Залежні події та умовна ймовірність. Умовна можливість. Незалежність подій Обчислення умовної ймовірності

Лекція 4

Принцип практичної неможливості малоймовірних подій

Якщо випадкова подіямає дуже невелику ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія не настане. Все залежить від конкретного завдання. Якщо ймовірність нерозкриття парашута 0,01, то такий парашут застосовувати не можна. Якщо електричка запізниться з ймовірністю 0,01, то можна бути впевненим, що вона прибуде вчасно.

Досить малу ймовірність, коли в даній задачі подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значимості.Насправді зазвичай приймають рівні значимості від 0,01 до 0,05.

Якщо випадкова подія має ймовірність дуже близьку до одиниці, то можна вважати, що у одиничному випробуванні ця подія настане.

Умовна ймовірність

Добутком двох подій Aі B називають подію АВ, що полягає у спільній появі (суміщенні) цих подій.Наприклад, якщо A- деталь придатна, У- деталь пофарбована, то АВ- деталь придатна та пофарбована.

Добутком кількох подій називають подію, що полягає у спільній появі всіх цих подійий. Наприклад, якщо A, B, C- поява «герба» відповідно у першому, другому та третьому киданнях монети, то ABC- Випадання «герба» у всіх трьох випробуваннях.

У вступі випадкову подію визначено як подію, яка при здійсненні сукупності умов Sможе статися чи не статися.

Якщо при обчисленні ймовірності події жодних інших обмежень, крім умов S, не накладається, то таку ймовірність називаютьбезумовною; якщо ж накладаються інші додаткові умови, то ймовірність події називають умовною.

Наприклад, часто обчислюють ймовірність події Bза додаткової умови, що сталася подія A. Безумовна ймовірність, строго кажучи, є умовною, оскільки передбачається здійснення умов S.

Умовною ймовірністю Р A (В) або називають ймовірність події B, обчислену у припущенні, що подія A вже настала

Умовна ймовірність обчислюєтьсяза формулою

Цю формулу можна довести, виходячи з класичного визначення ймовірності.

приклад 3.В урні 3 білих та 3 чорні кулі. З урни двічі виймають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність появи білої куліпри другому випробуванні (подія У), якщо при першому випробуванні було вилучено чорну кулю (подія А).

Рішення. Після першого випробування в урні залишилося 5 куль, їх 3 білих. Шукана умовна ймовірність РА ( У) = 3/5.

Цей же результат можна отримати за формулою

Р A ( У) =P (АВ)/P(А) ( P (А) > 0).

Дійсно, ймовірність появи білої кулі при першому випробуванні

P(A) = 3/6 =1/2.

Знайдемо ймовірність P(АВ) того, що в першому випробуванні з'явиться чорна куля, а в другому - біла за формулою (3.1). Загальна кількість результатів - спільної появи двох куль, байдуже якого кольору, дорівнює кількості розміщень = 6 5 = 30. З цього числа результатів події АВ сприяють 3 3 = 9 результатів. Отже, P (АВ) =9/30 = 3/10.

Умовна ймовірність PА ( У) =P(АВ)/Р(А) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Отримано колишній результат.

Усі теореми та формули теорії ймовірностей та математичної статистики виводяться з аксіом теорії ймовірностей. У цьому розділі дається визначення умовної ймовірності, доводяться теореми, що найбільш часто використовуються, і формули, засновані на умовних ймовірностях. Вводиться поняття незалежності подій, яке потім використовується у схемі послідовних незалежних випробувань, а також надається опис марківської схеми із залежними випробуваннями.

УМОВНІ ІМОВІРНОСТІ

У § 1.1 формулу умовної ймовірності було виведено для класичної схеми. У загальному випадку ця формула є визначенням умовної ймовірності події Аза умови, що сталася подія У, Р(В) > 0.

Визначення 2.1.Умовна ймовірність події Аза умови У

Визначення 2.2.Подія Ане залежить від події В,якщо

Незалежність подій взаємна, тобто. якщо подія Ане залежить від В,та й подія Уне залежить від А.Справді, використовуючи визначення 2.1 і 2.2, Р(А) > 0 маємо:

З визначення 2.1 випливає така формула множення ймовірностей:

Для незалежних подій ймовірність твору подій дорівнює твору їх ймовірностей:

Визначення 2.3.Події А, А 2 ,..., А„утворюють повну групу подій, якщо вони попарно несумісні разом утворюють достовірне подія, тобто.

