Довести, що події незалежні. Залежні та незалежні події. Вирішити завдання на множення ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

Залежність подій розуміється на імовірнісномусенсі, а чи не у функціональному. Це означає, що за появою одного з залежних подійне можна однозначно судити про появу іншого. Імовірнісна залежність означає, що поява однієї із залежних подій лише змінює ймовірність появи іншого. Якщо ймовірність у своїй не змінюється, то події вважаються незалежними.

Визначення: Нехай - довільний імовірнісний простір, - деякі випадкові події Кажуть що подія Ане залежить від події У , якщо його умовна ймовірність збігається з безумовною ймовірністю:

.

Якщо , то кажуть, що подія Азалежить від події У.

Поняття незалежності симетричне, тобто якщо подія Ане залежить від події У,те і подія Уне залежить від події А. Справді, нехай . Тоді . Тому кажуть просто, що події Аі Унезалежні.

З правила множення ймовірностей випливає таке симетричне визначення незалежності подій.

Визначення: Події Аі В,визначені на тому самому імовірнісному просторі, називаються незалежними, якщо

Якщо , то події Аі Уназиваються залежними.

Зазначимо, що це визначення справедливе і у випадку, коли або .

Властивості незалежних подій.

1. Якщо події Аі Ує незалежними, то незалежними є такі пари подій: .

▲ Доведемо, наприклад, незалежність подій . Уявимо подію Ау вигляді: . Оскільки події є несумісними, то , а через незалежність подій Аі Уотримуємо, що . Звідси, що означає незалежність. ■

2. Якщо подія Ане залежить від подій В 1і В 2, які є несумісними () , та подія Ане залежить і від суми.

▲ Дійсно, використовуючи аксіому адитивності ймовірності та незалежність події Авід подій В 1і В 2, маємо:

Зв'язок між поняттями незалежності та несумісності.

Нехай Аі У- будь-які події, що мають ненульову ймовірність: так що . Якщо при цьому події Аі Ує несумісними (), те й тому рівність неспроможна мати місце ніколи. Таким чином, несумісні події є залежними.

Коли розглядають більше двох подій одночасно, то їхня попарна незалежність недостатньо характеризує зв'язок між подіями всієї групи. І тут вводиться поняття незалежності разом.

Визначення: Події , визначені на тому самому імовірнісному просторі , називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-кого 2 £ m £ nта будь-якої комбінації індексів справедлива рівність:

При m = 2із незалежності в сукупності випливає попарна незалежність подій. Назад неправильно.

приклад. (Бернштейн С.М.)

Випадковий експеримент полягає у підкиданні правильного чотиригранника (тетраедра). Спостерігається грань, що випала донизу. Грані тетраедра пофарбовані в такий спосіб: 1 грань - біла, 2 грань - чорна,
3 грань – червона, 4 грань – містить усі кольори.

Розглянемо події:

А= (Випадання білого кольору); B= (Випадання чорного кольору);

C= (Випадання червоного кольору).

Тоді ;

Отже, події А, Уі Зє попарно незалежними.

Проте, .

Тому події А, Уі Знезалежними в сукупності є.

На практиці, як правило, незалежність подій не встановлюють, перевіряючи її за визначенням, а навпаки: вважають події незалежними з будь-яких зовнішніх міркувань чи з урахуванням обставин випадкового експерименту, і використовують незалежність знаходження ймовірностей твори подій.

Теорема (множення ймовірностей для незалежних подій).

Якщо події, визначені на тому самому імовірнісному просторі, є незалежними в сукупності, то ймовірність їх твору дорівнює твору ймовірностей:

▲ Доказ теореми випливає із визначення незалежності подій у сукупності або із загальної теореми множення ймовірностей з урахуванням того, що при цьому

Приклад 1 (типовий приклад перебування умовних ймовірностей, поняття незалежності, теорему складання ймовірностей).

Електрична схема складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірності відмов кожного з елементів відповідно дорівнюють.

1) Знайти можливість відмови схеми.

2) Відомо, що схема відмовила.

Яка ймовірність того, що при цьому відмовив:

а) 1-й елемент; б) третій елемент?

Рішення.Розглянемо події = (Відмовив k-й елемент), та подія А= (Відмовила схема). Тоді подія Апредставляється у вигляді:

.

