Математична кмітливість" Б. А. Кордемский

Леонардо Фібоначчі - математик, який зробив внесок у вирішення завдань на кмітливість.

Леонардо Фібоначчі народився і жив в Італії в місті Піза в 12-13 ст. Його батько був торговцем, і тому молодий Леонардо багато подорожував. На Сході він познайомився з арабської системою цифр; згодом він проаналізував, описав і представив її європейському суспільству у своїй знаменитій книзі «Liber Abaci » (« книга Рахунки »). Нагадаємо, що в Європі в цей час застосовувалися Римські цифри, якими було дуже незручно оперувати як при складних математичних і фізичних обчисленнях, так і при роботі з і бухгалтерією.

Леонардо Фібоначчі представив Європі Арабські цифри , Якими користується практично весь західний світ донині.Перехід від Римської системи до Арабської зробив революцію в математиці та інших науках , Тісно пов'язаних із нею.

Важко уявити, якою була б світ, якби тоді, в 13 столітті, Фібоначчі Неопубліковані б свою книгу і не виклав європейцям Арабські цифри. Цікаво, що ми з вами використовуємо Арабські цифри не замислюючись, сприймаючи їх як само собою зрозуміле. Але якби не Леонардо Фібоначчі, хто знає, як би розвивався хід історії. Адже уявлення ітрактат Арабських чисел істотно змінив середньовічну математику в кращу сторону; він просунув її вперед, а разом з нею і інші науки, такі як фізику, механіку, електроніку і т.д. Зауважте, адже саме ці науки ведуть прогрес вперед. Саме тому, в чому, хід історії,розвиток Європейської цивілізації і науки в цілому зобов'язані Леонарду Фібоначчі .

Ряд чисел Фібоначчі

Другою видатною заслугою Леонардо Фібоначчі єряд чисел Фібоначчі . Вважається, що про це ряді було відомо на Сході, але саме Леонардо Фібоначчі опублікував цей ряд чисел у вищезгаданій книзі «Liber Abaci» (зробив він це для демонстрації розмноження популяції кроликів).

Надалі з'ясувалося, щоця послідовність чисел має важливе значення не тільки в математиці, економіці, і фінансах, але також в ботаніці, зоології, фізіології, медицині, мистецтві, а також філософії, естетики та багато іншого. тому цивілізації цей ряд чисел став відомий від Леонардо Фібоначчі, його так і прозвали, «Ряд Фібоначчі » або «числа Фібоначчі ».

Формула і приклад ряду чисел Фібоначчі

У послідовності Фібоначчі,кожен елемент, починаючи з третього, є сумою двох попередніх елементів , При тому, що ряд починається з чисел 0 і 1. Разом виходить: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …

Фібоначчі - легендарна особистість в математиці, економіці та фінансах ; він оприлюднив Арабські числа і представив магічний ряд чисел.

Завдання придумана італійським вченим Фібоначчі, які жили в 13-м столітті.
«Хтось придбав пару кроликів і помістив їх в обгороджений з усіх боків загін. Скільки кроликів буде через рік, якщо вважати, що кожен місяць пара дає в якості приплоду нову пару кроликів, які з другого місяця життя також починають приносити приплід? »

відповідь: 377 пар. У перший місяць кроликів виявиться вже 2 пари: 1 первісна пара, що дала приплід, і 1 народилася пара. У другій місяць кроликів буде 3 пари: 1 первісна, знову дала приплід, 1 зростаюча і 1 народилася. В третьому місяці - 5 пар: 2 пари, що дали приплід, 1 зростаюча і 2 народилися. У четвертому місяці - 8 пар: 3 пари, що дали приплід, 2 зростаючі пари, 3 народилися пари. Продовжуючи розгляд по місяцях, можна встановити зв'язок між кількостями кроликів в поточний місяць і в два попередні. Якщо позначити кількість пар через N, а через m - порядковий номер місяця, то N m \u003d N m-1 + N m-2 . За допомогою цього виразу розраховують кількість кроликів по місяцях року: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377.

Класифікація завдань на кмітливість

Завдання на зважування і переливання

У таких завданнях від вирішального потрібно за обмежену кількість зважувань локалізувати предмет, що відрізняється від інших предметів за вагою. Також в цій рубриці розглядаються завдання на переливання, в яких необхідно отримати певну кількість рідини, використовуючи ємності заданого обсягу.

знаходження зайвого

Потрібне вміння об'єднувати групи об'єктів за певними ознаками.

Текстові завдання на обчислення

Прості життєві процеси, вміння застосувати математичні знання в житті.

Завдання на знаходження логічних помилок, завдання із секретом

Розвивають цінне і дуже необхідну якість успішної людини - критичне мислення. Вчимося аналізувати умова. Іноді відповідь міститься в самій задачі.

Завдання на властивості чисел і операції з ними

Властивість парних і непарних чисел, правильна розстановка дужок, розстановка чисел в числі, що відповідає певним умовам. Подільність чисел. Операції над числами.

Кріптаріфми

Математичний ребус, в якому зашифровано приклад на виконання одного з арифметичних дій. При цьому, однакові цифри шифруються однією і тією ж буквою, а різним цифрам відповідають різні літери.

Завдання на логіку і міркування

Завдання, прямо не пов'язані з обчисленнями, але активно розвивають мислення.

Про час

Обчислити дату, використовуючи підказки, згадати закономірність роботи годин або визначити чийсь вік лише з натяків.

На послідовності чисел

У цих завданнях необхідно розгадати принцип, за яким задається певна послідовність, і продовжити її.

Завдання з сірниками

Здійснюючи маніпуляції над сірниками, необхідно домогтися необхідного результату. Велика частина цих завдань належить до «нестандартних», що вимагають навику «оцінити ситуацію з несподіваною для більшості точки зору або угледіти в умови можливість використання неочевидних даних».

ребуси

Гра, в якій зашифровані слова, фрази або цілі вислови за допомогою малюнків у поєднанні з буквами і знаками.

Шахи

Як правило, кожен ступінь курсу включає кілька занять (мінімум 2) з шахів. Основні фігури. Вчимося будувати ефективні стратегії, мислити, приймати зважені і раціональні рішення

Логічні завдання

При вирішенні логічних завдань на взаємно однозначна відповідність зручно записувати дані в таблицю, де на перетині рядка і стовпця ставимо знак "+" або знак "-".

1. П'ятеро однокласників - Ірена, Тимур, Камілла, Ельдар і Залім стали переможцями олімпіад школярів з фізики, математики, інформатики, літературі та географії. Відомо що

Переможець олімпіади з інформатики вчить Ірену і Тимура роботі на комп'ютері;

Камілла і Ельдар теж зацікавилися інформатикою;

Тимур завжди побоювався фізики;

Камілла, Тимур і переможець олімпіади з літератури займаються плаванням;

Тимур і Камілла привітали переможця олімпіади з математики;

Ірена шкодує про те, що у неї залишається мало часу на літературу.

Переможцем, який олімпіади став кожен з цих хлопців?

1 спосіб вирішення, за допомогою таблиці

2 спосіб вирішення, за допомогою графів

І Т К Е З

Ф М І Л Г

Відповідь: Ірена - переможець олімпіади з математики. Тимур - з географії.

Камілла - з фізики Ельдар - з літератури. Залім - з інформатики

2. Три дівчинки - Роза, Маргарита і Анюта представили на конкурсі кошика з вирощених ними троянд, маргариток і братків. Дівчинка, що виростила маргаритки, звернула увагу Троянди на те, що ні в однієї з дівчаток ім'я не збігається з назвою улюблених квітів. Які квіти виростила кожна з дівчаток?

Рішення: за допомогою міркувань

а) Аня вирости не братки. б) Маргарита вирости не маргаритки в) Роза вирости не троянди. Роза могла виростити або троянди, або братки. Роза вирости не троянди. Висновок: Роза виростила братки. Маргарита виростила троянди. Аня виростила маргаритки.

3. Чотири приятеля - Женя, Костя, Діма і Вадим - робили прикраси до свята. Хтось робив гірлянди з золотою папери, хтось - червоні кулі, хтось гірлянди з срібною папери, а хтось - хлопавки із золотої паперу. Костя і Діма працювали з папером одного кольору, Женя і Костя робили однакові іграшки. Хто які прикраси робив?

відповідь:

Логічні завдання на приведення у взаємно - однозначна відповідність елементів трьох множин зручно вирішувати за допомогою тривимірної таблиці

4. Маша, Ліда, Женя і Катя грають на різних інструментах - баяні, роялі, гітарі, скрипці, але кожна на одному. Вони ж володіють іноземними мовами - англійською, французькою, німецькою, іспанською, але кожна одним Хто грає на якому інструменті і яким іноземною мовою володіє?

Завдання на переправи

У завданнях на переправи потрібно вказати послідовність дій, при якій здійснюється необхідна переправа і виконані всі умови задачі.

Вовк, коза і капуста. На березі річки стоїть селянин з човном, а поруч з ним знаходяться вовк, коза і капуста. Селянин повинен переправитися сам і перевезти вовка, козу і капусту на інший берег. Однак в човен крім селянина поміщається або тільки вовк, або тільки коза, або тільки капуста. Залишати ж вовка з козою чи козу з капустою без нагляду не можна - вовк може з'їсти козу, а коза - капусту. Як повинен вести себе селянин?

Відповідь: Селянин може слідувати одному з двох алгоритмів:

2. Два солдата підійшли до річки, по якій на човні катаються двоє хлопчиків. Як солдатам переправитися на інший берег, якщо човен вміщує тільки одного солдата, або двох хлопчиків, а солдата і хлопчика вже не вміщає?

