Події a та b називаються незалежними якщо. Залежні та незалежні події. Умовна можливість. Залежні та незалежні випадкові події. Основні формули складання та множення ймовірностей

Розрізняють події залежні та незалежні. Дві події називаються незалежними, якщо поява одного з них не змінює ймовірність появи іншого. Наприклад, якщо у цеху працюють дві автоматичні лінії, за умовами виробництва не взаємопов'язані, то зупинки цих ліній є незалежними подіями.

Декілька подій називаються незалежними у сукупностіякщо будь-яка з них не залежить від будь-якої іншої події і від будь-якої комбінації інших.

Події називаються залежнимиякщо одне з них впливає на ймовірність появи іншого. Наприклад, дві виробничі установки пов'язані єдиним технологічним циклом. Тоді ймовірність виходу з експлуатації однієї з них залежить від того, в якому стані знаходиться інша. Імовірність однієї події B, обчислена у припущенні здійснення іншої події A, називається умовною ймовірністюподії Bі позначається P(A|B).

Умову незалежності події B від події A записують як P(B|A)=P(B), а умова його залежності - як P(B|A)≠P(B).

Імовірність події у випробуваннях Бернуллі. Формула Пуассон.

Повторними незалежними випробуваннями, випробуваннями Бернуллі або схемою Бернулліназиваються такі випробування, якщо при кожному випробуванні є лише два результати - поява події А або ймовірність цих подій залишається незмінною для всіх випробувань. Ця проста схема випадкових випробувань має велике значеннятеоретично ймовірностей.

Найбільш відомим прикладом випробувань Бернуллі є досвід із послідовним киданням правильної (симетричної та однорідної) монети, де подією А є випадання, наприклад, "герба", ("решки").

Нехай у деякому досвіді ймовірність події А дорівнює P(А)=р, Тоді , де р + q = 1. Виконаємо досвід n разів, припустивши, що окремі випробування незалежні, а значить, результат будь-яких з них не пов'язаний з результатами попередніх (або наступних) випробувань. Знайдемо ймовірність появи подій А точно раз, скажімо тільки в перших випробуваннях. Нехай - подія, яка полягає в тому, що при n випробуваннях подія А з'явиться точно раз до перших випробуваннях. Подію можна подати у вигляді

Оскільки досліди ми припустили незалежними, то

41) [стр2]Якщо ставити питання про появу події А k-раз у n випробуваннях у довільному порядку, то подія подана у вигляді

Число різних доданків у правій частині цієї рівності дорівнює числу випробувань з n по k, тому ймовірність подій, яку позначатимемо, дорівнює

Послідовність подій утворює повну групу незалежних подій . Справді, із незалежності подій отримуємо

Якщо при настанні події ймовірність події не змінюється, то події і називаються незалежними.

Теорема:Імовірність спільної появи двох незалежних подій і (твори і ) дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Справді, оскільки події і незалежні, то
. І тут формула ймовірності твори подій і набуває вигляду.

Події
називаються попарно незалежнимиякщо незалежні будь-які два з них.

Події
називаються незалежними у сукупності (або просто незалежними)якщо незалежні кожні два з них і незалежні кожна подія і всі можливі твори інших.

Теорема:Імовірність твору кінцевого числа незалежних у сукупності подій
дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Проілюструємо відмінність у застосуванні формул ймовірності добутку подій для залежних та незалежних подій на прикладах

Приклад 1. Імовірність влучення в ціль першим стрільцем дорівнює 0,85, другим 0,8. Знаряддя зробили по одному пострілу. Яка ймовірність того, що в ціль потрапив хоча б один снаряд?

Рішення: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Оскільки постріли незалежні, то

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

Приклад 2. В урні знаходиться 2 червоні та 4 чорні кулі. З неї виймають поспіль 2 кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі червоні.

Рішення: 1 випадок. Подія А – поява червоної кулі при першому вийманні, подія – при другому. Подія С – поява двох червоних кульок.