Наявна наступна теорема повної ймовірності.

Теорема 2.1.Якщо події А й ..., А„, Р(А)> 0 утворюють повну групу подій, то ймовірність події Уможе бути представлена ​​як сума творів безумовних ймовірностей подій повної групи на умовні ймовірності події В:

Події повної групи А„ ..., А„попарно несумісні, тому попарно несумісні та їх твори (перетину) з подією В,тобто. події УП А/, ВП Л, при i Ф jнесумісні. Оскільки подія Уможна уявити у вигляді

то, застосувавши до цього розкладання події Уаксіому складання ймовірностей, маємо:

Використовуючи формулу множення ймовірностей (2.1.1) для кожного доданка, остаточно отримуємо:

Вимога, яка полягає в тому, що події Л, утворюють повну групу подій, може бути замінено слабшим: події попар-

але не перетинаються, Bcz^A rКрім того, на основі аксіоми рахунок-

ної адитивності теорему повної ймовірності можна поширити і на лічильну множину попарно непересічних подій А,-,

Р(А,)> 0, tfcQ/l, :

З формули повної ймовірності (2.1.3) легко отримати формулу Байєса: для події Уз Р(В)> 0 і системи попарно несовмест-

пих подій А„ Р(Л,) > 0,BczJ А,.,

Насправді, застосувавши формули умовної ймовірності та множення ймовірностей, маємо:

тепер, замінивши ймовірність події Уза формулою повної ймовірності отримуємо формулу (2.1.5).

Ймовірності Р(А,)подій І, називають апріорними ймовірностями,тобто. ймовірностями подій до виконання досвіду, а умовні ймовірності цих подій Р(А,!В) - апостеріорними,тобто. уточненими в результаті досвіду, результатом якого стала поява події Ст.

приклад 2.1.Розрахунок за формулоюіповної ймовірності та Байєса

На підприємстві виготовляються вироби певного виду на трьох потокових лініях. На першій лінії виробляється 20% виробів від усього обсягу їх виробництва, на другій – 30%, на третій – 50%. Кожна з ліній характеризується відповідно такими відсотками придатності виробів: 95, 98 та 97%. Потрібно визначити ймовірність того, що навмання взятий виріб, випущений підприємством, виявиться бракованим, а також ймовірність того, що цей бракований виріб зроблено на першій, другій та третій лініях.

Рішення.Позначимо через А„ Л 2 , А )події, які полягають у тому, що навмання взятий виріб вироблено відповідно на першій, другій та третій лініях. Відповідно до умов завдання Р(А,) = 0,2; Р(А 2) = 0,3; Р(А)) = 0,5, і це події утворюють повну групу подій, оскільки вони попарно несовместны, тобто. Р(А,) + Р(Л 2) + Р(Л 3) = 1.

Позначимо через Уподія, яка полягає в тому, що навмання взятий виріб виявився бракованим. Відповідно до умов завдання P(B/A t) = = 0,05; Р(В/А 2) = 0,02; Р(В/А 3) = 0,03.

тобто. ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться бракованим, дорівнює 3,1%.

Апріорні ймовірності того, що навмання взятий виріб виготовлено на першій, другій або третій лінії, дорівнює відповідно 0,2; 0,3 та 0,5.

Припустимо, що в результаті досвіду навмання взятий виріб виявився бракованим; визначимо тепер апостеріорні ймовірності того, що цей виріб виготовлено на першій, другій чи третій лініях. За формулою Байєса маємо:

Таким чином, ймовірності того, що навмання взятий і вибраний виріб виготовлено на першій, другій або третій лінії, рівні відповідно 0,322; 0,194; 0,484.

Формула множення ймовірностей (2.1.1) може бути поширена у разі довільного кінцевого числа подій:

Визначення 2.4.Події А ь А 2 , ..., А„незалежні в сукупності, якщо для будь-якої їхньої підмножини

Якщо ця умова виконана тільки для до = 2, то події попарно незалежні.