1) Оскільки події і несумісними не є, то аксіома адитивності ймовірності Р3) не застосовна і для знаходження ймовірності слід використовувати загальну теорему складання ймовірностей, відповідно до якої

Навряд чи багато людей замислюються, чи можна прорахувати події, які тією чи іншою мірою випадкові. Висловлюючись простими словамиЧи реально дізнатися, яка сторона кубика випаде наступного разу. Саме цим питанням задалися два великих вчених, які започаткували таку науку, як теорія ймовірності, ймовірність події в якій вивчається досить широко.

Зародження

Якщо спробувати дати визначення такому поняття, як теорія ймовірності, то вийде таке: це один із розділів математики, який займається вивченням сталості випадкових подій. Ясна річ, це поняття до ладу не розкриває всю суть, тому необхідно розглянути її детальніше.

Хотілося б розпочати із творців теорії. Як було вище згадано, їх було двоє, і саме вони одні з перших спробували з використанням формул і математичних обчислень прорахувати результат тієї чи іншої події. Загалом же зачатки цієї науки виявлялися ще в середньовіччі. На той час різні мислителі та вчені намагалися проаналізувати азартні ігри, такі як рулетка, кістки і так далі, тим самим встановити закономірність та відсоткове співвідношення випадання того чи іншого числа. Фундамент був закладений у сімнадцятому столітті саме вищезгаданими вченими.

Спочатку їх праці не можна було віднести до великих досягнень у цій галузі, адже все, що вони зробили, це були емпіричні факти, а досліди ставилися наочно, без використання формул. Згодом вдалося досягти великих результатів, які з'явилися внаслідок спостереження за киданням кісток. Саме цей інструмент допоміг вивести перші виразні формули.

Однодумці

Не можна не згадати про таку людину, як Християн Гюйгенс, у процесі вивчення теми, що зветься "теорія ймовірності" (ймовірність події висвітлюється саме в цій науці). Ця особа дуже цікава. Він, як і представлені вище вчені, намагався як математичних формул вивести закономірність випадкових подій. Примітно, що робив він це разом із Паскалем і Ферма, тобто всі його праці не перетиналися з цими умами. Гюйгенс вивів

Цікавим є той факт, що його робота вийшла задовго до результатів праць першовідкривачів, а точніше, на двадцять років раніше. Серед позначених понять найвідомішою стали:

• поняття ймовірності як величини шансу;
• математичне очікування для дискретних випадків;
• теореми множення та складання ймовірностей.

Також не можна не згадати який теж зробив вагомий внесок у вивченні проблеми. Проводячи свої ні від кого не залежать випробування, він зумів надати доказ закону великих чисел. У свою чергу вчені Пуассон і Лаплас, які працювали на початку дев'ятнадцятого століття, змогли довести початкові теореми. Саме з цього моменту для аналізу помилок під час спостережень почали використовувати теорію ймовірностей. Стороною обійти цю науку змогли і російські вчені, а точніше Марков, Чебишев і Дяпунов. Вони, виходячи з виконаної роботи великих геніїв, закріпили цей предмет як розділ математики. Працювали ці діячі вже наприкінці дев'ятнадцятого століття, і завдяки їхньому внеску були доведені такі явища, як:

• закон великих чисел;
• теорія ланцюгів Маркова;
• центральна гранична теорема.

Отже, з історією зародження науки та з основними персонами, що вплинули на неї, все більш-менш зрозуміло. Зараз настав час конкретизувати всі факти.

Основні поняття

Перед тим як торкатися законів та теорем, варто вивчити основні поняття теорії ймовірностей. Подія у ній займає чільну роль. Ця тема досить об'ємна, але без неї не вдасться розібратися в усьому іншому.

Подія теоретично ймовірності - це будь-яка сукупність результатів проведеного досвіду. Понять цього явища існує так мало. Так, учений Лотман, який працює в цій галузі, висловився, що в цьому випадку йдеться про те, що «відбулося, хоча могло й не статися».

Випадкові події (теорія ймовірності приділяє їм особливу увагу) - це поняття, яке має на увазі абсолютно будь-яке явище, що має можливість відбутися. Або ж, навпаки, цей сценарій може не статися при виконанні багатьох умов. Також варто знати, що захоплюють весь обсяг явищ, що відбулися, саме випадкові події. Теорія ймовірності свідчить про те, що це умови можуть повторюватися постійно. Саме їх проведення отримало назву "досвід" або "випробування".