P(C) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

2 випадок. Перша вийнята куля повертається в кошик

P(C) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

Формула повної ймовірності.

Нехай подія може статися лише з однією з несумісних подій
, що утворюють повну групу Наприклад, до магазину надходить та сама продукція від трьох підприємств і в різній кількості. Імовірність випуску неякісної продукції цих підприємствах різна. Випадковим чином відбирається один із виробів. Потрібно визначити ймовірність того, що цей виріб неякісний (подія ). Тут події
- Це вибір виробу з продукції відповідного підприємства.

У цьому випадку ймовірність події можна розглядати як суму творів подій
.

За теоремою складання ймовірностей несумісних подій отримуємо
. Використовуючи теорему множення ймовірностей, знаходимо

.

Отримана формула називається формулою повної ймовірності.

Формула Байєса

Нехай подія відбувається одночасно з одним із несумісних подій
, ймовірності яких
(
) відомі до досвіду ( ймовірності апріорі). Виробляється досвід, внаслідок якого зареєстровано появу події , причому відомо, що ця подія мала певні умовні ймовірності
(
). Потрібно знайти ймовірність подій
якщо відомо, що подія відбулося ( ймовірності апостеріорі).

Завдання полягає в тому, що, маючи нову інформацію (подія A відбулася), потрібно переоцінити ймовірність подій
.

На підставі теореми про ймовірність твору двох подій

.

Отримана формула має назву формули Байєса.

Основні поняття комбінаторики.

При вирішенні ряду теоретичних і практичних завдань потрібно з кінцевої множини елементів за заданими правилами складати різні комбінації та проводити підрахунок числа всіх можливих таких комбінацій. Такі завдання прийнято називати комбінаторними.

При вирішенні завдань комбінаторики використовують правила суми та добутку.

Загальна постановка задачі: відомі ймовірності деяких подій, а потрібно обчислити ймовірності інших подій, які пов'язані з даними подіями. У цих завданнях виникає необхідність у таких діях над ймовірностями, як додавання та множення ймовірностей.

Наприклад, на полюванні здійснено два постріли. Подія A- попадання в качку з першого пострілу, подія B- Попадання з другого пострілу. Тоді сума подій Aі B- попадання з першого або другого пострілу або двох пострілів.

Завдання іншого типу. Дано кілька подій, наприклад, монета підкидається тричі. Потрібно знайти ймовірність того, що або всі три рази випаде герб, або те, що герб випаде хоча б один раз. Це завдання на збільшення ймовірностей.

Складання ймовірностей несумісних подій

Додавання ймовірностей використовується тоді, коли потрібно обчислити ймовірність об'єднання чи логічної суми випадкових подій.

Суму подій Aі Bпозначають A + Bабо A ∪ B. Сумою двох подій називається подія, яка настає тоді і лише тоді, коли настає хоча б одна з подій. Це означає, що A + B– подія, яка настає тоді і лише тоді, коли під час спостереження сталася подія Aабо подія B, або одночасно Aі B.

Якщо події Aі Bвзаємно несумісні та його ймовірності дані, то ймовірність те, що в результаті одного випробування відбудеться одна з цих подій, розраховують, використовуючи додавання ймовірностей.

Теорема складання ймовірностей.Імовірність того, що відбудеться одна з двох взаємно несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Наприклад, на полюванні зроблено два постріли. Подія А- попадання в качку з першого пострілу, подія У- Попадання з другого пострілу, подія ( А+ У) – попадання з першого чи другого пострілу чи з двох пострілів. Отже, якщо дві події Аі У- несумісні події, то А+ У- Настання хоча б однієї з цих подій або двох подій.

приклад 1.У ящику 30 м'ячиків однакових розмірів: 10 червоних, 5 синіх та 15 білих. Обчислити ймовірність того, що не дивлячись буде взято кольоровий (не білий) м'ячик.

