Головна/ Розвага

Випробування взяли презентація. Презентація на тему "Формула Бернуллі". ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Проводиться серія незалежних випробувань,
кожному з яких можливо 2 результати,
які умовно назвемо Успіх та Невдача.
Наприклад, студент складає 4 іспити, у кожному
з яких можливе 2 результати Успіх: студент
склав іспит і Невдача: не склав.

Імовірність Успіху в кожному випробуванні дорівнює
p. Імовірність Невдачі дорівнює q = 1-p.
Потрібно знайти ймовірність того, що в серії
з n випробувань успіх настане m разів
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
У кожному випадку успіх відбувається m разів, а
Невдача (n-m) разів.
Число
всіх
комбінацій
одно
числу
способів з n випробувань вибрати ті m,
яких був успіх, тобто. C m
n

Імовірність кожної такої комбінації щодо
теоремі
про
множенні
ймовірностей
складе Pmqn-m.
Оскільки ці комбінації несумісні, то
шукана ймовірність події Bm буде
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
âñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Відомо, якщо монета впаде орлом, то студент
йде в кіно, якщо монета впаде решкою

студентів. Яка ймовірність, що
1) троє з них опиняться на лекції
2) на лекції виявиться не менше 3 студентів
2) хоча б один із студентів потрапить на лекцію?

1) У цій задачі проводиться серія з n=5
незалежних випробувань. Назвемо Успіхом
похід на лекцію (випадання решки) та
Невдачею – похід у кіно (випадання герба).
p=q=1/2.
За формулою Бернуллі знаходимо ймовірність того,
що при 5 киданнях монети тричі станеться
успіх:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Щоб знайти ймовірність того, що при 5 киданнях
хоча б один раз монета випаде рішкою,
перейдемо до ймовірності протилежного
події - монета усі 5 разів випаде гербом:
Р5(0).
Тоді ймовірність буде: Р=1- Р5(0).
За формулою Бернуллі:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Тоді ймовірність шуканої події становитиме
P 1 0.03125 0,96875

Бернуллі
студент йде
у кіно, якщо монета впаде решкою – студент йде на
лекцію. Монету покинуло 5 студентів. Яке найбільше
Чи можлива кількість студентів, які йдуть на лекцію?
Ймовірність
виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2. Яке найбільше
ймовірна кількість квитків, що виграли?

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі

np q k np p

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Формула для найбільш ймовірної кількості успіхів
np q k np p
Якщо np-q– ціле число, то цьому інтервалі лежить 2
цілих числа. Обидва рівноймовірні.
Якщо np-q – неціле число, то цьому інтервалі лежить 1
ціле число

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,

– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5

студентів, які йдуть на лекцію?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
ймовірність, Pn(k)
Ймовірність числа студентів, які відвідали
лекцію
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
кількість студентів, k
4
5

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.

квитків?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
P10 (2) C 0, 2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
Ймовірність числа виграшних квитків
ймовірність, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
кількість квитків, k
7
8
9
10

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі

Укладено 10 договорів

виплатити страхову суму

одному з договорів

ніж за трьома договорами
г) знайти найбільш ймовірну кількість договорів, за
яким доведеться виплатити страхову суму

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
а) Знайти ймовірність того, що за трьома доведеться
виплатити страхову суму
0,201327

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
б) Страхову суму не доведеться виплачувати ні за
одному з договорів
0,107374

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
в) страхову суму доведеться виплатити не більше,
ніж за трьома договорами
0,753297

Якщо n велике, то використання формули
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
важко
Тому застосовуються наближені формули

Теорема: Якщо ймовірність настання події А
у кожному випробуванні близька до нуля,
а число незалежних випробувань n досить велике,
то ймовірність Pn(m) того, що в n незалежних випробуваннях
подія А настане m разів, приблизно дорівнює:
Pn (m)
m
m!
e
де λ=np
Ця формула називається формулою Пуассона (закон рідкісних подій)

Pn (m)
m
m!
e, np
Зазвичай наближену формулу Пуассона застосовують,
коли p<0,1, а npq<10.