Достовірна подія - це те явище, яке в цьому випробуванні повністю відбудеться. Відповідно, неможлива подія – це та, яка не станеться.

Поєднання пари дій (умовно випадок A та випадок B) є явище, яке відбувається одночасно. Вони позначаються як AB.

Сума пар подій А і В - це С, тобто, якщо хоча б одне з них відбудеться (А або В), то вийде С. Формула описуваного явища записується так: С = А + В.

Несумісні події теорії ймовірності мають на увазі, що два випадки взаємно виключають один одного. Одночасно вони в жодному разі не можуть статися. Спільні події теорії ймовірності - це їх антипод. Тут мається на увазі, що й сталося А, воно ніяк не перешкоджає У.

Протилежні події (теорія ймовірності розглядає їх дуже докладно) прості розуміння. Найкраще розібратися з ними порівняно. Вони майже такі самі, як і несумісні події теорії ймовірності. Але їхня відмінність полягає в тому, що одне з безлічі явищ у будь-якому випадку має відбутися.

Рівноможливі події - це дії, можливість повторення яких дорівнює. Щоб було зрозуміліше, можна уявити кидання монети: випадання однієї з її сторін рівноймовірне випадання іншої.

Сприятливу подію легше розглянути з прикладу. Припустимо, є епізод В та епізод А. Перше – це кидок грального кубиказ появою непарного числа, а друге – поява числа п'ять на кубику. Тоді виходить, що А сприяє В.

Незалежні події в теорії ймовірності проектуються лише на два і більше випадків і мають на увазі незалежність будь-якої дії від іншого. Наприклад, А – випадання решки при киданні монети, а В – діставання валета з колоди. Вони і є незалежні подіїтеоретично ймовірності. Із цим моментом стало зрозуміліше.

Залежні події теорії ймовірності також припустимі лише їх безлічі. Вони мають на увазі залежність одного від іншого, тобто явище може статися тільки в тому випадку, якщо А вже сталося або ж, навпаки, не сталося, коли це - головна умова для Ст.

Результат випадкового експерименту, що з одного компонента, - це елементарні події. Теорія ймовірності пояснює, що це таке явище, яке відбулося лише один раз.

Основні формули

Отже, вище було розглянуто поняття " подія " , " теорія ймовірності " , визначення основним термінам цієї науки також було дано. Зараз настав час ознайомитися безпосередньо з важливими формулами. Ці висловлювання математично підтверджують все основні поняття у такому складному предметі, як теорія ймовірності. Імовірність події тут грає величезну роль.

Почати краще з основних І перед тим, як приступити до них, варто розглянути, що це таке.

Комбінаторика – це насамперед розділ математики, він займається вивченням величезної кількостіцілих чисел, а також різних перестановок як самих чисел, так і їх елементів, різних даних тощо, які ведуть до появи низки комбінацій. Окрім теорії ймовірності, ця галузь важлива для статистики, комп'ютерної науки та криптографії.

Отже, тепер можна переходити до подання самих формул та їх визначення.

Першою буде вираз для числа перестановок, виглядає воно так:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Застосовується рівняння лише тому випадку, якщо елементи відрізняються лише порядком розташування.

Тепер буде розглянуто формулу розміщення, виглядає вона так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Це вираз застосовно вже не тільки до порядку розміщення елемента, але і до його складу.

Третє рівняння з комбінаторики, і воно останнє, називається формулою для числа поєднань:

C_n^m = n! : ((n - m))! : m!

Поєднанням називаються вибірки, які не впорядковані відповідно до них і застосовується дане правило.

З формулами комбінаторики вдалося розібратися легко, тепер можна перейти до класичного визначення ймовірностей. Виглядає цей вираз наступним чином:

У цій формулі m - це кількість умов, що сприяють події A, а n - число всіх рівноможливих і простих результатів.

Існує велика кількість висловів, у статті не будуть розглянуті всі, але будуть порушені найважливіші з них такі, як, наприклад, ймовірність суми подій:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ця теорема для складання лише несумісних подій;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а це для складання тільки сумісних.

Імовірність твору подій:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ця теорема для незалежних подій;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а ця для залежних.