Рішення. Приймемо, що подія А– «взято червоний м'ячик», а подія У– «взято синій м'ячик». Тоді подія – «взято кольоровий (не білий) м'ячик». Знайдемо ймовірність події А:

та події У:

Події Аі У- Взаємно несумісні, тому що якщо взято один м'ячик, то не можна взяти м'ячики різних кольорів. Тому використовуємо складання ймовірностей:

Теорема складання ймовірностей для кількох несумісних подій.Якщо події становлять безліч подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1:

Сума ймовірностей протилежних подій також дорівнює 1:

Протилежні події утворюють безліч подій, а ймовірність повної множини подій дорівнює 1.

Імовірності протилежних подій зазвичай позначають малими літерами pі q. Зокрема,

з чого випливають такі формули ймовірності протилежних подій:

приклад 2.Ціль у тирі розділена на 3 зони. Імовірність того, що якийсь стрілець вистрілить у ціль у першій зоні дорівнює 0,15, у другій зоні – 0,23, у третій зоні – 0,17. Знайти ймовірність того, що стрілець потрапить у ціль і ймовірність того, що стрілок потрапить повз ціль.

Рішення: Знайдемо ймовірність того, що стрілок потрапить у ціль:

Знайдемо ймовірність того, що стрілець потрапить повз ціль:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Складання ймовірностей взаємно спільних подій

Дві випадкові події називаються спільними, якщо наступ однієї події не виключає настання другої події в тому самому спостереженні. Наприклад, під час кидання гральної кісткиподією Авважається випадання числа 4, а подією У- Випадання парного числа. Оскільки число 4 є парним числом, ці дві події сумісні. У практиці зустрічаються завдання щодо розрахунку ймовірностей настання однієї з взаємно спільних подій.

Теорема складання можливостей для спільних подій.Імовірність того, що настане одна із спільних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, з якої віднято ймовірність загального настання обох подій, тобто добуток ймовірностей. Формула ймовірностей спільних подій має такий вигляд:

Оскільки події Аі Усумісні, подія А+ Унастає, якщо настає одна з трьох можливих подій: або АВ. Відповідно до теореми складання несумісних подій, обчислюємо так:

Подія Анастане, якщо настане одна з двох несумісних подій: або АВ. Однак ймовірність настання однієї події з кількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей усіх цих подій:

Аналогічно:

Підставляючи вирази (6) і (7) у вираз (5), отримуємо формулу ймовірності для спільних подій:

При використанні формули (8) слід враховувати, що події Аі Уможуть бути:

• взаємно незалежними;
• взаємно залежними.

Формула ймовірності для взаємно незалежних подій:

Формула ймовірності для взаємозалежних подій:

Якщо події Аі Унесумісні, їх збіг є неможливим випадком і, таким чином, P(AB) = 0. Четверта формула ймовірності для несумісних подій така:

приклад 3.На автоперегонах при заїзді на першій машині можливість перемогти, при заїзді на другій машині. Знайти:

• ймовірність того, що переможуть обидві автомашини;
• ймовірність того, що переможе хоча б одна машина;

1) Імовірність того, що переможе перша автомашина, не залежить від результату другої автомашини, тому події А(переможе перша автомашина) та У(переможе друга автомашина) – незалежні події. Знайдемо ймовірність того, що переможуть обидві машини:

2) Знайдемо ймовірність того, що переможе одна з двох автомашин:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Вирішити завдання на складання ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Впадають дві монети. Подія A- Випадання герба на першій монеті. Подія B- Випадання герба на другій монеті. Знайти ймовірність події C = A + B .

Розмноження ймовірностей

Множення ймовірностей використовують, коли слід обчислити ймовірність логічного добутку подій.

При цьому випадкові подіїмають бути незалежними. Дві події називаються взаємно незалежними, якщо настання однієї події не впливає на ймовірність настання другої події.

Теорема множення можливостей для незалежних подій.Імовірність одночасного наступу двох незалежних подій Аі Удорівнює добутку ймовірностей цих подій і обчислюється за такою формулою:

Приклад 5.Монету кидають тричі поспіль. Знайти ймовірність, що всі три рази випаде герб.