Відповідь: Нехай М1 і М2 - хлопчики, С1 і С2 - солдати. Алгоритм переправи може бути таким:

1. М1 і М2 -\u003e
2. М1<–
3. С1 -\u003e
4. М2<–
5. М1 і М2 -\u003e
6. М1<–
7. С2 -\u003e
8. М2<–

Завдання на переливання

цізавдання мають практичний характер. Рішення таких завдань розвиває логічне мислення, змушує замислюватися, підходити до вирішення будь-якої проблеми з різних сторін, вибирати з безлічі способів вирішення найбільш простий, легкий шлях. Для цього за допомогою судин відомих ємностей потрібно відміряти певну кількість рідини. Найпростіший прийом вирішення завдань цього класу полягає в переборі можливих варіантів.І потрібно вказати послідовність дій, при якій здійснюється необхідне переливання і виконані всі умови.

1. Як, маючи два відра ємністю 3 і 5 літрів, набрати з водопровідного крана 7 літрів води?

відповідь:

Всього в двох відрах 7 літрів води.

2. Зла мачуха відправила пасербицю до джерела за водою і сказала: "У наші відра входить 5 і 9 літрів води. Візьми їх і принеси рівно 3 літри води ". Як повинна діяти падчерка, щоб виконати це доручення?

відповідь:

У розглянутих про завдання на переливання було дано дві посудини і воду наливали з водопровідного крана.Є більш складні завдання не два судини, а три або більше. Воду беруть НЕ з водопровідного крана. У таких завданнях вода вже є в якомусь посудині, наприклад, в найбільшому. А маленькими ємностями ми будемо переливати воду. Виливати воду не можна. Якщо необхідно звільнити посудину, то зайву воду виливають в іншу посудину. Зазвичай більшу посудину - це сховище, звідки беруть воду і в нього зливають зайву.

Завдання казкового характеру

Рішення таких завдань оживляє математику. Бажання допомогти герою потрапив у біду стимулює розумову діяльність, в подальшому викликає бажання почитати твір. Симпатії в таких завданнях на стороні позитивного героя. Ласкаво торжествує, зла карається, негативні якості висміюються.

на одній з них ти зустрінеш свою смерть,

на інший з тобою нічого не станеться,

третя дорога приведе тебе до Василини Прекрасної.

Врахуй, що всі три написи зроблені Кощієм Безсмертним. Кинув Іван клубок на землю. Покотився він, Іван за ним. Довго чи коротко йшов Іван, але прийшов він до величезного каменю. На камені написано:

«Підеш наліво - зустрінеш свою смерть»,

«Підеш направо - визволиш з неволі Василину Прекрасну», «Підеш прямо - з тобою щось трапиться».

Рішення: Третій запис невірна - по дорозі прямо з Іваном нічого не трапиться. Другий запис теж невірна, тобто по дорозі направо Іванов не визволить Василину Прекрасну. Значить, на решті дорозі (дорога наліво) Іван визволить Василину Прекрасну.

2. Шестеро розбійників пограбували царя Дадона. Видобуток виявилася багатою - менше сотні однакових зливків. Стали розбійники ділити здобич порівну, але один злиток виявився зайвим. Розбійники побилися і один з них в бійці було вбито. Решта знову стали ділити золото і знову один шматок виявився зайвим. І знову в бійці загинув один з розбійників. І так далі: кожен раз один злиток був зайвим і в бійці гинув один з розбійників. Зрештою залишився один розбійник, який помер від ран. Скільки було злитків?

Рішення: якби спочатку було б на один злиток менше, то розподіл б відбувся. Число, яке менше 100 і ділитися на 2, 3, 4, 5, 6 - 60. Значить все злитків 60 + 1 \u003d 61.

Завдання на кмітливість

1. Дві матері, дві дочки і бабуся з онукою. Скільки всіх?

2. У квартирі було 3 кімнати. З однієї зробили дві. Скільки кімнат стало в квартирі?

3. Як розставити 8 стільців у чотирьох стін кімнати так, щоб у кожної стіни стояло по 3 стільці?

Завдання на кмітливість

Скільки годин разом тривають день і ніч?

На столі лежало яблуко. Його розділили на 4 частини. Скільки яблук лежить на столі?

Завдання на зміну побудованої фігури

Розвивається вміння в моделюванні площинних геометричних фігур. 1. Складіть з паличок таку ж фігуру, як на малюнку. Переклади 2 палички так, щоб вийшло 2 квадрат.

2. Складіть з паличок таку ж фігуру, як на малюнку. Прибери 2 палички, щоб вийшло 6 квадратів.

числові ряди

1,2,3,4,5,6…

1,4,16…

45,39,33,27…

0,3,8,15,24…

112,56,28,14…

ребуси

Замініть зірочки цифрами так, щоб виконувалися рівності у всіх рядках і кожне число останнього рядка дорівнювало сумі чисел стовпчика, під яким воно розташоване. Рішення:

* 1 х ** \u003d ** 0

11х10 \u003d 110

6* : *7 = *

68:17 = 4

** +** =20

10+10= 20

* 2 -* = *

12- 4 = 8

*** +**=1**

101 +41+142

Завдання з геометрично змістом (унікурсальние фігури)

Відома притча: хтось давав мільйон рублів кожному, хто накреслить наступну фігуру. Але при кресленні ставилося одна умова. Було потрібно, щоб фігура ця була викреслена одним безперервним розчерком, т. Е. Не віднімаючи пера або олівця від паперу і не подвоюючи жодної лінії, іншими словами, по раз проведеної лінії не можна вже було пройти вдруге.

висновок

В математиці існують різні види завдань на кмітливість:

На зважування та переливання,

Логічні завдання,

Завдання на переливання,

Завдання на переправи,

Завдання з геометричним змістом,

Ребуси, числові ряди.

Методи вирішення таких завдань полягає в логічному аналізі умови, виборі відповідних законів математики та оптимального шляху вирішення.

Немає універсального способу вирішення всіх видів завдань на кмітливість, кожна задача вирішується своїм способом.

Завдання на кмітливість допомагають навчитися самостійно мислити, розвивають логіку, інтерес до математики. З їх допомогою можна відчути зв'язок математики з проблемами реального життя.

Вирішені завдання, що стоять перед автором роботи, а саме:

Вивчити тему «Рішення задач на кмітливість», види завдань на кмітливість і методи їх вирішення;

Вирішити кілька видів завдань на кмітливість, самостійно скласти алгоритм рішення таких задач.

Список літератури

1. Т.Д. Гаврилова: «Цікава математика». Видавництво «Учитель» 2008 р

2. Є.Г. Козлова: «Казки і підказки». Видавництво «Мирос» 1995 р

3. Б. А. Кордемский: "Математична кмітливість" .Іздательство «Державне видавництво техніко-теоретичної літератури» 1958 р

4. Я. І. Перельман: «Цікава алгебра». Видавництво «Сторіччя» 1994 р

5.Р.М.Смалліан «Як же називається ця книга?». Видавництво «Дом Мещерякова»

2007р.

7. .http: // matematika.gyn

8.www.smekalka.pp

Дивись також:

Передмова до другого видання 3

Глава перша
ЗАТЕЙНИЕ ЗАВДАННЯ

розділ I
1. Спостережні піонери 9 385
2. «Кам'яна квітка» 10. 385
3. Переміщення шашок 11 385
4. У три ходи 11 386
5. Порахуйте! 12 386
6. Шлях садівника 12 386
7. Треба зметикувати 13 386
8. Не довго думаючи 13 386
9. Вниз - вгору 13 387
10. Переправа через річку (старовинна задача) 14 387
11. Вовк, коза і капуста 14 387
12. Викотити чорні кульки 15 388
13. Ремонт ланцюга 15 388
14. Виправте помилку 16 390
15. З трьох - чотири (жарт) 16 390
16. Три та два - вісім (ще жарт) 16 390
17 Три квадрата 16 390
18. Скільки деталей? 17 390
19. Спробуйте! 17 391
20. Розстановка прапорців 17 391
21. Зберегти парність 18 391
22. «Чарівний» числовий трикутник 18 391
23. Як грали в м'яч 12 дівчаток 19 392
24. Чотирма прямими 20 392
25. Відокремити кіз від капусти 20 392
26. Два потяги 21 392
27. Під час припливу (жарт) 21 393
28. Циферблат 22 393
29. Зламаний циферблат 22 393
30. Дивовижні годинник (китайська головоломка) 23. 393
31. Три в ряд 24 395
32. Десять рядів 24 395
33. Розташування монет 25 395
34. Від 1 до 19 26 395
35. Швидко, але обережно 26 396
36. Фігурний рак 27 396
37. Вартість книги 27 396
38. Неспокійна муха 27 396
39. Менше, ніж через 50 років 28 396
40. Дві жарти 28 396
41. Скільки мені років? 29 396
42. Оцініть «на погляд» 29 397
43. Швидкісне сложеніе- 29 397
44. У якій руці? (Математичний фокус) 31 397
45. Скільки їх? 31 398
46. \u200b\u200bОднаковими цифрами 31 398
47. Сто 31 398
48. Арифметичний поєдинок 32 398
49. Двадцять 33 398
50. Скільки маршрутів? 33 399
51. Змінити розташування чисел 35 400
52. Різні дії, один результат 35402
53. Дев'яносто дев'ять і сто 36 402
54. Розбірна шахівниця 36 402
55. Пошуки міни 36 402
56. Зібрати в групи по 2 38 402
57. Зібрати в групи по 3 39 402
58. Годинник зупинився 39 404
59. Чотири дії арифметики 39 404
60. Спантеличений шофер 40 404
61. Для Цимлянського гідровузла 41 404
62. хлібоздачі по-час 41 405
63. У дачному поїзді 41 405
64. Від 1 до 1 000 000 000 41 405
65. Страшний сон футбольного вболівальника 42 406

розділ II
66. Годинники 43 406
67. Сходи 43 407
68. Головоломка 43 407
69. Цікаві дроби 43 407
70. Яке число? 44 407
71. Шлях школяра 44 407
72. На стадіоні 44 407
73. вигадати чи? 44 407
74. Будильник 44 407
75. Замість дрібних часток великі 45 407
76. Брусок мила 45 408
77. Арифметичні горішки 45 408
78. Дроби-доміно 46 409
79. Мішини кошенята 48 409
80. Середня швидкість 48 409
81. Сплячий пасажир 48 409
82. Яка довжина поїзда? 48 409
83. Велосипедист 48 409
84. Змагання 49 409
85. Хто має рацію? 49 409
86. До вечері - 3 підсмажених скибочки 50 410