Закінчить перелік формула подій. Теорія ймовірностей розповідає нам про теорему Баєса, яка виглядає так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

У цій формулі H 1 , H 2 ..., H n - це повна група гіпотез.

Приклади

Якщо ретельно вивчити будь-який розділ математики, він не обходиться без вправ і зразків рішень. Так і теорія ймовірності: події, приклади тут є невід'ємним компонентом, що підтверджує наукові викладення.

Формула для числа перестановок

Припустимо, в картковій колодіє тридцять карток, починаючи з номіналу один. Далі питання. Скільки є способів скласти колоду так, щоб карти з номіналом один і два не були розташовані поряд?

Завдання поставлене, тепер давайте перейдемо до його вирішення. Для початку потрібно визначити число перестановок із тридцяти елементів, для цього беремо подану вище формулу, виходить P_30 = 30!.

Виходячи з цього правила, ми дізнаємося, скільки є варіантів скласти колоду по-різному, але нам необхідно відняти з них ті, в яких перша та друга карта будуть поруч. Для цього почнемо з варіанта коли перша знаходиться над другою. Виходить, що перша карта може зайняти двадцять дев'ять місць - з першого по двадцять дев'яте, а друга карта з другого по тридцяте, виходить лише двадцять дев'ять місць для пари карт. У свою чергу решта може приймати двадцять вісім місць, причому в довільному порядку. Тобто для перестановки двадцяти восьми карток є двадцять вісім варіантів P_28 = 28!

У результаті виходить, що якщо розглядати рішення, коли перша карта знаходиться над другою, зайвих можливостей вийде 29⋅28! = 29!

Використовуючи той самий метод, потрібно обчислити кількість надлишкових варіантів у тому випадку, коли перша карта перебуває під другий. Виходить також 29 ⋅ 28! = 29!

З цього випливає, що зайвих варіантів 2 ⋅ 29!, тоді як необхідних способів збирання колоди 30! - 2 ⋅ 29!. Залишається тільки порахувати.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Тепер потрібно перемножувати між собою всі числа від одного до двадцяти дев'яти, після чого наприкінці помножити всі на 28. Відповідь виходить 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Рішення прикладу. Формула для розміщення

У цій задачі необхідно з'ясувати, скільки є способів, щоб поставити п'ятнадцять томів на одній полиці, але за умови, що всього томів тридцять.

У цьому завдання рішення трохи простіше, ніж у попередній. Використовуючи вже відому формулу, необхідно обчислити сумарну кількість розташувань із тридцяти томів по п'ятнадцять.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720 36

Відповідь, відповідно, дорівнюватиме 202 843 204 931 727 360 000.

Тепер візьмемо завдання трохи важче. Необхідно дізнатися, скільки є способів розставити тридцять книг на двох книжкових полицях, За умови, що на одній полиці можуть бути лише п'ятнадцять томів.

Перед початком рішення хотілося б уточнити, що деякі завдання вирішуються кількома шляхами, так і в цьому є два способи, але в обох застосовано одну й ту саму формулу.

У цьому завдання можна взяти відповідь із попередньої, адже там ми вирахували, скільки разів можна заповнити полицю на п'ятнадцять книг по-різному. Вийшло A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Другу ж полицю розрахуємо за формулою перестановки, адже до неї міститься п'ятнадцять книг, тоді як всього залишається п'ятнадцять. Використовуємо формулу P_15 = 15!

Виходить, що в сумі буде A_30^15 ⋅ P_15 способів, але, крім цього, добуток усіх чисел від тридцяти до шістнадцяти треба буде помножити на добуток чисел від одного до п'ятнадцяти, в результаті вийде добуток всіх чисел від одного до тридцяти, тобто відповідь дорівнює 30!

Але це завдання можна вирішити і по-іншому – простіше. Для цього можна припустити, що є одна полиця на тридцять книг. Всі вони розставлені на цій площині, але так як умова вимагає, щоб полиць було дві, то ми одну довгу пиляємо навпіл, виходить дві по п'ятнадцять. З цього виходить що варіантів розміщення може бути P_30 = 30!.

Рішення прикладу. Формула для числа поєднань

Наразі буде розглянуто варіант третього завдання з комбінаторики. Потрібно дізнатися, скільки способів є, щоб розставити п'ятнадцять книг за умови, що вибирати потрібно з тридцяти абсолютно однакових.