Рішення. Імовірність того, що при першому киданні монети випаде герб, вдруге, втретє. Знайдемо ймовірність того, що всі три рази випаде герб:

Вирішити завдання на множення ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 6.Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі, після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів грані від неграних не відрізняють. Яка ймовірність того, що після трьох ігору коробці не залишиться неграних м'ячів?

Приклад 7. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що з літер вийде слово "кінець".

Приклад 8.З повної колодикарт (52 листи) виймаються відразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

Приклад 9.Те саме завдання, що у прикладі 8, але кожна карта після виймання повертається в колоду.

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей, а також обчислювати добуток кількох подій - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей".

Імовірність того, що відбудеться хоча б одна з взаємно незалежних подій, можна обчислити шляхом віднімання з 1 добутку ймовірностей протилежних подій, тобто за формулою.

Залежні та незалежні випадкові події.
Основні формули складання та множення ймовірностей

Поняття залежності та незалежності випадкових подій. Умовна ймовірність. Формули складання та множення ймовірностей для залежних та незалежних випадкових подій. Формула повної ймовірності та формула Байєса.

Теореми складання ймовірностей

Знайдемо можливість суми обставин і (у припущенні їх спільності чи несовместности).

Теорема 2.1. Імовірність суми кінцевого числа несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей:

приклад 1.Імовірність того, що в магазині буде продано пару чоловічого взуття 44-го розміру, дорівнює 0,12; 45-го – 0,04; 46-го та більшого – 0,01. Знайти ймовірність того, що буде продано пару чоловічого взуття не менше 44-го розміру.

Рішення.Події, що шукаються, відбудеться, якщо буде продана пара взуття 44-го розміру (подія) або 45-го (подія), або не менше 46-го (подія), тобто подія є сума подій. Події, і несумісні. Тому згідно з теоремою про суму ймовірностей отримуємо

приклад 2.За умов прикладу 1 знайти ймовірність того, що черговий буде продано пару взуття менше 44-го розміру.

Рішення.Події "чергової буде продано пару взуття менше 44-го розміру" та "буде продано пару взуття розміру не менше 44-го" протилежні. Тому за формулою (1.2) ймовірність настання події

оскільки , як це було знайдено у прикладі 1.

Теорема 2.1 складання ймовірностей справедлива лише несумісних подій. Використання її для знаходження ймовірності спільних подій може призвести до неправильних, а іноді й абсурдних висновків, що наочно видно на прикладі. Нехай виконання замовлення термін фірмою "Electra Ltd" оцінюється ймовірністю 0,7. Яка ймовірність того, що з трьох замовлень фірма виконає в строк хоча б якийсь один? Події, які у тому, що фірма виконає вчасно перший, другий, третій замовлення позначимо відповідно . Якщо для пошуку ймовірності застосувати теорему 2.1 складання можливостей, то отримаємо . Імовірність події виявилася більшою за одинку, що неможливо. Це тим, що події є спільними. Справді, виконання терміном першого замовлення виключає виконання терміном двох інших.

Сформулюємо теорему складання ймовірностей у разі двох спільних подій (враховуватиметься ймовірність їхньої спільної появи).

Теорема 2.2. Імовірність суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих двох подій без ймовірності їхньої спільної появи:

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність

Розрізняють події залежні та незалежні. Дві події називаються незалежними, якщо поява одного з них не змінює ймовірність появи іншого. Наприклад, якщо у цеху працюють дві автоматичні лінії, за умовами виробництва не взаємопов'язані, то зупинки цих ліній є незалежними подіями.

приклад 3.Монета кинута двічі. Імовірність появи " герба " у першому випробуванні ( подія ) залежить від появи чи появи " герба " у другому випробуванні ( подія ). У свою чергу, можливість появи "герба" ​​у другому випробуванні не залежить від результату першого випробування. Таким чином, події та незалежні.

Декілька подій називаються незалежними у сукупностіякщо будь-яка з них не залежить від будь-якої іншої події і від будь-якої комбінації інших.