глава друга
скрутне становище

87. Кмітливість коваля Хечо 51 410
88. Кот і миші 53 410
89. Сірники навколо монети 54 411
90. Жереб упав на чижа і вільшанку 54 411
91. Розкласти монети 55 411
92. Пропустити пассажірскій1 55 412
93. Завдання, що виникла з капризу трьох дівчаток 56 412
94. Подальший розвиток завдання 57 413
95. Стрибаючі шашки 57 415
96. Біле і чорне 57 415
97. Ускладнення завдання 58 415
98. Картки укладаються по порядку номерів 58 415
99. Дві головоломки розташування 59 417
100. Загадкова скринька 59 417
101. Відважний «гарнізон» 60. 417
102. Лампи денного світла в кімнаті для телевізійних передач 61 419
103. Розміщення піддослідних кроликів 62 421
104. Підготовка до свята 63 422
105. Розсадити дубки по-іншому 65 423
106. Геометричні ігри 65 423
107. Чет і непарне число (головоломка) 68. 424
108. метод розташування шашок 69 424
109. Подарунок-головоломка 69 425
110. Ходом коня 70 425
111. Переміщення шашок (2 головоломки) 71 425
112. Оригінальна угруповання цілих чисел від 1 до 15 72 426
113. Вісім зірочок 73 426
114. Дві завдання на розстановку букв 73 427
115. Розкладка різнокольорових квадратів 74 429
116. Остання фішка 74 430
117. Кільце з дисків 75 431
118. Фігуристи на ковзанці штучного льоду 76 431
119. Завдання-жарт 77 432
120. Сто сорок п'ять дверей (головоломка) 77 432
121. Як в'язень вийшов на свободу? 79 432

глава третя
ГЕОМЕТРІЯ на сірниках

122. П'ять головоломок 85 433
123. Ще вісім головоломок 86 433
124. З дев'яти сірників 86 433
125. Спіраль 87 433
126. Жарт 87 433
127. Зняти два сірники 87 433
128 Фасад «будинку» 87. 433
129 Жарт 88 433
130 Трикутники 88 433
131 Скільки сірників треба прибрати? 88 433
132 Жарт 88 433
133 «Огорожа» 88. 433
134. Жарт 89 433
135. «Стріла» 89 433
136. Квадрати і ромби 89 433
137. В одній фігурі різні багатокутники 89 433
138 Планування саду 89 433
139 На рівновеликі частини 90 433
140. Паркет 91 433
141 Відношення площ зберігається 91 441
142. Знайти обрис фігури 91 441
143 Знайти доказ 92 441
144. Побудувати і довести 92 441

глава четверта
СІМ РАЗІВ приклад, ОДИН РАЗ ВІДРІЖ

145. На рівні частини 93 442
146. Сім трояндочок на торті 95 443
147. Фігури, що втратили своє обрис 95 445
148. Порадьте 96 445
149. Без втрат! 96 445
150. Коли фашисти зазіхнули на нашу землю 97 447
151. Спогади електромонтера 98 447
152. Все йде в справу 99 447
153. Головоломка 99 447
154. Розрубити підкову 99 447
155. У кожній частині - дірка 99 448
156. З «глечика» - квадрат 100 448
157. Квадрат з літери «Е» 100 448
158. Красиве перетворення 100 449
159. Відновлення килима 101449
160. Дорога нагорода 101 449
161. Виручайте бідолаху! 102 449
162. Подарунок бабусі 103 451
163. Завдання столяра 104 451
164. І у кушніра геометрія! 104 452
165. Кожному коневі, по стайні 105 453
166. Який Ще більше! 105 453
167. Перетворення багатокутника в квадрат 106 453
168. Перетворення правильного шестикутника в рівносторонній трикутник 107 453

глава п'ята
Уміння ВЕЗДЕ знайде застосування

169. Де знаходиться мета? 109 454
170. П'ять хвилин на роздуми 110 455
171. Непередбачена зустріч 110 455
172. Подорожній трикутник Ш 456
173. Спробуйте відважити 111 458
174. Передача 112 458
175. Сім трикутників 112 458
176. Полотна художника 112 458
177. Скільки важить пляшка? 113 459
178. Кубики 113 460
179. Банку з дробом 114 461
180. Куди прийшов сержант? 114 461
181. Визначити діаметр колоди 115 461
182. Несподіване утруднення 115 461
183. Розповідь учня технічного училища 116 461
184. Чи можна отримати 100 ° / о економії? 116 463
185. На пружинних вагах 117 463
186. Конструкторська кмітливість 117 463
187. Мішина невдача 117 465
188. Знайти центр окружності 119 465
189. Який ящик важче? 119 466
190. Мистецтво столяра 120 466
191. Геометрія на кулі 120 466
192. Чи потрібна велика кмітливість 121 467
193. Важкі умови 121 468
194. Збірні багатокутники 122 468
195. Цікавий прийом складання подібних фігур 125 469
196. Шарнірний механізм для побудови правильних багатокутників 127 471

глава шоста
ДОМІНО І КУБИК

А. Доміно
197. Скільки очок? 132 471
198. Два фокусу 133 471
199. Виграш партії забезпечений 134 471
200. Рамка 135 472
201. Рамка в рамці 136 472
202. «Віконця» 136 473
203. Чарівні квадрати з кісток доміно 137 473
204. Чарівний квадрат з отвором 141 473
205. Множення в доміно 141 473
206. Відгадати задуману кістка доміно 142 473

Б. Кубик
207. Арифметичний фокус з гральними кубиками 144 473
208. Відгадування суми очок на прихованих гранях 145 477
209. В якому порядку розташовані кубики? 145 478

глава сьома
властивості дев'ятку

210. Яка цифра закреслена? 149 478
211. Приховане властивість 152 479
212. Ще неськолко забавних способів відшукання відсутнього число 152 480
213. По одній цифрі результату визначити інші три 154 480
214. Відгадування різниці 154 481
215. Визначення віку 154 481
216. У чому секрет? 154 482

глава восьма
З алгебри та БЕЗ НЕЇ

217. Взаємна допомога 159 482
218. Бездельник і чорт 160 483
219. Тямущий малюк 161 483
220. Мисливці 161 483
221. Зустрічні потяги 162 484
222. Віра друкує рукопис 162 484
223. Історія з грибами 163 484
224. Хто повернеться раніше? 164 484
225. Плавець і капелюх 164 486
226. Два теплохода 165 486
227. Перевірте свою кмітливість! 165 487
228. Конфуз запобігли 166 488
229. У скільки разів більше? 166 488
230. Теплохід і гідролітак 167 488
231. велофігуристи на арені 167 489
232. Швидкість роботи токаря Бикова 168 489
233. Поїздка Джека Лондона 168 489
234. Через невдалі аналогій можливі ошібкі169 490
235. Юридичний казус 170 491
236. Парами і трійками 171 491
237. Хто їхав на коні? 171 491
238. Два мотоцикліста 171 492
239. В якому літаку Володін тато? 172 492
240. Раздробить на частини 173 493
241. Дві свічки 173 493
242. Дивовижна проникливість 173 493
243. «Вірне час» 174 493
244. Годинник 174 494
245. О котрій годині? 174 495
246. О котрій годині почалося й скінчилося нараду? 175 496
247. Сержант тренує розвідників 175 497
248. По двох повідомленнями 176 498
249. Скільки побудували нових станцій? 176 498
250. Вибрати чотири слова 177 498
251. Чи припустимо таке зважування? 177 499
252. Слон і комар 178 500
253. п'ятизначний число 179 500
254. Років до ста рости вам без старості 179 500
255. Завдання Люка 181 501
256. Своєрідна прогулянка, .181 502
257. Одне властивість простих дробів 182 504

глава дев'ята
МАТЕМАТИКА МАЙЖЕ БЕЗ ОБЧИСЛЕНЬ

У темній кімнаті
яблука
Прогноз погоди (жарт)
день лісу
У кого яке ім'я?
Змагання в влучності
Купівля
Пасажири одного купе
Фінал турніру шахістів Радянської Армії
недільник
Як прізвище машиніста?
кримінальна історія
збирачі трав
приховане розподіл
Зашифровані дії (числові ребуси)
арифметична мозаїка
Мотоцикліст і верхової
Пішки і на автомобілі
«Від противного»
Виявити фальшиву монету
логічна нічия
три мудреця
П'ять питань для школярів
Міркування замість рівняння
За здоровим глуздом
Так чи ні?