Для вирішення буде, звичайно ж, застосовано формулу для числа поєднань. З умови стає зрозумілим, що порядок однакових п'ятнадцяти книг не є важливим. Тому спочатку потрібно з'ясувати загальну кількість поєднань із тридцяти книг по п'ятнадцять.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

От і все. Використовуючи цю формулу, у найкоротший час вдалося вирішити таке завдання, відповідь, відповідно, дорівнює 155117520.

Рішення прикладу. Класичне визначення ймовірності

За допомогою формули, зазначеної вище, можна знайти відповідь у нескладному завданні. Але це допоможе наочно побачити та простежити хід дій.

У задачі дано, що в урні є десять абсолютно однакових кульок. З них чотири жовті та шість синіх. З урни береться одна кулька. Необхідно дізнатися ймовірність діставання синього.

Для вирішення завдання необхідно позначити діставання синьої кульки подією А. Цей досвідможе мати десять результатів, які, своєю чергою, елементарні і рівноможливі. У той же час з десяти шість є сприятливими для події А. Вирішуємо за формулою:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Застосувавши цю формулу, ми дізналися, що можливість діставання синьої кульки дорівнює 0,6.

Рішення прикладу. Ймовірність суми подій

Наразі буде представлений варіант, який вирішується з використанням формули ймовірності суми подій. Отже, в умові дано, що є дві скриньки, в першій знаходиться одна сіра і п'ять білих кульок, а в другій - вісім сірих і чотири білі кулі. У результаті з першого та другого короба взяли по одному з них. Необхідно дізнатися, який шанс того, що кульки, що дістаються, будуть сірого і білого кольору.

Щоб вирішити це завдання, необхідно позначити події.

• Отже, А - взяли сіру кульку з першого ящика: P(A) = 1/6.
• А' - взяли білу кульку також з першої скриньки: P(A") = 5/6.
• В - витягли сіру кульку вже з другого короба: P(B) = 2/3.
• В' - взяли сіру кульку з другого ящика: P(B") = 1/3.

За умовою завдання необхідно, щоб трапилося одне з явищ: АВ або А'В. Використовуючи формулу, отримуємо: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Наразі була використана формула з множення ймовірності. Далі, щоб дізнатися відповідь, необхідно застосувати рівняння їхнього складання:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ось так, використовуючи формулу, можна вирішувати такі завдання.

Підсумок

У статті було представлено інформацію на тему " Теорія ймовірності " , ймовірність події у якій грає найважливішу роль. Звичайно ж, не все було враховано, але виходячи з представленого тексту, можна теоретично ознайомитися з даним розділом математики. Розглянута наука може стати в нагоді у професійному справі, а й у повсякденному житті. З її допомогою можна прорахувати будь-яку можливість будь-якої події.

У тексті торкнулися також знаменні дати історія становлення теорії ймовірності як науки, і прізвища людей, чиї праці було у неї вкладено. Отак людська цікавість призвела до того, що люди навчилися прораховувати навіть випадкові події. Колись вони просто зацікавилися цим, а сьогодні про це вже знають усі. І ніхто не скаже, що чекає нас у майбутньому, які ще геніальні відкриття, пов'язані з аналізованою теорією, будуть здійснені. Але одне можна сказати точно – дослідження на місці не стоять!

Загальна постановка задачі: відомі ймовірності деяких подій, а потрібно обчислити ймовірності інших подій, які пов'язані з даними подіями. У цих завданнях виникає необхідність у таких діях над ймовірностями, як додавання та множення ймовірностей.

Наприклад, на полюванні здійснено два постріли. Подія A- попадання в качку з першого пострілу, подія B- Попадання з другого пострілу. Тоді сума подій Aі B- попадання з першого або другого пострілу або двох пострілів.

Завдання іншого типу. Дано кілька подій, наприклад, монета підкидається тричі. Потрібно знайти ймовірність того, що або всі три рази випаде герб, або те, що герб випаде хоча б один раз. Це завдання на збільшення ймовірностей.

Складання ймовірностей несумісних подій

Додавання ймовірностей використовується тоді, коли потрібно обчислити ймовірність об'єднання чи логічної суми випадкових подій.

Суму подій Aі Bпозначають A + Bабо A ∪ B. Сумою двох подій називається подія, яка настає тоді і лише тоді, коли настає хоча б одна з подій. Це означає, що A + B– подія, яка настає тоді і лише тоді, коли під час спостереження сталася подія Aабо подія B, або одночасно Aі B.