Нехай відомо, що при виготовленні деякого препарату
шлюб (кількість упаковок, що не відповідають стандарту)
складає 0,2%. Оцінити приблизно ймовірність того, що
серді 1000 навмання вибраних упаковок виявляться три упаковки,
що не відповідають стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e,
np

пов'язано трохи більше 5 договорів.

Приклад У середньому по 1% договорів страхова компанія
виплачує страхову суму. Знайти ймовірність того, що з
100 договорів із настанням страхового випадку буде
пов'язано трохи більше 5 договорів.

Формула Бернуллі

Бєляєва Т.Ю. ДБПОУ КК «АМТ» м. Армавір Викладач математики

Один із засновників теорії ймовірностей та математичного аналізу

Іноземний член Паризької Академії наук (1699) та Берлінської академії наук (1701)

Старший брат Йоганна Бернуллі (найвідоміший представник сімейства Бернуллі)

Якоб Бернуллі (1654 – 1705)

швейцарський математик

Нехай проводиться п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність того, що відбудеться подія А, дорівнює р , А отже, ймовірність того, що воно не станеться, дорівнює q = 1 - p .

Потрібно знайти ймовірність того, що при п послідовних випробуваннях подія А відбудеться рівно т разів.

Шукану ймовірність позначимо р п ( т ) .

Очевидно, що

р 1 (1) = p, р 1 (0) = q

р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1

При двох випробуваннях:

можливі 4 результати:

р 2 (2) = р 2; р 2 (1) = 2р · q; р 2 (0) = q 2

р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1

При трьох випробуваннях:

можливі 8 результатів:

Отримуємо:

р 3 (2) = 3р 2 · q

р 3 (1) = 3pq 2

р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Завдання 1.

Монету кидають 8 разів. Яка ймовірність, що чотири рази випаде «герб»?

Завдання 2.

В урні 20 куль: 15 білих та 5 чорних. Вийняли поспіль 5 куль, причому кожна вийнята куля поверталася в урну перед вилученням наступної кулі. Знайти ймовірність того, що з п'яти вийнятих куль буде 2 білі.

Формули для знаходження ймовірності того, що в п випробуваннях подія настане :

а) менше т разів

р п (0) + … + р п (т-1)

б) більше т разів

р п (т+1) + … + р п (п)

в) не більше т разів

р п (0) + … + р п (т)

г) не менше т разів

р п (т) + … + р п (п)

Завдання 3.

Імовірність виготовлення на верстаті-автоматі нестандартної деталі дорівнює 0,02. Визначити ймовірність того, що серед удачу взятих шести деталей виявляться понад 4 стандартні.

Подія А - « більше 4-х стандартних деталей» (5 або 6) означає

« не більше 1-ї бракованої деталі» (0 або 1)

Нехай проводиться п незалежних випробувань. При кожному такому випробуванні подія А може статися чи не статися. Відома імовірність появи події А.

Потрібно знайти таке число μ (0, 1, …, n), для якого ймовірність Р n (μ) буде найбільшою.

Завдання 4.

Частка виробів вищого гатунку цьому підприємстві становить 31%. Чому дорівнює найімовірніше число виробів вищого гатунку у разі відбору партії з 75 виробів?

За умовою: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Завдання 6.

Дві стрілки стріляють по мішені. Імовірність промаху за одного пострілу для першого стрілка дорівнює 0,2, а другого – 0,4. Визначити найімовірніше число залпів, у яких нічого очікувати жодного влучення у мету, якщо стрілки зроблять 25 залпів.

За умовою: n = 25, p = 0,2 · 0,4 = 0,08, q = 0,92

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

Державний освітній заклад

вищої професійної освіти

«МАТИ» - РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. К.Е. ЦІОЛКОВСЬКОГО

Кафедра «Моделювання систем та інформаційні технології»

Повторення випробувань. Схема бернуллі

Методичні вказівки до практичних занять

з дисципліни «Вища математика»

Упорядники: Єгорова Ю.Б.

Мамонов І.М.