глава десята
МАТЕМАТИЧНІ ІГРИ І ФОКУСИ

А. Ігри
284. Одинадцять предметів 201
285. Взяти сірники останнім 202
286. Перемагає чет 202
287. Цзяньшіцзи 202
288. Як виграти? 204
289. Викласти квадрат 205
290. Хто перший скаже «сто»? 206
291. Гра в квадрати 206
292. ОУА 209
293. «Матецатіко» (італійська гра) 212
294. Гра в чарівні квадрати 213
295. Перетин чисел 215

Б. Фокуси
296. Вгадування задуманого числа (7 фокусів) 219
297. Вгадати результат обчислень, нічого не питаючи 224
298. Хто скільки взяв, я дізнався 226
299. Одна, дві, три спроби і я вгадав 226 537
300. Хто взяв гумку, а хто олівець? 227 537
301. Вгадування трьох задуманих доданків і суми 227 537
302. Вгадати кілька задуманих чисел 228 538
303. Скільки вам років? 229 538
304. Вгадати вік 229 538
305. Геометричний фокус (загадкове зникнення) 230 538

глава одинадцята
ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ

306. Число на гробниці 232 539
307. Подарунки до Нового року 233 540
308. Чи може бути таке число? 233 540
309. Кошик яєць (із старовинного французького задачника) 233 540
310. Тризначне число 234 540
311. Чотири теплохода 234 540
312. Помилка касира 234 540
313. Числовий ребус 234 541
314. Ознака подільності на 11 235 541
315. Об'єднаний ознака подільності на 7, 11 і 13 237 541
316. Спрощення ознаки подільності на 8 239 541
317. Вражаюча пам'ять 240 542
318. Об'єднаний ознака подільності на 3, 7 і 19. 242 543
319. Подільність двочлена 242 543
320. Старе і нове про подільність на 7 247 544
321. Поширення ознаки на інші числа 251 -
322. Узагальнений ознака подільності 252 -
323. Курйоз подільності 254 -

глава дванадцята
КРОС-СУМИ І магічних квадратів

А. Крос-суми
324. Цікаві угруповання 256 545
325. «Зірочка» 257 545
326. «Кристал» 257 545
327. Прикраса для вітрини 258 545
328. Кому раніше вдасться? 258 545
329. «Планетарій» 259 545
330. «Орнамент» 259 545

Б. Чарівні квадрати
331. Прибульці з Китаю та Індії 260 548
332. Як самому скласти магічний квадрат? 264 548
333. На водступах до загальних методів 266 549
334. Іспит на кмітливість 271 549
335. «Чарівна» гра в «15» 271 551
336. Нетрадиційний чарівний квадрат 272 553
337. Що в центральній клітці? 273 553
338. «Чарівні» твори 275 553
339. «Шкатулка» арифметичних курйозів 278 -
340. «За доповнення» 280 -
341. «Правильні» чарівні квадрати четвертого порядку 283 -
342. Підбір чисел для чарівного квадрата будь-якого порядку 287 -

Розділ тринадцятий курйозні та СЕРЙОЗНЕ до числа
343. Десять цифр (спостереження) 298 554
344. Ще кілька цікавих спостережень 300 555
345. Два цікавих досвіду 302 555
346. Числова карусель 306 -
347. Диск миттєвого множення 309 -
348 Розумова гімнастика 310 -
349. Візерунки цифр 312 557
350 Одна за всіх і всі за одну 316 558
351. Числові знахідки 319 559
352. Спостерігаючи ряд натуральних чисел 326 560
353. Настирлива різниця 339 -
354. Симетрична сума (нераскушенний горішок) 340 -

глава чотирнадцята
ЧИСЛА ДРЕВНІ, АЛЕ ВІЧНО ЮНІ

А. Початкові числа
355. Числа прості і складові 341 -
356. «Ератосфеново решето» 342 -
357. Нове «решето» для простих чисел 344 563
358. Півсотні перших простих чисел 345 -
359. Ще один спосіб отримання простих чисел. 345 -
360. Скільки простих чисел? 347

Б. Числа Фібоначчі
361. Публічне випробування 347 -
362. Ряд Фібоначчі 351 -
363. Парадокс 352 564
364. Властивості чисел ряду Фібоначчі 355 -

В. Фігурні числа
365. Властивості фігурних чисел 360 -
366. Піфагорови числа 369 -

Розділ п'ятнадцятий ГЕОМЕТРИЧНА кмітливість у ПРАЦЮ
367. Геометрія сівби 372 -
368. Раціоналізація в укладанні Цеглини для перевезення 375 -
369. Робітники-геометри 377

Розпізнані два розділи:

ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО ВИДАННЯ
У праці, в навчанні, в грі, у будь-якої творчої діяльності потрібні людині кмітливість, винахідливість, здогад, вміння міркувати - все те, що наш народ влучно визначає одним словом «кмітливість». Кмітливість можна виховати і розвинути систематичними і поступовими вправами, зокрема рішенням математичних задач як шкільного курсу, так і завдань, що виникають з практики, пов'язаних зі спостереженнями оточуючого нас світу речей і подій.
«Математика, - сказав М. І. Калінін, звертаючись до учнів середньої школи, - дисциплінує розум, привчає до логічного мислення. Недарма кажуть, що математика - це гімнастика розуму ».
Кожна сім'я, в якій батьки стурбовані організацією розумового розвитку дітей і підлітків відчуває потребу в підібраному матеріалі для заповнення дозвілля корисними, розумними і ненудними математичними вправами.
Ось для такого роду позапрограмних занять, бесід та розваг у вільний вечір, в сімейному колі і з друзями, або в школі на позакласних зустрічах і призначена «М атематичні кмітливість» - збірник математичних мініатюр: різноманітних завдань, математичних ігор, жартів і фокусів, які потребують роботи розуму, розвиваючих тямущість і необхідну логічність в міркуваннях.
У дореволюційний час були широко відомі збірники Е. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості». Тепер вони застаріли для нашого читача і тому не перевидаються. Все ж і в цих збірниках є завдання, ще не втратили педагогічної та освітньої цінності. Одні з них увійшли в «Математичну кмітливість» без зміни, інші зі зміненим або зовсім новим змістом.
Для «Математичної кмітливості» я також відбирав і в разі потреби обробляв завдання з числа тих, які розсипані по сторінках великої вітчизняної та зарубіжної популярної літератури, прагнучи, однак, не повторювати завдань, включених в поширені книги Я. І. Перельмана по цікавій математиці.
Такого роду математичні завдання «малої форми» виникають іноді як побічний продукт серйозних досліджень вченого; багато завдань придумується любителями, а також педагогами в якості спеціальних вправ для «розумової гімнастики». Вони, подібно до загадок і прислів'їв, зазвичай не зберігають авторства і стають надбанням суспільства.
«Математична кмітливість» призначена для читачів з найрізноманітнішою ступенем математичної підготовки:
для підлітка 10 - 11 років, що робить перші спроби самостійних роздумів;
для школяра старших класів, захопленого математикою,
і для дорослого, який бажає випробувати і повправлятися свою здогадку.
Систематизація завдань по главам, звичайно, дуже умовна; в кожному розділі є і легкі і важкі завдання.
У книзі п'ятнадцять глав.
Перша глава складається з різнотипних початкових вправ «затейного» характеру, що спираються на здогад або безпосередні фізичні дії (експеримент), іноді на нескладні розрахунки в межах арифметики цілих чисел (перший розділ глави) і дробових чисел (другий розділ). Кілька порушуючи класифікаційну стрункість книги, я виділив в першу главу частина нескладних завдань, тематично належать наступним главам. Це зроблено в інтересах тих читачів, яким ще важко самостійно відрізнити посильну завдання від непосильної. Вирішуючи поспіль різнотипні завдання першого розділу, вони зможуть спробувати свої сили, а потім виник інтерес до певної теми перенести на відповідні завдання наступних глав.
Для вирішення завдань другого розділу власна математична кмітливість і наполегливість повинні подолати всілякі перешкоди і підказати вихід із складних ситуацій.
Третя глава - «Геометрія на сірниках» - містить ряд геометричних задач - головоломок.
Глава «Сім раз примір, один раз відріж» складається із завдань на розрізання фігур.
Зміст завдань глави «Уміння всюди знайде застосування» пов'язано з практичною діяльністю, з технікою.
У розділі, названої «Математика майже без обчислень», містяться завдання, для вирішення яких потрібно побудувати ланцюжок майстерних і тонких міркувань.
Ігри та фокуси зібрані в окрему главу, а також розміщені по всій книзі. Вони містять у собі математичну основу і безсумнівно входять в «область кмітливості».
Три глави: «Крос-суми і чарівні квадрати», «Курйозна і серйозне в числах» і «Числа стародавні, але вічно юні», присвячені деяким цікавим спостереженням над числовими співвідношеннями, що нагромадилися в математиці від глибокої давнини до нашого часу.
Остання глава - два невеликих нарису про трудову кмітливості людей нашої Батьківщини, трудівників полів і заводів.
У різних місцях книги пропонуються читачеві невеликі теми для самостійних пошуків.
В кінці книги вміщено вирішення завдань, але не слід поспішати в них заглядати.
Будь-яка задача на «кмітливість» таїть в собі деяку «родзинку» і являє собою в більшості випадків міцний горішок, розкусити який не так-то легко, але тим більш заманливо.
Якщо рішення задачі вам не вдається відразу, можна тимчасово пропустити її і перейти до наступної або до завдань іншого рездела, інший глави. Пізніше повернетеся до пропущеної задачі.
«Математична кмітливість» - книга не для легкого читання «в один присід», а для роботи на протязі, може бути, ряду років, книга для регулярної розумової гімнастики невеликими порціями, супутник читача в його поступовому математичному розвитку.
Весь матеріал книги підпорядкований виховної та освітньої мети: спонукати читача до самостійного творчого мислення, до подальшого вдосконалення своїх математичних знань.
Друге видання «Математичної кмітливості» не є стереотипним повторенням першого. Внесено потребовавшиеся зміни в текст і в рішення деяких завдань; окремі завдання замінені новими - більш змістовними; заново виконано оформлення книги.
Великі зусилля, спрямовані до поліпшення книги, доклала редактор видавництва М. М. Гаряча.
Самостійно вирішуючи завдання, читачі в окремих випадках знаходили додаткові або більш прості рішення і люб'язно повідомляли мені свої результати. Автори найцікавіших рішень згадані в відповідних місцях книги.
Сподіваюся отримати від читачів «Кмітливості» відгуки та побажання щодо подальшого поліпшення книги, а також власні оригінальні завдання і математичні матеріали народної творчості.
Адреса: Москва, Б-64, вул. Чернишевського, д. 31, кв. 53, Борису Анастасійович Кордемский.
Б. Кордемский.

ЗАВДАННЯ

«Книга - книгою, А мізками довгий»
В. Маяковський.

ГЛАВА ПЕРША. ЗАТЕЙНИЕ ЗАВДАННЯ

РОЗДІЛ I
Перевірте і повправлятися свою кмітливість спочатку на таких завданнях, для вирішення яких потрібна лише цілеспрямована наполегливість, терпіння, кмітливість і вміння складати, віднімати, множити і ділити цілі числа.