Події називаються залежнимиякщо одне з них впливає на ймовірність появи іншого. Наприклад, дві виробничі установки пов'язані єдиним технологічним циклом. Тоді ймовірність виходу з експлуатації однієї з них залежить від того, в якому стані знаходиться інша. Імовірність однієї події, обчислена у припущенні здійснення іншої події, називається умовною ймовірністюподії та позначається.

Умову незалежності події від події записують у вигляді, а умова її залежності - у вигляді. Розглянемо приклад обчислення умовної ймовірності події.

приклад 4.У ящику знаходяться 5 різців: два зношені і три нові. Виробляється два послідовні вилучення різців. Визначити умовну ймовірність появи зношеного різця при другому витягу за умови, що вилучений вперше різець у ящик не повертається.

Рішення.Позначимо вилучення зношеного різця у разі, а - вилучення нового. Тоді. Оскільки вилучений різець у ящик не повертається, змінюється співвідношення між кількостями зношених і нових різців. Отже, ймовірність вилучення зношеного різця у разі залежить від цього, яке подія здійснилося перед цим.

Позначимо подію, що означає вилучення зношеного різця у другому випадку. Імовірності цієї події можуть бути такими:

Отже, ймовірність події залежить від того, чи відбулася подія.

Формули множення ймовірностей

Нехай події та незалежні, причому ймовірності цих подій відомі. Знайдемо ймовірність поєднання подій та .

Теорема 2.3. Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Наслідок 2.1. Імовірність спільної появи кількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Приклад 5.Три ящики містять по 10 деталей. У першому ящику - 8 стандартних деталей, у другому - 7, у третій - 9. З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три вийняті деталі виявляться стандартними.

Рішення.Імовірність те, що з першого ящика взято стандартну деталь (подія ), . Імовірність те, що з другого ящика взято стандартну деталь (подія ), . Імовірність те, що з третього ящика взято стандартну деталь (подія ), . Так як події , і незалежні в сукупності, то ймовірність (по теоремі множення)

Нехай події та залежні, причому ймовірності та відомі. Знайдемо ймовірність твору цих подій, тобто ймовірність того, що з'явиться і подія, і подія.

Теорема 2.4. Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену у припущенні, що перша подія вже настала:

Наслідок 2.2. Імовірність спільної появи кількох залежних подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовні ймовірності решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з'явилися.

Приклад 6.В урні знаходяться 5 білих куль, 4 чорні та 3 сині. Кожне випробування полягає в тому, що навмання витягують одну кулю, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з'явиться біла куля (подія), при другому – чорна (подія) і при третьому – синя (подія).

Рішення.Ймовірність появи білої куліпри першому випробуванні. Імовірність появи чорної кулі при другому випробуванні, обчислена в припущенні, що при першому випробуванні з'явилася біла куля, тобто умовна ймовірність. Ймовірність появи синьої куліпри третьому випробуванні, обчислена в припущенні, що при першому випробуванні з'явилася біла куля, а при другому - чорна, . Шукана ймовірність

Формула повної ймовірності

Теорема 2.5. Якщо подія настає лише за умови появи однієї з подій, що утворюють повну групу несумісних подій, то ймовірність події дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з подій на відповідну умовну ймовірність події:

При цьому події називаються гіпотезами, а ймовірності – апріорними. Ця формула називається формулою ймовірності.

Приклад 7.На складальний конвеєр надходять деталі з трьох верстатів. Продуктивність верстатів не однакова. На першому верстаті виготовляють 50% всіх деталей, на другому – 30%, на третьому – 20%. Ймовірність якісного складання при використанні деталі, виготовленої на першому, другому та третьому верстаті, відповідно 0,98, 0,95 і 0,8, Визначити ймовірність того, що вузол, що сходить з конвеєра, якісний.