Якщо події Aі Bвзаємно несумісні та його ймовірності дані, то ймовірність те, що в результаті одного випробування відбудеться одна з цих подій, розраховують, використовуючи додавання ймовірностей.

Теорема складання ймовірностей.Імовірність того, що відбудеться одна з двох взаємно несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Наприклад, на полюванні зроблено два постріли. Подія А- попадання в качку з першого пострілу, подія У- Попадання з другого пострілу, подія ( А+ У) – попадання з першого чи другого пострілу чи з двох пострілів. Отже, якщо дві події Аі У- несумісні події, то А+ У- Настання хоча б однієї з цих подій або двох подій.

приклад 1.У ящику 30 м'ячиків однакових розмірів: 10 червоних, 5 синіх та 15 білих. Обчислити ймовірність того, що не дивлячись буде взято кольоровий (не білий) м'ячик.

Рішення. Приймемо, що подія А– «взято червоний м'ячик», а подія У– «взято синій м'ячик». Тоді подія – «взято кольоровий (не білий) м'ячик». Знайдемо ймовірність події А:

та події У:

Події Аі У- Взаємно несумісні, тому що якщо взято один м'ячик, то не можна взяти м'ячики різних кольорів. Тому використовуємо складання ймовірностей:

Теорема складання ймовірностей для кількох несумісних подій.Якщо події становлять безліч подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1:

Сума ймовірностей протилежних подій також дорівнює 1:

Протилежні події утворюють безліч подій, а ймовірність повної множини подій дорівнює 1.

Імовірності протилежних подій зазвичай позначають малими літерами pі q. Зокрема,

з чого випливають такі формули ймовірності протилежних подій:

приклад 2.Ціль у тирі розділена на 3 зони. Імовірність того, що якийсь стрілець вистрілить у ціль у першій зоні дорівнює 0,15, у другій зоні – 0,23, у третій зоні – 0,17. Знайти ймовірність того, що стрілець потрапить у ціль і ймовірність того, що стрілок потрапить повз ціль.

Рішення: Знайдемо ймовірність того, що стрілок потрапить у ціль:

Знайдемо ймовірність того, що стрілець потрапить повз ціль:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Складання ймовірностей взаємно спільних подій

Дві випадкові події називаються спільними, якщо наступ однієї події не виключає настання другої події в тому самому спостереженні. Наприклад, при киданні гральної кістки подією Авважається випадання числа 4, а подією У- Випадання парного числа. Оскільки число 4 є парним числом, ці дві події сумісні. У практиці зустрічаються завдання щодо розрахунку ймовірностей настання однієї з взаємно спільних подій.

Теорема складання можливостей для спільних подій.Імовірність того, що настане одна із спільних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, з якої віднято ймовірність загального настання обох подій, тобто добуток ймовірностей. Формула ймовірностей спільних подій має такий вигляд:

Оскільки події Аі Усумісні, подія А+ Унастає, якщо настає одна з трьох можливих подій: або АВ. Відповідно до теореми складання несумісних подій, обчислюємо так:

Подія Анастане, якщо настане одна з двох несумісних подій: або АВ. Однак ймовірність настання однієї події з кількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей усіх цих подій:

Аналогічно:

Підставляючи вирази (6) і (7) у вираз (5), отримуємо формулу ймовірності для спільних подій:

При використанні формули (8) слід враховувати, що події Аі Уможуть бути:

• взаємно незалежними;
• взаємно залежними.

Формула ймовірності для взаємно незалежних подій:

Формула ймовірності для взаємозалежних подій:

Якщо події Аі Унесумісні, їх збіг є неможливим випадком і, таким чином, P(AB) = 0. Четверта формула ймовірності для несумісних подій така:

приклад 3.На автоперегонах при заїзді на першій машині можливість перемогти, при заїзді на другій машині. Знайти:

• ймовірність того, що переможуть обидві автомашини;
• ймовірність того, що переможе хоча б одна машина;

1) Імовірність того, що переможе перша автомашина, не залежить від результату другої автомашини, тому події А(переможе перша автомашина) та У(переможе друга автомашина) – незалежні події. Знайдемо ймовірність того, що переможуть обидві машини:

2) Знайдемо ймовірність того, що переможе одна з двох автомашин:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Вирішити завдання на складання ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Впадають дві монети. Подія A- Випадання герба на першій монеті. Подія B- Випадання герба на другій монеті. Знайти ймовірність події C = A + B .