Москва 2006 введення

Методичні вказівки призначені для студентів денного та вечірнього відділення факультету №14 спеціальностей 150601, 160301, 230102. Вказівки виділяють основні поняття теми, визначають послідовність вивчення матеріалу. Велика кількість розглянутих прикладів допомагає у практичному освоєнні теми. Методичні вказівки є методичною основою для практичних занять та виконання індивідуальних завдань.

СХЕМА БЕРНУЛЛІ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛІ

Схема Бернуллі- схема повторних незалежних випробувань, за якої якась подія Аможе багаторазово повторюватися з постійною ймовірністю Р (А)= р .

Приклади випробувань, що проводяться за схемою Бернуллі: багаторазове підкидання монети або гральної кістки, виготовлення партії деталей, стрілянина по мішені тощо.

Теорема.Якщо ймовірність настання події Ау кожному випробуванні постійна і рівна р, то ймовірність того, що подія Анастане mраз на nвипробуваннях (байдуже в якій послідовності), можна визначити за формулою Бернуллі:

де q = 1 – p.

ПРИКЛАД 1.Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановленої норми, дорівнює р= 0,75. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.

РІШЕННЯ. Імовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожної з 6 діб постійна і дорівнює р= 0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії щодня також постійна і дорівнює q = 1р = 1  0,75 = 0,25.

Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює:

ПРИКЛАД 2.Стрілець робить по мішені три постріли. Імовірність попадання в ціль при кожному пострілі дорівнює р= 0,3. Визначити можливість, що вражена: а) одна мета; б) усі три мішені; в) жодної мішені; г) хоча одна мета; д) менше двох мішеней.

РІШЕННЯ. Імовірність попадання в ціль при кожному пострілі постійна і рівна р=0,75. Отже, ймовірність промаху дорівнює q = 1 р= 1 - 0,3 = 0,7. Загальна кількість проведених дослідів n=3.

а) Імовірність ураження однієї мішені при трьох пострілах дорівнює:

б) Імовірність ураження всіх трьох мішеней при трьох пострілах дорівнює:

в) Імовірність трьох промахів при трьох пострілах дорівнює:

г) Імовірність поразки хоча б однієї мішені при трьох пострілах дорівнює:

д) Імовірність ураження менше двох мішеней, тобто або однієї мішені, або жодної:

Локальна та інтегральна теореми муавра-лапласу

Якщо зроблено велику кількість випробувань, то обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі стає технічно складним, оскільки формула потребує дій над великими числами. Тому існують простіші наближені формули для обчислення ймовірностей при великих n. Ці формули називаються асимптотичними та визначаються теоремою Пуассона, локальною та інтегральною теоремою Лапласа.

Локальна теорема Муавра Лапласа. А Астанеться mраз на n n (n →∞ ), приблизно дорівнює:

де функція
а аргумент

Чим більше n, Тим точніше обчислення ймовірностей. Тому теорему Муавра-Лапласа доцільно застосовувати при npq  20.

f ( x ) складено спеціальні таблиці (див. додаток 1). При використанні таблиці необхідно мати на увазі властивості функції f(x) :

Функція f(x)є парною f(  x) = f(x) .

При х ∞ функція f(x) 0. Практично можна вважати, що вже при х>4 функція f(x) ≈0.

ПРИКЛАД 3.Знайти ймовірність того, що подія Анастане 80 разів у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи події Ау кожному випробуванні дорівнює р= 0,2.

РІШЕННЯ. За умовою n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Отже:

За таблицею визначимо значення функції f (0)=0,3989.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.Якщо ймовірність настання події Ау кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що подія Астанеться від m 1 до m 2 раз на n випробуваннях при досить великій кількості n (n →∞ ), приблизно дорівнює:

де
 інтеграл або функція Лапласа,

Для знаходження значень функції Ф( x ) складено спеціальні таблиці (наприклад, див. додаток 2). При використанні таблиці необхідно мати на увазі властивості функції Лапласа Ф(x) :

Функція Ф(x)є непарною Ф(  x)=  Ф(x) .

При х ∞ функція Ф(x) 0,5. Практично можна вважати, що вже при х>5 функція Ф(x) ≈0,5.

Ф (0)=0.