1. Спостережні піонери
Школярі - хлопчик і дівчинка - тільки що зробили метеорологічні вимірювання.
Тепер вони відпочивають на пагорбі і дивляться на що проходить повз них товарний поїзд.
Паровоз на підйомі відчайдушно димить і пихкає. Вздовж залізничної дороги рівно, без поривів дме вітер.
- Яку швидкість вітру показали наші виміри? - запитав хлопчик.
- 7 метрів в секунду.
- Сьогодні мені цього достатньо, щоб визначити, з якою швидкістю йде поїзд.
- Ну, так, - засумнівалася дівчинка.
- А ти придивися уважніше до руху поїзда.
Дівчинка трохи подумала і теж зрозуміла, в чому тут справа.
А побачили вони в точності те, що намалював наш художник (рис. 1). З якою ж швидкістю йшов поїзд?
Мал. 1. З якою швидкістю йде поїзд?

2. «Кам'яна квітка»
Пам'ятайте талановитого «умільця» майстра Данилу з казки П. Бажова «Кам'яна квітка»?
Розповідають на Уралі, що Данила, будучи ще учнем, виточив два таких квітки (рис. 2), листя, стебла і пелюстки яких рознімати, а з утворених частин квіток можна було скласти пластинку в формі кола.
Спробуйте! Перемалюйте Данілін квіточки на папір або картон, виріжте пелюстки, стебла і листя і складіть коло.

3. Переміщення шашок
Покладіть на стіл 6 шашок в ряд поперемінно - чорну, білу, еше чорну, еше білу і т. Д. (Рис. 3).
Мал. 3. Білі шашки повинні виявитися зліва, за ними - чорні.
Праворуч або ліворуч залиште вільне місце, достатнє для чотирьох шашок.
Потрібно перемістити шашки так, щоб зліва виявилися всі білі, а слідом за ними всі чорні. При цьому переміщати на вільне місце потрібно відразу дві поруч лежачі шашки, не змінюючи порядку, в якому вони лежать. Для вирішення завдання досить зробити три переміщення (три ходу) *).
Якщо у вас немає шашок, скористайтеся монетами або наріжте шматочки паперу, картону.
*) Тема цього завдання отримує подальший розвиток в задачах 96 і 97 (стор. 57 і 58).

4. У три ходи
Покладіть на стіл 3 купки сірників. В одну купку покладіть 11 сірників, а в іншу - 7, в третю - 6. Перекладаючи сірники з будь-якої купки в будь-яку іншу, потрібно зрівняти всі три купки, щоб в кожній було по 8 сірників. Це можливо, тому що загальне число сірників - 24 - ділиться на 3 без залишку; при цьому потрібно дотримуватися таке правило: до будь-купці дозволяється додавати рівно стільки сірників, скільки в ній є. Наприклад, якщо в купці 6 сірників, то і додати до неї можна тільки 6, якщо в купці 4 сірники, то і додати до неї можна тільки 4.
Завдання вирішується в 3 ходу.

5. Порахуйте!
Перевірте свою геометричну спостережливість: порахуйте, скільки трикутників у фігурі, зображеної на рис. 4.

6. Шлях садівника
На рис. 5 дан план невеликого яблуневого саду (точки - яблуні). Садівник обробив всі яблуні поспіль.
Мал. 5. План яблуневого саду.
Почав він з клітки, зазначеної зірочкою, і обійшов одну за одною всі клітини, як зайняті яблунями, так і
вільні, ні разу при цьому не повертаючись на пройдену клітку. За діагоналях він не ходив і на заштрихованих клітинах не був, бо як там містилися різні будови.
Закінчивши обхід, садівник опинився на тій же клітині, з якої почав свій шлях.
Накресліть в своєму зошиті шлях садівника.

7. Треба зметикувати
У кошику лежить 5 яблук. Як розділити ці яблука між п'ятьма дівчатками, щоб кожна дівчинка отримала по одному яблуку і щоб одне яблуко залишилося в кошику?

8. Не довго думаючи
Скажіть, скільки в кімнаті кішок, якщо в кожному з чотирьох кутів кімнати сидить по одній кішці, проти кожної кішки сидить по 3 кішки і на хвості у кожної кішки сидить по кішці?

9. Вниз - вгору
Хлопчик щільно притиснув грань синього олівця до межі жовтого олівця. Один сантиметр (в довжину) притиснутою межі синього олівця, рахуючи від нижнього кінця, забруднений фарбою. Жовтий олівець хлопчик тримає нерухомо, а синій, продовжуючи притискати до жовтого, опускає на 1 см, потім повертає в попереднє положення, знову опускає на 1 см і знову повертає в попереднє положення; 10 раз він так опускає і 10 разів піднімає синій олівець (20 рухів).
Якщо допустити, що за цей час фарба не висихає і не виснажується, то на скільки сантиметрів в довжину виявиться забрудненим жовтий олівець після двадцятого руху?
Примітка. Це завдання придумав математик Леонід Михайлович Рибаков по дорозі до дому після вдалого полювання на качок. Що для нього послужило приводом до твору завдання, ви прочитаєте на стор. 387, після того як вирішите задачу.

10. Переправа через річку (старовинна завдання)
Невеликий військовий загін підійшов до річки, через яку необхідно було переправитися. Міст зламаний, а річка глибока. Як бути? Раптом офіцер зауважує біля берега двох хлопчиків, що бавляться в човні. Але човен така мала, що на ній може переправитися тільки один солдат або тільки двоє хлопчиків - не більше! Однак все солдати переправилися через річку саме на цьому човні. Яким чином?
Вирішуйте цю задачу «в умі» або практично, - використовуючи шашки, сірники або що-небудь в цьому роді і пересуваючи їх по столу через уявну річку.

11. Вовк, коза і капуста
Це - теж старовинна завдання; зустрічається в творах VIII століття. Вона має казкове зміст.
Мал. 6. Не можна було залишити без людини вовка і козу ...
Один чоловік мав перевезти в човні через річку вовка, козу, і капусту. У човні міг поміститися лише одна людина, а з ним або вовк, або коза, або капуста. Але якщо залишити вовка з козою без людини, то вовк з'їсть козу, якщо залишити козу з капустою, то коза з'їсть капусту, а в присутності людини «ніхто нікого не їв». Людина все-таки перевіз свій вантаж через річку.
Як він це зробив?
У вузькому і дуже довгому жолобі знаходяться 8 кульок: чотири чорних зліва і чотири білих трохи більшого діаметра справа (рис. 7). У середній частині жолоби в стінці є невелика ніша, в якій може поміститися тільки один кулька (будь-який). Два кульки можуть розташуватися поруч поперек жолоба тільки в тому місці, де знаходиться ніша. Лівий кінець жолоба закритий, а в правому кінці є отвір, через яке може пройти будь-який чорний кульку, але не білий. Як викотити з жолоба все чорні кульки? Виймати кульки з жолоба не дозволяється.

13. Ремонт ланцюга
Знаєте, над чим задумався молодий майстер (рис. 8)? Перед ним 5 ланок ланцюга, які треба з'єднати в один ланцюг, не використовуючи додаткових кілець. Якщо, наприклад, розкувати кільце 3 (одна операція) і зачепитися їм за кільце 4 (ще одна операція), потім розкувати кільце 6 і зачепитися за кільце 7 і т. Д., То все вийде вісім операцій, а майстер прагне скувати ланцюг при допомоги тільки шести операцій. Йому це вдалося. Як він діяв?

14. Виправте помилку
Візьміть 12 сірників і викладете з них «рівність», показане на рис. 9.
Мал. 9. Виправте помилку, переклавши лише один сірник.
Рівність, як бачите, невірне, оскільки виходить, що 6 - 4 \u003d 9.
Перекладіть один сірник так, щоб вийшло правильне рівність.

15. З трьох - чотири (жарт)
На столі лежать 3 сірники.
Чи не додаючи ні одного сірника, зробіть з трьох - чотири. Ламати сірники не можна.

16. Три та два - вісім (ще жарт)
Ось ще аналогічна жарт. Ви можете її запропонувати своєму товаришеві.
Покладіть на стіл 3 сірники і запропонуйте товаришеві додати до них ще 2 так, щоб вийшло вісім. Зрозуміло, ламати сірники не можна.

17. Три квадрата
З 8 паличок (наприклад, сірників), чотири з яких вдвічі коротше інших чотирьох, потрібно скласти 3 рівних квадрата.

18. У токарному цеху заводу виточуються деталі з свинцевих заготовок. З однієї заготовки - деталь. Стружки, отримані при виробленні шести деталей, можна: ереплавіть і приготувати ще одну заготовку. Скільки деталей можна зробити таким чином з 36 свинцевих заготовок?

19. Спробуйте!
У квадратному залі для танців поставити уздовж стін 10 крісел так, щоб у кожної стіни стояло крісел порівну.

20. Розстановка прапорців
Невелика міжколгоспна гідроелектростанція побудована комсомольцями. До дня її пуску піонери прикрашають електростанцію зовні з усіх чотирьох сторін гірляндами, лампочками і прапорцями. Прапорців було небагато, всього 12.
Піонери спочатку розставили їх по 4 з кожного боку, як показано на схемі (рис. 10], потім зрозуміли, що ці ж 12 прапорців вони можуть розставити по 5 і навіть по 6 з кожного боку. Другий проект їм сподобався більше, і вони вирішили розставити по 5 прапорців.
Покажіть на схемі, як піонери розставили 12 прапорців по 5 з кожної з чотирьох сторін і як вони могли б їх розставити по 6 прапорців.

21. Зберегти парність
Візьміть 16 якихось предметів (папірців, монет, слив або шашок) і розташуйте їх по 4 в ряд (рис. 11). Тепер приберіть 6 штук, але так, щоб залишилося в кожному горизонтальному і в кожному вертикальному рядах по парним числом предметів. Прибираючи різні 6 штук, можна отримати різні рішення.