Розмноження ймовірностей

Множення ймовірностей використовують, коли слід обчислити ймовірність логічного добутку подій.

При цьому випадкові події мають бути незалежними. Дві події називаються взаємно незалежними, якщо настання однієї події не впливає на ймовірність настання другої події.

Теорема множення можливостей для незалежних подій.Імовірність одночасного наступу двох незалежних подій Аі Удорівнює добутку ймовірностей цих подій і обчислюється за такою формулою:

Приклад 5.Монету кидають тричі поспіль. Знайти ймовірність, що всі три рази випаде герб.

Рішення. Імовірність того, що при першому киданні монети випаде герб, вдруге, втретє. Знайдемо ймовірність того, що всі три рази випаде герб:

Вирішити завдання на множення ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 6.Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі, після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів грані від неграних не відрізняють. Яка ймовірність того, що після трьох ігору коробці не залишиться неграних м'ячів?

Приклад 7. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що з літер вийде слово "кінець".

Приклад 8.З повної колодикарт (52 листи) виймаються відразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

Приклад 9.Те саме завдання, що у прикладі 8, але кожна карта після виймання повертається в колоду.

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей, а також обчислювати добуток кількох подій - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей".

Імовірність того, що відбудеться хоча б одна з взаємно незалежних подій, можна обчислити шляхом віднімання з 1 добутку ймовірностей протилежних подій, тобто за формулою.

Незалежні події

При практичному застосуванні імовірнісно-статистичних методів прийняття рішень використовується поняття незалежності. Наприклад, при застосуванні статистичних методів управління якістю продукції говорять про незалежні вимірювання значень контрольованих параметрів у включених у вибірку одиниць продукції, про незалежність появи дефектів одного виду від появи дефектів іншого виду тощо. Незалежність випадкових подій розуміється на імовірнісних моделях у сенсі.

Визначення 2.Події Аі Уназиваються незалежними, якщо Р(АВ) = Р(А) Р(В).Декілька подій А, У, З, ... називаються незалежними, якщо ймовірність їх спільного здійснення дорівнює добутку ймовірностей здійснення кожного з них окремо: Р(АВС…) = Р(А)Р(У)Р(З)…

Це визначення відповідає інтуїтивному уявленню про незалежність: здійснення чи нездійснення однієї події не повинно впливати на здійснення чи нездійснення іншої. Іноді співвідношення Р(АВ) = Р(А) Р(У|A) = P(B)P(A|B), справедливе за P(A)P(B) > 0, називають також теоремою множення ймовірностей.

Твердження 1.Нехай події Аі Унезалежні. Тоді події та незалежні, події та Унезалежні, події Аі незалежні (тут - подія, протилежна А, і - подія, протилежна У).

Справді, з якості в) в (3) випливає, що з подій Зі D, Твір яких порожній, P(C+ D) = P(C) + P(D). Оскільки перетин АВі Упорожньо, а об'єднання є У, то Р(АВ) + Р(В) = Р(В).Оскільки А і В незалежні, то Р(В) = Р(В) - Р(АВ) = Р(В) - Р(А)Р(В) = Р(В)(1 - Р(А)).Зауважимо тепер, що із співвідношень (1) і (2) випливає, що Р() = 1 – Р(А).Значить, Р(В) = Р()Р(В).

Висновок рівності Р(А) = Р(А)Р()відрізняється від попереднього лише заміною усюди Ана У, а Уна А.

Для доказу незалежності і скористаємося тим, що події АВ, В, А,немає попарно загальних елементів, а сумі становлять весь простір елементарних подій. Отже, Р(АВ) + Р(В) + Р(А) + Р() = 1. Скориставшись раніше доведеними співвідношеннями, отримуємо, що Р(В)= 1 -Р(АВ) - Р(В)( 1 - Р(А)) - Р(А)( 1 - Р(В)) = ( 1 – Р(А))( 1 – Р(В)) = Р()Р(),що й потрібно було довести.