ПРИКЛАД 4.Імовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 деталей виявиться неперевіреним від 70 до 100 деталей.

РІШЕННЯ. За умовою n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q=0,8. Отже:

За таблицею, у якій наведено значення функції Лапласа, визначаємо:

Ф(x 1 ) = Ф(  1,25 )=  Ф( 1,25 )=  0,3944; Ф(x 2 ) = Ф( 2,5 )= 0,4938.

«Елементи математичної статистики» – довірчий інтервал. Наука. Класифікація гіпотез. Деталі виготовляються на різних верстатах. правила перевірки. Кореляційна залежність. Залежність. Сукупність значень критерію. Знайти довірчий інтервал. Розрахунок довірчих інтервалів за невідомої дисперсії. Нормальний розподіл.

«Вірогідність та математична статистика» - Точність набутих значень. Шифр для сейфа. Описова статистика. Яблуко. Розглянемо події. Правило множення. Дві стрілки. Порівняння навчальних програм. Карамель. Приклади стовпчастих діаграм. Відмітки з математики. Правило множення для трьох. Білі та червоні троянди. 9 різних книг. Зимові канікули.

«Основи математичної статистики» - Умовна ймовірність. Таблиця стандартизованих значень. Властивості розподілу Стьюдента. Довірчий інтервал математичного очікування. Вибіркове середнє. Розподіл. Одне випробування можна як серію з одного випробування. Квантиль – лівіше має розташовуватися кількість значень, відповідне індексу квантили.

«Теорія ймовірності та статистика» - Межі інтервалу. Критичні сфери. Теорема множення ймовірностей. Розподіл нормальної випадкової величини. Висновок формули Бернуллі. Закони розподілу випадкових величин. Формулювання ЗБЛ. Сенс та формулювання центральної граничної теореми. Зв'язок номінальних ознак. Стохастична залежність двох випадкових величин.

«Статистичне дослідження» – Актуальність. Статистичні характеристики та дослідження. План. Розмах – це різниця найбільшого та найменшого значень низки даних. Види статистичного спостереження. Чи подобається тобі займатися вивченням математики. Розглянемо ряд чисел. Хто тобі допомагає розібрати важку тему з математики. Чи потрібна математика у майбутній вашій професії.

«Основні статистичні характеристики» – основні статистичні характеристики. Знайдіть середнє арифметичне. Петроній. Розмах. Мода серії. Середнє арифметичне ряд чисел. Розмах ряду. Медіана ряду. Статистика. Медіана. Шкільні зошити.

Всього у темі 17 презентацій

МОУ «Рудногірська середня загальноосвітня школа»

Розробка уроку з теорії ймовірностей

в 10 класі

по темі

« Незалежні повторні випробування.

Теорема Бернуллі »

Вчитель математики

МОУ «Рудногірська сош»

Чибишева І.А.

«…Випадковість головним чином

залежить від нашого знання…»

Якоб Бернуллі

Тема «»

Клас:10

Цілі уроку:

Навчальні:

Розвиваючі:

Виховні:

Завдання:

Тип уроку:комбінований.

Методи навчання:бесіда, письмові вправи.

Обладнання:комп'ютер, мультимедіа-проектор. презентація, роздатковий матеріал

План уроку:

Організаційний етап -2 хв.

Актуалізація опорних знань – 3 хв.

Етап вивчення нового матеріалу – 10 хв.

Етап узагальнення та систематизації знань -20 хв

Домашня робота -3 хв

Підбиття підсумку уроку-2 хв

Рефлексія -5 хв.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

ІІ. Актуалізація знань

Згадаймо основні поняття та формули комбінаторики.

1. Що називається факторіалом числа n? (Це добуток перших натуральних n чисел від 1 до n.)
2. Скільки способами можна розставити4 різні книги на полиці? (3! = 3 · 2 · 1. Це число перестановок з 3 елементів.)
3. Скільки способами можна розподілити I, II, III місця між 7 учасниками змагання? (7 · 6 · 5 = 210. Це число розміщень з 7 елементів по 3.)
4. Скільки способами можна скласти графік чергування 3 учнів з 5? ( це число поєднань з 5 елементів по 3 і 10).