З незалежності подій у сукупності випливає попарна незалежність, та якщо з попарної незалежності випливає незалежність у сукупності.

Розглянемо події Aі B, пов'язані з тим самим досвідом. Нехай із якихось джерел стало відомо, що подія Bнастало, але невідомо, який конкретно з елементарних результатів, що становлять подію B, відбувся. Що можна сказати в цьому випадку про ймовірність події A?

Ймовірність події A, обчислену у припущенні, що подія Bсталося, прийнято називати умовною ймовірністю та позначати P(A|B).

Умовну ймовірність P(A|B)події Aза умови події Bу межах класичної схеми ймовірності природно визначити як ставлення N ABрезультатів, які сприяють спільному здійсненню подій Aі Bдо числа N Bрезультатів, які сприяють події B, тобто

Якщо поділити чисельник та знаменник цього виразу на загальне число Nелементарних результатів, то отримаємо

Визначення. Умовною ймовірністю події Aза умови настання події Bназивають відношення ймовірності перетину подій Aі Bдо ймовірності події B:

При цьому припускають, що P(B) ≠ 0.

Теорема. Умовна ймовірність P(A|B)має всі властивості безумовної ймовірності P(A).

Сенс цієї теореми полягає в тому, що умовна ймовірність є безумовною ймовірністю, заданою на новому просторі. Ω 1елементарних наслідків, що збігається з подією B.

приклад. З урни, в якій a=7білих та b=3чорних куль, навмання без повернення витягують дві кулі. Нехай подія A 1полягає в тому, що перша витягнута куля є білою, а A 2- білим є друга куля. Потрібно знайти P(A 2 |A 1).

Спосіб 1.. За визначенням умовної ймовірності

Спосіб 2.. Перейдемо до нового простору елементарних результатів Ω 1. Оскільки подія A 1сталося, це означає, що у новому просторі елементарних результатів всього рівноможливих результатів N Ω 1 =a+b-1=9, а події A 2сприяє при цьому N A 2 =a-1=6результатів. Отже,

Теорема [множення ймовірностей]. Нехай подія A=A 1 A 2 …A nі P(A)>0. Тоді справедлива рівність:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Зауваження. З якості комутативності перетину можна писати

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

приклад. На 7 картках написано літери, що утворюють слово «СОЛОВЕЙ». Картки перемішують і їх навмання послідовно витягають і викладають зліва направо три картки. Знайти ймовірність того, що вийде слово «ВОЛ» (подія A).

Нехай подія A 1- на першій картці написано букву «В», A 2- на другій картці написано букву «О», A 2- на третій картці – літера «Л». Тоді подія A- перетин подій A 1, A 2, A 3. Отже,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A 1)=1/7; якщо подія A 1сталося, то на 6 картках «О», що залишилися, зустрічається двічі, значить P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Аналогічно, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Отже,

Визначення. Події Aі B, що мають ненульову ймовірність, називають незалежними, якщо умовна ймовірність Aза умови Bзбігається з безумовною ймовірністю Aабо якщо умовна ймовірність Bза умови Aзбігається з безумовною ймовірністю B, тобто

P(A|B) = P(A)або P(B|A) = P(B),

в іншому випадку події Aі Bназивають залежними.

Теорема. Події Aі B, що мають ненульову ймовірність, є незалежними тоді і лише тоді, коли

P(AB) = P(A) P(B).

Таким чином, можна дати еквівалентне визначення:

Визначення. Події Aі Bназивають незалежними, якщо P(AB) = P(A) P(B).

приклад. З колоди карт, що містить n=36карт, навмання витягують одну карту. Позначимо через Aподія, що відповідає тому, що витягнута карта буде піковою, а B- подія, що відповідає появі «дами». Визначимо чи залежними події Aі B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Отже, події Aі Bнезалежні. Аналогічно, .