22. «Чарівний» числовий трикутник
У вершинах трикутника я помістив числа 1, 2 і 3, а ви розмістите числа 4, 5, 6, 7, 8, 9 по сторонам трикутника так, щоб сума всіх чисел вздовж кожної сторони трикутника дорівнювала 17. Це неважко, так як я підказав , які числа слід помістити в вершинах трикутника. 2
Значно довше доведеться вам повозитися, якщо я заздалегідь не скажу, які числа слід помістити в вершинах трикутника, і запропоную знову розмістити числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
кожне по одному разу, уздовж сторін і в вершинах трикутника так, щоб сума чисел на кожній стороні трикутника дорівнювала 20.
Коли отримаєте шукане розташування чисел, пошукайте ще і ще нові розташування. Умови завдання можуть виконуватися при найрізноманітніших розташуваннях чисел.

23. Як грали в м'яч 12 дівчаток
Дванадцять дівчат стали в коло і почали грати в м'яч. Кожна дівчинка кидала м'яч своєї сусідки зліва. Коли м'яч оминав весь круг, його перекидали в протилежному напрямку. Через деякий час одна дівчинка сказала:
- Будемо краще кидати м'яч через одну людину.
- Але так як нас дванадцять, то половина дівчаток не братиме участі в грі, - жваво заперечила Наташа.
- Тоді будемо кидати м'яч через двох! (Кожна третя ловить м'яч.)
- Який Ще гірше: грати будуть тільки четверо ... Якщо хочете, щоб всі дівчатка грали, треба кидати м'яч через чотирьох (п'ята ловить). Інший комбінації немає.
- А якщо кидати м'яч через шість чоловік?
- Це буде та ж сама комбінація, тільки м'яч піде в протилежному напрямку.
- А якщо грати через десять (кожна одинадцята ловить м'яч)? - допитувалися дівчинки.
- У такий спосіб ми вже грали ...
Дівчата стали малювати схеми всіх запропонованих способів гри і дуже скоро переконалися в тому, що Наташа була права. Тільки одна схема гри (крім початкової) охоплювала всіх учасниць без винятку (рис. 13, а).
Ось якби грали дівчаток було тринадцять, м'яч можна було б кидати і через одну (рис. 13, б), і черее-двох (рис. 13, в), і через три (рис. 13, г), і через чотирьох (рис. 13, д), і всякий раз гра охоплювала б усіх учасниць. З'ясуйте, чи можна при тринадцяти грають кидати м'яч через п'ять чоловік?
А чи можна кидати м'яч через шість чоловік при тринадцяти грають? Подумайте і для наочності намалюйте відповідні схеми.

24. Чотирма прямими
Візьміть аркуш паперу і нанесіть ца Рис. 14. Ньому дев'ять точок так, щоб вони розташувалися в формі квадрата, як показано на рис. 14. перекреслимо тепер всі крапки чотирма прямими лініями, не відриваючи олівця від паперу.

25. Відокремити кіз від капусти
{!LANG-6ad0872b6a31cf380272d55c2edf154f!}
{!LANG-f94abc6da96241424ce12c05bfd6c7a9!}

{!LANG-2a0c18e62c58224e9369efc7ca8dff60!}
{!LANG-88e37ed120fd6db24fa01ea9fd380fe6!}
{!LANG-bac9b3916af44a7985795a0e85b360db!}

{!LANG-65790536e0685f63ce9675ffdb1e4ece!}
{!LANG-7991831aa903c56b50167682506438d0!}
{!LANG-503127021583ce5186bba492bba79bfb!}

{!LANG-a4420451846e38e83bba1bd0b6da5aab!}
{!LANG-7f9994fe635159bf04a62ae4c95577a3!}
{!LANG-1e7498d60db45809875c9de1f3a1e33b!}

{!LANG-b37957a7fe0e19b0e61b15da2455615a!}
{!LANG-bfd9b11ef6b343700a5bab9241828d7b!}
{!LANG-060e5d768e6895375f565c6c44b5c91a!}
{!LANG-9e67b280dac5403c60ff4dd79d5ceac6!}

{!LANG-8678c3d52b00fd4fc031b6f2d41d6546!}
{!LANG-4f36ccfdfe244a529c126e8573c3bfb5!}
{!LANG-0e804fcc4e3385bc3dfeae539e8dbe0d!}
{!LANG-b5de2b2fb4baf3962601186ed6149af7!}
{!LANG-0cadfd549cb1bc7a4f3c5a50e5a7c663!}
{!LANG-6fe9fd7d038d00eddefcbf3bda5a3ff2!}
{!LANG-df7d17731be6c439084d67bae1676a82!}
{!LANG-1f687524a9257276c3d56e59a31a43b8!}
{!LANG-67f4a795531db2d9ed72f61d21d52d3f!}
{!LANG-9ee69f0013868e4c3306ee1a8d2b06e2!}
{!LANG-0eceb9688487ff3f3b7acaa5499fce0d!}
{!LANG-9b4f03556e5183dcc3a81a8d7647166c!}
{!LANG-258e952550f295f8db11601827076aed!}
{!LANG-ddd487b8c1a8b0a4f22a4d0a8e0fd621!}
{!LANG-27f6c20d2208748c75091c1e946806a5!}

{!LANG-c08eefa81523fbb212313c23dfe9ad6b!}
{!LANG-f7ec3a3d2f82d0e7bf75f77edfc6a9f2!}
{!LANG-a2ec89af60dfeb5c82ad612a9a299683!}
{!LANG-0fd8cca3031da2590f59d9f4e6bcc093!}
{!LANG-e855a3b6f02aca029398f94e41c90eba!}

{!LANG-a5bd5f4945377a2f42c2b5dcaef590d2!}
{!LANG-eb4b990080410c489fb714cb2c9b6a99!}
{!LANG-67f366574c4a50bf12f3fce8c59cc941!}

{!LANG-14eeeed2eae6983efbb75b1994a470a1!}
{!LANG-9947a6cef01b97971ed952317f004b91!}
{!LANG-5a06d82b1317451b1540199b2cceb4fe!}
{!LANG-e75c7640997423ddc8105da17a6d2ee9!}
{!LANG-ac26c0726707da2e6a8f6f872930b534!}
{!LANG-89e40f96a30bf4b5ae6b59f45aa154fe!}
{!LANG-d2943e5933bfa369ab1f5f5fbfc130de!}
{!LANG-878257d99c84625a61313699ad78022c!}

{!LANG-72d6403d7683bba6e489a82c2b9a3d2d!}
{!LANG-4e0f5dd33ed76fac2c4dc98f4861f36c!}

{!LANG-8710b9ebeb4cf9e4e6a4da3cff40501e!}
{!LANG-724d9b51336f506e815d650cd72cfb4b!}

{!LANG-05d5ab97d62e3e6af6dc2d1a98a1a4e4!}
{!LANG-2b674c2ee7fd31e5db7203827b9a6346!}
{!LANG-785fc704b58fe6e0534454a42b453522!}
{!LANG-baada449ebba657f76f54dbcd83497a7!}
{!LANG-caa800b7a762fb75c4caaa181ad6671c!}
{!LANG-4cf11c09976fbb05fa5b9bc9cc8027f4!}

{!LANG-689298ccd125332e0d9f21ecd9927fa6!}
{!LANG-d11bc11d9055d88a10fa400f70bba896!}
{!LANG-d8d0e2b64c4c8e1251b117c16875d7f9!}
{!LANG-35bc45de2365f321f826cc25053d98a3!}
{!LANG-a67b47a03610ba8c234cd88591532ca3!}

{!LANG-d2eaafb134193065c05cf7db60f173eb!}
{!LANG-9634df7f75d8c71784611e3fb56834e5!}
{!LANG-bcb4b4aea0ff016d8f623d12758cf68c!}

{!LANG-9399aa742132e2e5f0307a487211f71a!}
{!LANG-ee56c27f9351211ff192caf6910cc0e2!}

{!LANG-0daba7803c0c67779a4ce2dc90cb2f8b!}
{!LANG-85133c07c6ed4f69f30d347e3b7be5e5!}
{!LANG-1865086dc0a93527afa4fb7cd4535c14!}
{!LANG-019f4b50b451650e8dc01e23ca51dbaa!}
{!LANG-b8c7602f6bc7cbb3f5295af228367d64!}
{!LANG-39d2025efa976a512f421f8eb8d90500!}

{!LANG-9f1c198743bb390d1fe5ae0f59ec22ff!}
{!LANG-64b67cc3d65996f7f746df76ec0aff23!}

{!LANG-2c483c4695e8312cf608d5a7f029a1a1!}
{!LANG-6c49e1c82e366c37649a73059435c9f1!}
{!LANG-96c335f4847daf9b0b53151356af4041!}
{!LANG-82488aceba2fda3604ed8a73128c0324!}
{!LANG-ad2f86a89a3ed5395157f222db2f6783!}

{!LANG-4e37e2729e52f046f70f9843ff543855!}
{!LANG-470bcd931c783481bd14c4a656b125b1!}
{!LANG-4a5e593ff60d6477930c9d8c5daa9828!}

{!LANG-57717ed3d1308bbb59557b4f2ce517d1!}
{!LANG-d58159ee340fa738286ceeac0821bd89!}

{!LANG-2ea26e6960dbda37674885d53b4b4504!}
{!LANG-b98351043723d6521e886ff205e717a0!}
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
{!LANG-27314d0cb6296173c33d39cf2e861ae5!}
{!LANG-6b1167150dd52c59e0862203ebf9e39f!}
{!LANG-938a2396924855f8178981be785e6f86!}

{!LANG-e0f21c33c19ab378c12421934a4e5c7a!}
{!LANG-746f913f9dee9bd41dc34860784fc52a!}
{!LANG-b7e21496adffb4b7cd037b64a0e7642f!}
{!LANG-d68ada5f6776d858d95c09a0f893ba1a!}