приклад 3.Розглянемо досвід, що полягає у киданні грального кубика, на гранях якого написані числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Вважаємо, що всі грані мають однакові шанси опинитися нагорі. Побудуємо відповідний ймовірнісний простір. Покажемо, що події «нагорі – грань із парним номером» та «нагорі – грань із числом, що ділиться на 3» є незалежними.

Розбір прикладу.Простір елементарних результатів складається з 6 елементів: «нагорі – грань із 1», «нагорі – грань із 2»,…, «нагорі – грань із 6». Подія "нагорі - грань з парним номером" складається з трьох елементарних подій - коли нагорі виявляється 2, 4 або 6. Подія "нагорі - грань з числом, що ділиться на 3" складається з двох елементарних подій - коли нагорі виявляється 3 або 6. Оскільки всі грані мають однакові шанси виявитися нагорі, то всі елементарні події повинні мати однакову ймовірність. Оскільки всього є 6 елементарних подій, кожна з них має ймовірність 1/6. За визначенням 1подія «нагорі – грань з парним номером» має ймовірність ½, а подія «нагорі – грань із числом, що ділиться на 3» - ймовірність 1/3. Добуток цих подій складається з однієї елементарної події «нагорі – грань з 6», а тому має ймовірність 1/6. Оскільки 1/6 = ½ х 1/3, то події, що розглядаються, є незалежними відповідно до визначення незалежності.

Якщо при настанні події ймовірність події не змінюється, то події і називаються незалежними.

Теорема:Імовірність спільної появи двох незалежних подій і (твори і ) дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Справді, оскільки події і незалежні, то
. І тут формула ймовірності твори подій і набуває вигляду.

Події
називаються попарно незалежнимиякщо незалежні будь-які два з них.

Події
називаються незалежними у сукупності (або просто незалежними)якщо незалежні кожні два з них і незалежні кожна подія і всі можливі твори інших.

Теорема:Імовірність твору кінцевого числа незалежних у сукупності подій
дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Проілюструємо відмінність у застосуванні формул ймовірності добутку подій для залежних та незалежних подій на прикладах

Приклад 1. Імовірність влучення в ціль першим стрільцем дорівнює 0,85, другим 0,8. Знаряддя зробили по одному пострілу. Яка ймовірність того, що в ціль потрапив хоча б один снаряд?

Рішення: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Оскільки постріли незалежні, то

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

Приклад 2. В урні знаходиться 2 червоні та 4 чорні кулі. З неї виймають поспіль 2 кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі червоні.

Рішення: 1 випадок. Подія А – поява червоної кулі при першому вийманні, подія – при другому. Подія С – поява двох червоних кульок.

P(C) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15

2 випадок. Перша вийнята куля повертається в кошик

P(C) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9

Формула повної ймовірності.

Нехай подія може статися лише з однією з несумісних подій
, що утворюють повну групу Наприклад, до магазину надходить та сама продукція від трьох підприємств і в різній кількості. Імовірність випуску неякісної продукції цих підприємствах різна. Випадковим чином відбирається один із виробів. Потрібно визначити ймовірність того, що цей виріб неякісний (подія ). Тут події
- Це вибір виробу з продукції відповідного підприємства.

У цьому випадку ймовірність події можна розглядати як суму творів подій
.

За теоремою складання ймовірностей несумісних подій отримуємо
. Використовуючи теорему множення ймовірностей, знаходимо

.

Отримана формула називається формулою повної ймовірності.

Формула Байєса

Нехай подія відбувається одночасно з одним із несумісних подій
, ймовірності яких
(
) відомі до досвіду ( ймовірності апріорі). Виробляється досвід, внаслідок якого зареєстровано появу події , причому відомо, що ця подія мала певні умовні ймовірності
(
). Потрібно знайти ймовірність подій
якщо відомо, що подія відбулося ( ймовірності апостеріорі).

Завдання полягає в тому, що, маючи нову інформацію (подія A відбулася), потрібно переоцінити ймовірність подій
.

На підставі теореми про ймовірність твору двох подій

.

Отримана формула має назву формули Байєса.

Основні поняття комбінаторики.

При вирішенні ряду теоретичних і практичних завдань потрібно з кінцевої множини елементів за заданими правилами складати різні комбінації та проводити підрахунок числа всіх можливих таких комбінацій. Такі завдання прийнято називати комбінаторними.

При вирішенні завдань комбінаторики використовують правила суми та добутку.