5. Що ми називаємо ймовірністю випадкової події?

6. Сформулюйте класичне визначення ймовірності.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

При практичному застосуванні теорії ймовірностей та математичної статистики часто доводиться зустрічатися із завданнями, в яких той самий досвід повторюється неодноразово. У результаті кожного досвіду може з'явитися чи не з'явитися подія A, причому нас цікавить не результат кожного досвіду, а загальна кількість події A у серії дослідів. Наприклад, зовсім недавно у Кореї пройшов чемпіонат світу з біатлону. Спортсмени робили ряд пострілів по мішеням, і нас, як правило, цікавив не результат кожного окремого пострілу, а загальна кількість влучень. При цьому результати попередніх дослідів не позначалися на наступних. Така стандартна схема часто зустрічається і в самій теорії ймовірностей. Вона називається схемою незалежних випробувань або схемою Бернуллі . Швейцарський математик XVII ст. Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину ймовірнісну задачу-схему (робота "Мистецтво припущень" опублікована в 1713 році).

Історична довідка (повідомлення про життя вченого до уроку готує один із учнів):

Якоб Бернуллі (27.12.1654, Базель, - 16.8.1705, там же) - професор математики Базельського університету (1687) був вихідцем з Голландії .....

Перевірка домашнього завдання:
1 група: Вам вдома треба було вирахувати ймовірність випадання 1 на гральному кубику.
2 група: Вам вдома треба було вирахувати можливість випадання «орла» при киданні монети. (Учні називають результати, робиться висновок про причини різних відповідей, і висновок про те, що чим більше випробувань, тим краще можна побачити, чого прагне результат)
Говорячи про частоті та ймовірності деякої випадкової події А, ми маємо на увазі наявність певних умов, які можна неодноразово відтворювати. Цей комплекс умов ми називаємо випадковим досвідом або випадковим експериментом. Зазначимо, що результат одного досвіду не залежить від попереднього. Кілька дослідів називаються незалежнимиякщо ймовірність результату кожного з дослідів не залежить від того, які результати мали інші досліди. Наприклад, кілька послідовних кидань монети – це незалежні досліди. Декілька послідовних виймань куль з мішка – незалежні досліди за умови, що вийнята куля щоразу повертається в мішок. Інакше – це залежні досліди. Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину імовірнісну схему.

Схема Бернуллі.

Розглядають незалежні повторення одного і того ж випробування з двома можливими наслідками, які умовно називають «успіх» та «невдача». Потрібно знайти ймовірність того, що при n таких повтореннях станеться рівно до «успіхів».

Вчителю слід підкреслити ще раз три умови, яким має задовольняти схема Бернуллі:

1) у кожного випробування має бути два результати, званих «успіх» та «невдача»;

2) у кожному досвіді ймовірність події А має бути незмінною;

3) результати дослідів мають бути незалежними.

1 V . Закріплення.

1. Усна робота (Можливо організувати групову роботу). Відповіді обговорюються у групах та один представник озвучує.

Поясніть, чому такі питання укладаються у схему Бернуллі. Вкажіть, у чому «успіх» і до чого рівні nі k.

а) Яка ймовірність того, що при 123 киданнях монети «решка» випаде рівно 45 разів?

б) У чорній скриньці знаходяться 10 білих, 3 червоних та 7 синіх куль. Кулі виймаються, записується їхній колір і повертаються назад. Якою є ймовірність того, що всі з 20 вилучених куль будуть синіми?
в) Яка ймовірність того, що при ста киданнях монети «орел» з'явиться 73 рази?
г) Двадцять разів поспіль кинули пару гральних кубиків. Яка ймовірність того, що сума очок жодного разу не дорівнювала десяти?
д) З колоди в 36 карт витягли три карти, записали результат і повернули їх у колоду, потім карти перемішали. Так повторювалося чотири рази. Яка ймовірність того, що кожного разу серед витягнутих карт була жінка пік?