Нерідко в житті ми стикаємося з тим, що слід оцінити шанси настання якоїсь події. Чи варто купувати лотерейний квитокчи ні, якою буде пів третьої дитини в сім'ї, чи завтра буде ясна погода чи знову піде дощ - таких прикладів можна навести незліченну кількість. У найпростішому випадку слід розділити кількість сприятливих наслідків на загальну кількість подій. Якщо в лотереї 10 квитків виграшних, а всього їх 50, то шанси отримати приз дорівнюють 10/50 = 0,2, тобто 20 проти 100. А як чинити в тому випадку, якщо є кілька подій, і вони тісно пов'язані між собою? У цьому випадку нас цікавитиме вже не проста, а умовна ймовірність. Що це за величина і як її можна порахувати – про це якраз і буде розказано у нашій статті.

Концепція

Умовна ймовірність – це шанси настання певної події за умови, що інша пов'язана з нею подія вже сталася. Розглянемо простий приклад із киданням монетки. Якщо жеребкування ще не було, то шанси випадання орла чи решки будуть однаковими. Але якщо разів п'ять поспіль монетка лягала гербом нагору, то погодьтеся чекати 6-го, 7-го, а тим більше 10-го повторення такого результату буде нелогічно. З кожним повторним разом випадання орла, шанси появи рішки зростають і рано чи пізно вона випаде.

Формула умовної ймовірності

Давайте розберемося з тим, як ця величина розраховується. Позначимо першу подію через В, а другу через А. Якщо шанси настання В відмінні від нуля, тоді буде справедливою наступна рівність:

Р(А|В) = Р(АВ)/Р(В), де:

• Р (А|В) - умовна ймовірність результату А;
• Р (АВ) - ймовірність спільної появи подій А та В;
• Р (В) – ймовірність події В.

Злегка перетворивши це співвідношення отримаємо Р(АВ) = Р(А|В) * Р(В). А якщо застосувати, то можна вивести формулу твору і використовувати її при довільній кількості подій:

Р (А 1, А 2, А 3, ... А п) = Р (А 1 | А 2 … А п) * Р (А 2 | А 3 … А п) * Р (А 3 | А 4 … А п) ) ... Р (А п-1 | А п) * Р (А п).

Практика

Щоб було легше розібратися з тим, як розраховується умовна розглянемо кілька прикладів. Припустимо, є ваза, в якій знаходяться 8 шоколадних цукерок і 7 м'ятних. За розмірами вони однакові і навмання послідовно витягуються дві з них. Які будуть шанси того, що обидві виявляться шоколадними? Введемо позначення. Нехай результат А означає, що перша цукерка шоколадна, результат В - друга цукерка шоколадна. Тоді вийде таке:

Р(А) = Р(В) = 8/15,

Р(А|В) = Р(В|А) = 7/14 = 1/2,

Р (АВ) = 8/15 х 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Розглянемо ще один випадок. Припустимо, є дводітна сім'я і нам відомо, що принаймні одна дитина є дівчинкою.

Яка умовна ймовірність того, що хлопчиків у цих батьків поки що немає? Як і в попередньому випадку, почнемо з позначень. Нехай Р (В) - ймовірність того, що в сім'ї є хоча б одна дівчинка, Р (А | В) - ймовірність того, що друга дитина теж дівчинка, Р (АВ) - шанси того, що в сім'ї дві дівчинки. Тепер зробимо розрахунки. Усього може бути 4 різних комбінацій статі дітей і при цьому лише в одному випадку (коли в сім'ї два хлопчики), дівчатка серед дітей не буде. Тому ймовірність Р(В) = 3/4, а Р(АВ) = 1/4. Тоді дотримуючись нашої формули отримаємо:

Р(А|В) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Інтерпретувати результат можна так: якби нам не було відомо про поле одного з дітей, то шанси двох дівчаток були б 25 проти 100. Але оскільки ми знаємо, що одна дитина дівчинка, ймовірність того, що в сім'ї хлопчиків немає, зростає до однієї третій.

Умовною ймовірністю події A під час виконання події Bназивається відношення Тут передбачається, що .

Як розумне обґрунтування цього визначення зазначимо, що при настанні події Bвоно починає відігравати роль достовірної події, тому треба вимагати, щоб . Роль події Aграє AB,тому має бути пропорційною . (З визначення слідує, що коефіцієнт пропорційності дорівнює .)

Тепер введемо поняття незалежності подій.

Це означає: від того, що сталася подія B, ймовірність події Aне змінилась.