{!LANG-815a8a04a85a8cf30c3df1d484b5d85e!}
{!LANG-e8e82916b3fb10b48ebf4e1c1bf51748!}
7621
3057
2794
4518
{!LANG-88722c78d60edbd9469fc9c12a180d5c!}
5481
7205
6942
2378
{!LANG-2cf83d6a50d6d597bbad7fee407d78c1!}
{!LANG-baa8c5b32e899465f83ac7b874be0cfe!}
{!LANG-53a5a9b79728f9abc8bb2bfb077ef205!}
{!LANG-5a27bd73b3d3a252f8e1a72dddcf33a4!}
{!LANG-20ca928ea2ee39cf597dce0b9541362b!}

{!LANG-44fe42bad0e11a2056ae9bfc29cc29c6!}
{!LANG-a3d5f82a41375e662cc1cd9759f13e00!}
72 603 294
51 273 081
{!LANG-af69f71b55d3647f2b6feb8a5e22c081!}
{!LANG-ee1ba120eb3b8abe2bedce3b7a946c45!}

{!LANG-6fe43364962a58e232d6a4f0255fa6b8!}
{!LANG-75406931b3156414e38e113ba2e51f3b!}
{!LANG-f78f245c0494ab0d2de0ae2fb9689aba!}
{!LANG-6f7da18df7b1bcf09568114e67b32a8b!}
{!LANG-3055e152ce06375bda2af7ce3f163dfd!}

{!LANG-1053201c8098744b7b8f0e3830a31ec3!}
{!LANG-ca9f574a0b68e1d6577ca9017d1ec96d!}
{!LANG-f0f2e0c83c5d69d2ca11948ab18f63cb!}

{!LANG-0b62eefa28ec1e4251e17da4f00fc7f8!}
{!LANG-c40ddb2d106c3e969d4c80e7a60e62d6!}

{!LANG-742d2ee4f661b9a324ac4f33f9d038a2!}
{!LANG-c760b9e068399843d0d46460ca253886!}

{!LANG-3a917259e9cbd14d19b368b804eabbd0!}
{!LANG-7fb9dccf4c01f37cbaeed24f4715af63!}
{!LANG-956a56814c28c7341fe7baef049446e4!}

{!LANG-1d03556ea90f49bf64d0b7af6ad5d52b!}
{!LANG-a1901935b91eb2e84ee793fe1445a303!}
1 + 1+3 + 5=10,
{!LANG-b2101bcc98c80c61c511af63b31080df!}
1 + 1 + 1+7 = 10.
{!LANG-d08270c90b1b7d54a3cb2498cf1ef08f!}
1 + 3 + 3 + 3= 10.
{!LANG-4d775fa0d9a124720cbd754cc2769292!}
{!LANG-32322c5ff45ce32faef7b52c64584756!}
{!LANG-7cfbc2a4ec215435340f1553683e255d!}
{!LANG-23b39a5279a3a3af39f6cc330a18d312!}
{!LANG-68617cde539de1f3d1a3c196375fb166!}

{!LANG-b9acbe24c82a6c681818d6a22080fce1!}
{!LANG-9104ab6abdadc8e2c7d52ed92119f7be!}
{!LANG-e862435b93731b11f56ca8236e9dcb5c!}
{!LANG-26e47a09a5d1228a56a7cd5e72b98c55!}
{!LANG-1f53b25af971c68f7302d44491f09e38!}
{!LANG-90dbec35992b06103bd6abcb441bc659!}
{!LANG-ad2406799951a971beda294782eaa8f0!}
{!LANG-6363257a787b2bfd8b803e1af6769970!}

{!LANG-c3a6897a016ff86e38c1d3c3c188f07a!}
{!LANG-b73ebaffe2aac444a970fbb201155202!}
{!LANG-d2c0dd306c4bc0e81a45ff2fc51ee4a2!}

{!LANG-df4afb04a549c2462c35f6649efafc87!}
{!LANG-296f248a22c2103e54a2590534fe21d8!}
{!LANG-85baa85f6b2571997822b016ab7d70c0!}

{!LANG-70dde0c5bd84001ea48e4ae009932dd0!}
{!LANG-fedee5960a37a1fe3209e3e1f3421aa5!}

{!LANG-705fccfb70a4d1f7eee35f868dc48d81!}
{!LANG-bef29db6560d1a1292e7bb67c29e835e!}
15951.
{!LANG-31dff16cee8cfa5ca295c1c85cdaff55!}
{!LANG-a5359fe7b877af87f9beb57086b4eb52!}
{!LANG-4235133e2689343c0fa5082c2d7696d1!}

{!LANG-d0f9286a54c44c0485dd62bf429c2325!}
{!LANG-a53e8f3b23a0f5cd1efbcf7ed3d39129!}
{!LANG-4680f06c0bddd18d6093fedd8e92c4fa!}
{!LANG-329a2c7836267d73ed72c4533a9ba863!}

{!LANG-4cda962c6c5d1b4a209b4568fed6fb16!}
{!LANG-329b4b619496c59f6c636c14c689e594!}
{!LANG-29b67af514d500147de8de0541bf9ff2!}

{!LANG-bc6a83c165fe82dd4f8df662aae4f177!}
{!LANG-79741be00b1f3df08c847d09b81d1454!}
{!LANG-7bb2b8e217afc24919ae016fe8561cdb!}
{!LANG-9d7f43780f5102cce41cb4ced952e95f!}
{!LANG-5d9f51cea8c211a4a20874606b688ad2!}
{!LANG-f6fcd4c4f6c2a05d895d00204595c9b5!}

{!LANG-7bd37bf2315fac0e93c0663f64aa8c41!}
{!LANG-8525fe59f030bb51452c3627c708c0be!}
{!LANG-213d8f274038a6f6d64130d78f0300df!}
{!LANG-7f1cc76342330bc092fc8359e602863d!}
{!LANG-7d24b78980517b7bf9ad3de88a3bc1e0!}
{!LANG-ed7fdb19956d1c103d81b47eaff1be25!}
{!LANG-c57392d28ff91a7fe9d22bf69d762312!}

{!LANG-289e2f1c3e6e72fc6ba80ed79696a1e5!}
{!LANG-9f802cc40bff48e0dd5537fd7ddc6e27!}
{!LANG-58b1d6fd209c2639517fb1d88e8c59f3!}

{!LANG-938851402366aabb99d9567133adde40!}
{!LANG-81fe1627f80ec9a967098b3e4d55e0a3!}

{!LANG-32c1e138df7527126988279aad01a6d5!}
{!LANG-fde093cdc273f5f44b5316a679229090!}
{!LANG-91cbf8b5999ee2be760f4a311f68f595!}
{!LANG-ccbd0df372e85bc50b41e498fa7e3cad!}
{!LANG-a39b078508e8dda35f1e6d1a8096efb3!}
{!LANG-394aca03f1831de227a43599ccd8a630!}

{!LANG-586e8e83b6588c48b57122a6afe91b2b!}
{!LANG-062aeb5fb17209372ee51a6d6312ac32!}

{!LANG-78d4ab983a36c57ad750f4b5df694e1c!}
{!LANG-23a2b52b3af5054fc545bd57cf918a8a!}
{!LANG-977ca7759129263c557d6bedb5dcb690!}
{!LANG-87eca0d2da618919e84d5439a0d64174!}

{!LANG-85cdbbec26b84e46216b30a87d337e4b!}
{!LANG-06c4d76359e388bc9cdc330002883e12!}

{!LANG-ca73c6bec46e1e23958af4f53c3cdfdb!}
{!LANG-758e7fa8ae7169328bdda6a7b935f119!}
{!LANG-0545238b954212c9c8714cc26039906d!}

{!LANG-2c9f18cf0ab37d8aa0afa3a290280650!}
{!LANG-c1e47d0e46b8a511fd03916fb14fd909!}
{!LANG-e9c1648784596e5f00eb083678ae9d3b!}

{!LANG-b578a386b6cb87b7c4767d8e2eae592d!}
{!LANG-28c3bcaae8feb14393a9e39b2a5b9ea5!}
{!LANG-d4da65933ea9e6a80e7b5baf192b3a7f!}
{!LANG-89fbeecda7f97a91af1b462989eccb26!}
{!LANG-68793bbc1984236dc2971f1b2d6d4672!}
{!LANG-a8554afc46d858828adbf9212882c539!}
{!LANG-535d963afd4a303bac69789561a3bf1c!}

{!LANG-01776117558c7eb7ab33d1d22244a414!}
{!LANG-9f0c16a8d77fbb130577a2a1b381db05!}
{!LANG-8a1001afd063bf036e07a1129e1e349e!}

{!LANG-cd14ba7f19137bb80abf524dbdb57a15!}
{!LANG-794bc4f3fcc677f0a1e149b89e7296bb!}
{!LANG-8b40bf729060b0061a74e6247bc529eb!}
{!LANG-9ec9b08ed3e64a4eb4e01805eb63d5ba!}
{!LANG-04539ec7f12d2aa6081b3cd0f799dd83!}
{!LANG-0d2316683db599beb3c597072d5ffbd3!}

{!LANG-2cc760cdfd2e07495270f627a9583bbc!}
{!LANG-98ef64fcdbaf54aa38973c16ffa8c0c1!}
{!LANG-4979d72de505940ba80fdbcf1f7e1091!}

{!LANG-78a7e26de1784280a696eeea835b41a4!}
{!LANG-a5fa2842b5c84da3b3eb4d5b92220ba9!}

{!LANG-3d225317d723e3ea4303740696a887ff!}
{!LANG-ee2f8bf6fb29f05536742e328e5d8387!}

{!LANG-0c5e7f9a1fa995784e6346283bffa0c7!}
{!LANG-9765dc929e81517c0a7bd39b3b9601d5!}
{!LANG-5e3ffea86905b2e76914076de138c18e!}
{!LANG-fb2bcaa5fb1211229655c711e00a1210!}