ВЧИТЕЛЬ:Для отримання чисельних значень таких завдань необхідно заздалегідь знати ймовірність «успіхів» і «невдач». Позначивши можливість «успіху» p, а можливість «невдач» q, де q = 1- p, Бернуллі довів чудову теорему

2. Самостійна робота(Можливо організувати групову роботу). Учням пропонується 7 завдань на розв'язання. У дужках вказано кількість балів за завдання. Хлопці обговорюють рішення у групах. Установка: оцінка «5»-17-22 бали, «4»-12-16 балів, «3»-6-11 балів.

1). Яка ймовірність цього. що при десяти кидках гральної кістки 3 очки випадуть рівно 2 рази? (2 бали)

2). Яка ймовірність того, що при 9 киданнях монети «орел» випаде рівно 4 рази? (2 бали)

3). Остап Бендер грає 8 партій проти членів шахового клубу. Остап грає погано, тому ймовірність виграшу у кожній партії дорівнює 0,01. Знайдіть ймовірність, що Остап виграє хоча б одну партію. (3 бали)

4). Імовірність влучення у мету одним пострілом дорівнює 0,125. Яка ймовірність того, що з 12 пострілів не буде жодного влучення? (3 бали)

5). У частині А ЄДІ з математики у 2005 році було 10 завдань із вибором відповіді. До кожного з них пропонувалося 4 варіанти відповідей, з яких лише одна вірна. Для отримання позитивної позначки на іспиті необхідно відповісти щонайменше на 6 завдань. Яка ймовірність того, що недбалий учень здасть іспит? (4 бали)

6). Кидаємо гральну кістку. Яка ймовірність того, що кинувши кістку 8 разів, ми викинемо шістку не менше 4 разів, але не більше 6 разів? (4 бали)

7). За один постріл стрілок вражає мету з ймовірністю 0,1. Знайти ймовірність того, що при п'яти пострілах він хоча б раз потрапить у ціль. (4 бали)

ВІДПОВІДІ: 1) 0,29; 2) 0,246; 3)0,077; 4)0,2 5) 0,016; 6) 0,034; 7) 0,4095;

Якщо є час, роботу можна обговорити, якщо ні, то зібрати зошити на перевірку.

V.Домашня робота:

1). Імовірність події А дорівнює 0,3. Яка ймовірність того, що в серії з шести випробувань подія А настане хоча б один раз? (4 бали)

2). Сашкові задали 10 однакових за складністю завдань. Імовірність того, що він вирішить завдання, дорівнює 0,75. Знайдіть ймовірність того, що Сашко вирішить: а) всі завдання;

б) щонайменше 8 завдань; в) щонайменше 6 завдань.

3. Серію випробувань Бернуллі проводять двічі. Вперше ймовірність успіху дорівнює ½, вдруге ймовірність успіху 1/3. У якому разі очікуваний розкид величини S більше, якщо S число успіхів, що настали?

ВІДПОВІДІ: 1). 0,882; 2) а) 0,056; б) 0,526; в) 0,922.

Індивідуально: презентація матеріалу на тему «Закон великих чисел», доповідь на тему «Родина Бернуллі».

V1. Підбиття підсумків.

Які ключові словауроку можна виділити? Поясніть їх значення.

Який ключовий факт сьогодні вивчено?

Що спільного і в чому відмінність статистики та ймовірності?

V11. Рефлексія.На етапі рефлексії учням пропонується скласти синквейн та у поетичній формі висловити своє ставлення до вивченого матеріалу.

СИНКВЕЙН – прийом технології розвитку критичного мислення, на стадії рефлексії.

Це короткий літературний твір, що характеризує предмет (тему), що складається з п'яти рядків, що пишеться за певним планом. Слово «сінквейн» походить від французького слова «п'ять».

ПРАВИЛА НАПИСАННЯ СІНКВЕЙНУ

1 рядок – одне слово – назва вірша, тема, зазвичай іменник.

2 рядок – два слова (прикметники чи причастя). Опис теми, слова можна поєднувати спілками та прийменниками.

3 рядок – три слова (дієслова). Дії, які стосуються теми.

4 рядок - чотири слова - речення. Фраза, що показує ставлення автора до теми у 1-й рядку.