Рішення.Позначимо подію, що означає придатність зібраного вузла; , і - події, що означають, що деталі зроблено відповідно на першому, другому та третьому верстаті. Тоді

Шукана ймовірність

Формула Байєса

Ця формула застосовується при вирішенні практичних завдань, коли подія , що з'являється спільно з будь-яким з подій , що утворюють повну групу подій, відбулося і потрібно провести кількісну переоцінку ймовірностей гіпотез . Апріорні (до досвіду) імовірності відомі. Потрібно обчислити апостеріорні (після досвіду) ймовірності, тобто, по суті, потрібно знайти умовні ймовірності. Для гіпотези формула Байєса має такий вигляд.

Визначення 1. Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність появи події А залежить від того, чи відбулася подія В. Імовірність того, що сталася подія А за умови, що сталася подія В, будемо позначати і називати умовною ймовірністю події А за умови Ст.

Приклад 1. У урні знаходиться 3 білі кулі та 2 чорні. З урни виймається одна куля (перше виймання), а потім друга (друге виймання). Подія - поява білої кулі при першому вийманні. Подія А - поява білої кулі при другому вийманні.

Очевидно, що ймовірність події А, якщо подія відбулася, буде

Імовірність події Л за умови, що подія В не відбулася (за першого виймання з'явилася чорна куля), буде

Бачимо, що

Теорема 1. Імовірність поєднання двох подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну вірогідність другого, обчислену за умови, що перша подія сталася, тобто.

Доведення. Доказ наведемо для подій, які зводяться до схеми урн (т. е. у разі, коли застосовується класичне визначення ймовірності).

Нехай у урні куль, причому білих, чорних. Нехай серед білих куль куль із позначкою «зірочка», інші чисто білі (рис. 408).

З урни виймається одна куля. Якою є ймовірність події вийняти білу кулю з позначкою «зірочка»?

Нехай В - подія, що складається в появі (білої кулі, А - подія, що полягає в появі кулі з позначкою «зірочка». Очевидно,

Імовірність появи білої кулі з «зірочкою за умови, що з'явилася біла куля, буде

Імовірність появи білої кулі зі «зірочкою» є Р (А та В). Очевидно,

Підставляючи в (5) ліві частини виразів (2), (3) та (4), отримуємо

Рівність (1) підтверджено.

Якщо події, що розглядаються, не укладаються в класичну - схему, то формула (1) служить для визначення умовної ймовірності. А саме, умовна ймовірність події А за умови здійснення події В визначається за допомогою

Зауваження 1. Застосуємо останню формулу до виразу:

У рівностях (1) і (6) ліві частини рівні, оскільки це та сама ймовірність, отже, рівні й праві. Тому можемо написати рівність

Приклад 2. Для випадку прикладу 1, наведеного на початку цього параграфа, маємо За формулою (1) отримуємо ймовірність Р(А та В) легко обчислюється і безпосередньо.

Приклад 3. Можливість виготовлення придатного виробу даним верстатом дорівнює 0,9. Імовірність появи виробу 1-го ґатунку серед придатних виробів є 0,8. Визначити можливість виготовлення виробу 1-го сорту даним верстатом.

Рішення. Подія В – виготовлення придатного виробу даним верстатом, подія А – поява виробу 1-го ґатунку. Тут Підставляючи у формулу (1), отримуємо ймовірність

Теорема 2. Якщо подія А може здійснитися тільки при виконанні однієї з подій, що утворюють повну групу несумісних подій, то ймовірність події А обчислюється за формулою

Формулд (8) називається формулою ймовірності. Доведення. А може статися при виконанні будь-якої з поєднаних подій

Отже, за теоремою про складання ймовірностей отримуємо

Замінюючи доданки правої частини за формулою (1), отримаємо рівність (8).

Приклад 4. За метою зроблено три послідовні постріли. Імовірність влучення при першому пострілі при другому при третьому При одному попаданні ймовірність ураження мети при двох попаданнях, при трьох попаданнях Визначити ймовірність пфаженйя цілі при трьох пострілах (подія А).

Рішення. Розглянемо повну групу несумісних подій:

Було одне влучення;