{!LANG-57ea56e57c6ad4b4c119b50188feded4!}
{!LANG-411450e465c74325b25a9883cee8b3ee!}
{!LANG-9ce4aa3b5616a7690fd12e3edf995ba0!}
{!LANG-92b4585b5357ef7a58d3eb87a5ba2dbd!}

глава друга
скрутне становище

{!LANG-d53c66095652b3d2dce957d6f40be5e0!}
{!LANG-c7a5c8bae67e7fdb22b0e7b09398f1b0!}
{!LANG-acc43aa77b755356a8d139672d7a25d8!}
{!LANG-5c7623d273e562cea798588bedab4128!}
{!LANG-30989d45f104dc6add0e7329808366c9!}
{!LANG-9b92ee9ffcdb1a17cee5c8149a4b5dda!}
{!LANG-6415c3c56271b4749273dc5fa045ed27!}
{!LANG-519d9b5274a2eeab2d408a03927d292d!}
{!LANG-778d315e6e233c0238aa3556762e06ba!}

{!LANG-cfd637c38edcab2d1c6228e223731946!}
{!LANG-f09496c8e33dca73010ff325070dbee5!}
{!LANG-bf307d6e71cc7d695d02ddd226f22c27!}
{!LANG-dae5e0becd5fd472fa14e6d2c08c665e!}

{!LANG-7e705fb370851ebc9b024b29dbb441b6!}
{!LANG-e07df0f246fd6b6d533cb71ac89bdea2!}
{!LANG-7e2d83d86fd2b13581fd234e37eedb12!}

{!LANG-bd401ffe3cb01ec348a0def6c25a3d6a!}
{!LANG-50c108816bab93b07230d45d040d4348!}
{!LANG-e794df2066e200c97a1655fb9551964d!}
{!LANG-9b8a865a38d728c0fae2002c9a103770!}
{!LANG-f9eff57fb552e6184e758751f37194cf!}
{!LANG-09809824da1649f1f3d39b198c798a1b!}

{!LANG-3371176fad468dd1e2f015899055cb72!}
{!LANG-0b6b7c34700afc7a1986abe5d6e9ba28!}
{!LANG-d80340827cddc5133d4f0fb12f42d9d0!}
{!LANG-eb75ba460d865587be5cc021879861c9!}
{!LANG-4bab2b210ef6b2151134e387939c75ba!}

{!LANG-5cf4df9f721218f79d542c805d1f71c8!}
{!LANG-b459509a1e12b0030151619a8cfce304!}
{!LANG-e8f0e6a41c23a8083193bbad5221e755!}
{!LANG-a8cb2d5ec631efd0c2f635fc83edcaa3!}
{!LANG-fc40d2eda34973a0796a7755b9fb2726!}

{!LANG-6152ef39a61dc36bdd8f491d6968f253!}
{!LANG-7053a909b29b3ff3880c7aa5ca0723c0!}
{!LANG-cbf40381046c30194d25de33c602ecb6!}

{!LANG-02b9865020f78c5482d2d7ea8b707f5e!}
{!LANG-74db53adf4ad7320279db87fc795f602!}
{!LANG-1c2ae726ca1b57f3e102db6d4da369bc!}
{!LANG-96f77a90d9c8ce4c6de48ffab7e41863!}
{!LANG-ef936b1e90e492abc79115d9300a7a1d!}

{!LANG-f2c460a5c1571f9335e96a1c9b6d0bf2!}
{!LANG-faeb6bc2d77dc8bd142b0d40367fe434!}

{!LANG-c19be72f815a1ce9d3eae63fc3dd40d8!}
{!LANG-642204003ee904f4f7c13759ebcddcd6!}
{!LANG-6f1de19e45368607da9c010825519f5a!}
{!LANG-f1baf833bee351135dfa0d248cdcff83!}

{!LANG-999837d3cbe6fc843064389dc9834e38!}
{!LANG-a7ffdcd45e054a5449feb7a520381565!}
{!LANG-b80b13170b8e6cbf6e7bb406588bc841!}
{!LANG-631b06394be46be72578a06465a68a01!}
{!LANG-522eab452bd60dea15c7b3ff8f12f2ef!}

{!LANG-a59f24919520d55dca088e0e5dbb98af!}
{!LANG-b30be4b4cf9b3675365fd293b7157074!}
{!LANG-ceb79dcf39b7508c1335c780618eb710!}
{!LANG-4b2b4c162fb763af5f77347342d22be7!}

{!LANG-eb9f57bc2d27283b2a60b4f4c4d21dff!}
{!LANG-1ef76953bb4ffacdf23d2ea1d579b2b8!}
{!LANG-1341075b329668c04ba661b4536bc43a!}

{!LANG-9e27db46200ed458c263a8de1eaf9af2!}
{!LANG-d95568850c01c5927fc2a3a0d5647832!}
{!LANG-336e57fcd914fc549dda9c20d58a3d04!}
{!LANG-b58abf5fb57c351dcd98630171b7fcd0!}
{!LANG-19afa1edef8a249a00bb343b188c2b69!}
{!LANG-fb9b56b289a917006d610f83481cd775!}
{!LANG-594c56ac79c837f0cd90dbef544def50!}
{!LANG-a746e5da90e45d298f9e7600e68a0a78!}
{!LANG-dec02b8b3b8f810cc75ebf93289c0003!}
{!LANG-9d0d423a632aa63d25a192488475ac65!}

{!LANG-e6a3e59ce85e287f96435cd3de4827cb!}
{!LANG-3fe42fa1bf47be8259b34bd4f25256b6!}
{!LANG-8206d34f3549e24bfbeb2041d58b5cd1!}
{!LANG-e0774055f00f948054a79e2c92349ce8!}

{!LANG-d8914feceb4042577a5f08500c565f66!}
{!LANG-b1c6a087a0bcb9faf9d4f4d30bcad46b!}
{!LANG-c9052500861b72c9a1721f53f3946824!}
{!LANG-ce86b14c464756a6b46fbf8bc713d53f!}
{!LANG-9167e8114c119f89d462ee1edfde1ce3!}
{!LANG-bae067bf35f18f97426033b8fe235270!}
{!LANG-873b91c3678daf7d8b1712eecb91b7be!}
{!LANG-9dd4e909842e780eaa825df2145e5816!}
{!LANG-50e87c5024599817f3280979f321e40b!}
{!LANG-63507fda820af2db6b698fb64ccc3a5b!}
{!LANG-08840baf5199e159b8fc0b50948109c4!}
{!LANG-5088444c49c3b39c165bc3eec98147c2!}
{!LANG-f895ddc32f8fc32193d88e9167db3c5e!}
{!LANG-cfe4381063bf6473109c5cd68c8b8aa1!}
{!LANG-e760408a441c188ed8e0b2ae85543563!}
{!LANG-3f7d077d6e2b816678f73a698366666f!}

{!LANG-10394911661f39d77058c3c16fcc74ea!}
{!LANG-c3b01dc58aaa9f4df14e236fd71af090!}
{!LANG-84af96ab039db761a3251aa70a3411da!}
{!LANG-1b23ef04446769c16f3120d2a7facf50!}
{!LANG-28e113685038797283cbfcd6d41472ac!}
{!LANG-8fbab3cccdec1d588249359e5f87e165!}

{!LANG-b8c4df9ca0df32a727814a7f30310791!}
{!LANG-a04b80927fcf63bd63412c939ae1b922!}
{!LANG-9252957d8f6d1b9115615589bc9b30e2!}
{!LANG-2dafbafd4becec20f6aa5c83897e3c10!}
{!LANG-486bb7a1c36b5070b1631279d0bfc221!}
{!LANG-ee0d1adab0d1f2d921dab4aba54a7b4c!}

{!LANG-9e3ce42abdcb999e0605a2fe2ff0008f!}
{!LANG-a013bcb7aa9f3f69f40cfe6d6b560a93!}

{!LANG-9ccb04c325fcfaca47350b8bfff192e9!}
{!LANG-9e4a29ee6dfb36acadfbaf3a956cae99!}
{!LANG-42a69626a935affc9b2edafcddede08f!}
{!LANG-78bdbd2830f3c8c6c686ccd473fdcdff!}

{!LANG-9d53d76edf4354ec9dbe1a799e602879!}
{!LANG-c593ffac367620efa8d64e770c200038!}
{!LANG-4e88220b0680a23e2c08adf212f3fb3a!}

{!LANG-7aaa60fed88d591137033673d90c528b!}
{!LANG-696f9f4b582d7cc5d96d3ef68c4a2467!}
{!LANG-916b2e4857dc00823e16515b55ed80ce!}
{!LANG-3d6f8142b1b607d2e548281bfb9b41ba!}

{!LANG-d5ed37909dbe557720616ce39e330f0d!}
{!LANG-73de308885046ddaf0dc3b39ffd398b5!}
{!LANG-c163f33509ca569fd8801a1ba90dec32!}

{!LANG-91c6153a49b772ebc96f851f45b32703!}
{!LANG-fccb7d3420ceac50705d141d35c9d5b3!}
{!LANG-6effb4172cf8b2b029505d538ff8410a!}
{!LANG-ec3027a6b1948cd8d5c14659cfa2bfa7!}
{!LANG-22fc65b27bf27bd983360774e7fde61b!}
{!LANG-b67f44c1f1f7f8de7c60de78867e03d9!}

{!LANG-b10d249d6036a97a68d403824362c99c!}
{!LANG-b7e770d0439345bc67c45981b9b88514!}
{!LANG-642cb4319e33b5de5a70e30322100ff5!}
{!LANG-13efda97ad0ef33d1916d600d1ac72ef!}
{!LANG-b03d9ec0e1a4d297e53ef7bfedd404f7!}
{!LANG-b3c2b79a696e75d25ad6c2137215dc93!}
{!LANG-c9ecc4c47cc074a09d78b3ade071f6ed!}

{!LANG-63d40435ea6938357403fd0dae9e32d0!}