5 рядок - одне слово - асоціація, синонім, який повторює суть теми в 1-му рядку, зазвичай іменник.

Література

В.А.Буличев, Є.А.Бунімович. Вивчення теорії ймовірностей та статистики у шкільному курсі математики. "Математика в школі". № 4. 2003 стор. 59. Віленкін Н. Я. Комбінаторика. - М.: Наука, 1969.

В.М. Студинецька та ін. «У світі закономірних випадковостей». Волгоград: Вчитель, 2007.

Гмурман В. Є. Посібник з вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики. - М.: Вища школа, 1975.

Гмурман В. Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. - М.: Вища школа, 1977.

Гнеденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. - М.: Наука, 1988.

Ел. підручник Реферати та твори

Самоаналіз уроку

Курс:основи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Клас: 10-й, фізико-математичний напрямок.

Тема урока:Незалежні повторні випробування. Теорема Бернуллі

Цілі уроку:

Навчальні:

Ознайомлення учнів зі схемою Бернуллі та відпрацювання її застосування під час вирішення завдань.

Розвиваючі:

Формування в учнів єдиної наукової картини світу та елементів наукового світогляду шляхом дослідження міжпредметних зв'язків теорії ймовірностей та різних наук;

Формування імовірнісно-статистичного мислення учнів;

Виховні:

Розвиток самостійності та навичок самоконтролю.

Мотивація учнів до вивчення тем теорії ймовірностей.

Завдання:

закріпити знання та вміння вирішувати комбінаторні завдання;
формувати навички застосування схеми Бернуллі під час вирішення завдань,
формувати навички розв'язання задач за формулою Бернуллі,
розвивати основні розумові операції учнів: уміння порівнювати, аналізувати.

Тип уроку:комбінований.

Цей матеріал має практичне застосування, оскільки дозволяєвирішувати завдання, у яких той самий досвід повторюється неодноразово. У результаті кожного досвіду може з'явитися чи не з'явитися подія A, причому нас цікавить не результат кожного досвіду, а загальна кількість події A у серії дослідів. На даному уроці хлопці дізналися формулу для вирішення таких завдань, навчилися визначати задачі, які підходять під схему Бернуллі та вирішуються за його теоремою. Раціонально розподілено час всіх етапах уроку. Темп уроку відповідав рівню розвитку та підготовленості учнів.

Урок був задуманий мною як діалог між учителем та учнями, оскільки клас досить сильний. Урок сприяв формуванню основних світоглядних ідей, імовірнісно-статистичного мислення, вміння виділяти міжпредметні зв'язки. Хлопці працювали у групах, що дозволяє розвивати їхню пізнавальну та комунікативну компетентність. Для того, щоб у групах працювали всі, відповідно до своїх можливостей та здібностей, щоб не втрачався інтерес до дисципліни, що викладається, завдання запропоновані різнорівневого характеру Учні на уроці проявляли активність, самостійно приходили до висновку. Зміст уроку сприяло розвитку інтересу до вчення, що свідчить рефлексивний етап уроку. Презентація допомогла зробити урок цікавішим, заощадити час для конспектування нового та систематизації матеріалу.

Приклад синквейну:

1. Теорема Бернуллі
Нова, цікава.
Познайомились, зрозуміли, зацікавились.
Дозволяє знаходити ймовірність

В реальності.

2. О, випробування,

Незалежні повторні

Розберемо, зрозуміємо та обчислимо

І допоможе нам у цьому, звичайно,

Теорема Бернуллі

Цілі, поставлені на уроці, досягнуті.

Популярні матеріали

Де знайти серце даедра в скайрімі Де отримати серце даедра в skyrim
Скайрім: На вершині Апокрифа – фінальний квест, проходження
Last Empire War Z - секрети та правила проходження гри
Проходження гри Sword Coast Legends Ніч на тракті
Як мухлювати в "дурня"?

Випробування взяли презентація. Презентація на тему "Формула Бернуллі". ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Повторення випробувань. Схема бернуллі

Москва 2006 введення

Локальна та інтегральна теореми муавра-лапласу