З урахуванням визначення умовної ймовірності це визначення зведеться до співвідношення . Тут уже немає потреби вимагати виконання умови . Таким чином, приходимо до остаточного визначення.

Події A та B називаються незалежними, якщо P(AB)= P(A)P(B).

Останнє співвідношення зазвичай і беруть за визначення незалежності двох подій.

Декілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо подібні співвідношення виконуються для будь-якого підмножини подій, що розглядаються. Так, наприклад, три події A, Bі Cназиваються незалежними в сукупності, якщо виконуються такі чотири співвідношення:

Наведемо низку завдань на умовну ймовірність та незалежність подійта їх вирішення.

Завдання 21.З повної колодиіз 36 карт витягують одну карту. Подія A– карта червона, B- Мапа туз. Чи будуть вони незалежними?

Рішення.Провівши обчислення згідно з класичним визначенням ймовірності, отримаємо, що . Це означає, що події Aі Bнезалежні.

Завдання 22. Вирішити те саме завдання для колоди, з якої видалена пікова дама.

Рішення. . Незалежності немає.

Завдання 23.Двоє кидають монету. Виграє той, у якого першим випаде герб. Знайти ймовірність виграшу для обох гравців.

Рішення.Можна вважати, що елементарні події це кінцеві послідовності виду (0, 0, 1, ..., 0, 1) . Для послідовності довжини відповідна елементарна подія має можливість Гравець, який починає кидати монету першим, виграє, якщо реалізується елементарна подія, що складається з непарного числа нулів і одиниць. Тому ймовірність його виграшу дорівнює

Виграш другого гравця відповідає парному числу нулів та одиниць. Він дорівнює

З рішення випливає, що гра закінчується за кінцевий час з ймовірністю 1 (оскільки ).

Завдання 24.Для того, щоб зруйнувати міст, потрібно попадання не менше 2 бомб. Скинули 3 бомби. Імовірності влучення бомб рівні відповідно 0, 1; 0, 3; 0, 4. Знайти можливість руйнування моста.

Рішення.Нехай події A, B, C полягають у попаданні 1-ї, 2-ї, 3-ї бомби відповідно. Тоді руйнація мосту відбувається тільки при реалізації події В силу того, що доданки в цій формулі попарно несумісні, а помножувачі в доданках незалежні, ймовірність дорівнює

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Завдання 25.До того самого причалу повинні пришвартуватися два вантажні судна. Відомо, що кожне з них може з рівною ймовірністю підійти у будь-який момент фіксованої доби і має розвантажуватися 8 год. Знайти ймовірність того, що судну, яке прийшло другим, не доведеться чекати, поки закінчить розвантаження перше судно.

Рішення.Будемо час вимірювати у добі та долі доби. Тодіелементарні події - це пари чисел, що заповнюють одиничний квадрат, де x –час приходу першого судна, y- Час приходу другого судна. Усі точки квадрата рівноймовірні. Це означає, що ймовірність будь-якої події (тобто множини з одиничного квадрата) дорівнює площі області, що відповідає цій події. Подія Aскладається з точок одиничного квадрата, для яких виконується нерівність. Ця нерівність відповідає тому, що судно, яке прийшло першим, встигне розвантажитися на момент приходу другого судна. Безліч цих точок утворює два прямокутні рівнобедрені трикутники зі стороною 2/3. Сумарна площа цих трикутників дорівнює 4/9. Таким чином, .

Завдання 26.На іспиті з теорії ймовірностей було 34квитки. Студент двічі витягує по одному квитку із запропонованих квитків (не повертаючи їх). Студент підготувався лише за 30 квитками? Яка ймовірність того, що він складе іспит, вибравши вперше «невдалий» квиток?

Рішення.Випадковий вибір полягає в тому, що двічі поспіль витягають по одному квитку, причому витягнутий вперше квиток назад не повертається. Нехай подія Уполягає в тому, що першим вийнять невдалий»квиток, а подія Аполягає в тому, що другим витягнуть вдалий» квиток. Очевидно, що події Аі Узалежні, оскільки витягнутий вперше квиток не повертається до всіх квитків. Потрібно знайти ймовірність події АВ.

За формулою умовної ймовірності; ; тому .